MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2strbas Structured version   Unicode version

Theorem 2strbas 14595
Description: The base set of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2str.g  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( E `  ndx ) ,  .+  >. }
2str.e  |-  E  = Slot 
N
2str.l  |-  1  <  N
2str.n  |-  N  e.  NN
Assertion
Ref Expression
2strbas  |-  ( B  e.  V  ->  B  =  ( Base `  G
) )

Proof of Theorem 2strbas
StepHypRef Expression
1 2str.g . . 3  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( E `  ndx ) ,  .+  >. }
2 2str.e . . 3  |-  E  = Slot 
N
3 2str.l . . 3  |-  1  <  N
4 2str.n . . 3  |-  N  e.  NN
51, 2, 3, 42strstr 14594 . 2  |-  G Struct  <. 1 ,  N >.
6 baseid 14539 . 2  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
7 snsspr1 4176 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( E `  ndx ) , 
.+  >. }
87, 1sseqtr4i 3537 . 2  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. }  C_  G
95, 6, 8strfv 14527 1  |-  ( B  e.  V  ->  B  =  ( Base `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   1c1 9494    < clt 9629   NNcn 10537   ndxcnx 14490  Slot cslot 14492   Basecbs 14493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498
This theorem is referenced by:  grpbase  14598  isposix  15447  eltpsg  19253  indistpsALT  19320  tuslem  20597  tmslem  20812
  Copyright terms: Public domain W3C validator