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Theorem 2sqmod 27968
Description: Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqmod.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2sqmod.2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2sqmod.3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
2sqmod.4  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
2sqmod.5  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
2sqmod.6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2sqmod.7  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
2sqmod.8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  P )
2sqmod.9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  =  P )
Assertion
Ref Expression
2sqmod  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )

Proof of Theorem 2sqmod
StepHypRef Expression
1 2sqmod.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
21adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  <_  B )
3 2sqmod.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
43nn0red 10814 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
54adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  e.  RR )
6 2sqmod.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
76nn0red 10814 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
87adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  e.  RR )
93nn0ge0d 10816 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
109adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  C )
116nn0ge0d 10816 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
1211adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  B )
133nn0cnd 10815 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1413sqcld 12262 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
1514adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
166nn0cnd 10815 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1716sqcld 12262 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
1817adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
19 2sqmod.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2120sqcld 12262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
22 2sqmod.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
2322nn0cnd 10815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2423sqcld 12262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
25 2sqmod.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  P )
26 2sqmod.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  =  P )
2725, 26eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
2821, 17, 14, 24, 27addeqxfrd 27887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
2928adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^
2 ) ) )
3019nn0zd 10926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
313nn0zd 10926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
32 dvdsmul1 14106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  C ) )
3330, 31, 32syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  ||  ( A  x.  C ) )
3433adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  ||  ( A  x.  C )
)
3520, 13mulcld 9566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
3635adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  CC )
3716, 23mulcld 9566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
3837adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B  x.  D )  e.  CC )
3919nn0red 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4039, 4remulcld 9574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR )
4122nn0red 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
427, 41remulcld 9574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR )
4340, 42resubcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
)  e.  RR )
4443recnd 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
)  e.  CC )
4544adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
4643sqge0d 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )
47 2sqmod.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
486nn0zd 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4947, 30, 48, 252sqn0 27966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
50 elnnne0 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  e.  NN  <->  ( A  e.  NN0  /\  A  =/=  0 ) )
5119, 49, 50sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
5222nn0zd 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
5324, 14addcomd 9736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
5453, 26eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  +  ( C ^ 2 ) )  =  P )
5547, 52, 31, 542sqn0 27966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
56 elnnne0 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  e.  NN  <->  ( D  e.  NN0  /\  D  =/=  0 ) )
5722, 55, 56sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
5851, 57nnmulcld 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  NN )
5947, 31, 52, 262sqn0 27966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
60 elnnne0 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( C  e.  NN  <->  ( C  e.  NN0  /\  C  =/=  0 ) )
613, 59, 60sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
6217, 21addcomd 9736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
6362, 25eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  P )
6447, 48, 30, 632sqn0 27966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
65 elnnne0 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  NN  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
666, 64, 65sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
6761, 66nnmulcld 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  NN )
6858, 67nnaddcld 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  e.  NN )
6968nnsqcld 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  NN )
7069nnred 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  RR )
7143resqcld 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D
) ) ^ 2 )  e.  RR )
7270, 71addge02d 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  <-> 
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) ) )
7346, 72mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) )
7425, 26oveq12d 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( P  x.  P ) )
75 bhmafibid1 27964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
7639, 7, 4, 41, 75syl22anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
7774, 76eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
78 prmz 14322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
7947, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
8079zcnd 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
8180sqvald 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
8213, 16mulcomd 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  =  ( B  x.  C ) )
8382oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
8483oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  C ) ) ^ 2 ) )
8584oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
8677, 81, 853eqtr4d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) )
8773, 86breqtrrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <_  ( P ^ 2 ) )
8887adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  <_ 
( P ^ 2 ) )
8930, 52zmulcld 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  ZZ )
9031, 48zmulcld 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  ZZ )
9189, 90zaddcld 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ )
92 dvdssqim 14292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
9379, 91, 92syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  ||  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
94 zsqcl 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
9579, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
96 dvdsle 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  NN )  ->  ( ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
9795, 69, 96syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
2 )  ||  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  ->  ( P ^
2 )  <_  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
9893, 97syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  <_  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
9998imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
10095zred 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  RR )
10170, 100letri3d 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  =  ( P ^ 2 )  <-> 
( ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  <_  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^ 2 )  <_  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) ) )
102101adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( P ^
2 )  <->  ( (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  <_  ( P ^
2 )  /\  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) ) )
10388, 99, 102mpbir2and 923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( P ^ 2 ) )
10486adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
105103, 104eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
10670recnd 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  CC )
10771recnd 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D
) ) ^ 2 )  e.  CC )
108106, 106, 107subadd2d 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  <-> 
( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
109108adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  <->  ( (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
110105, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )
111106subidd 9875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  -  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
112111adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) )  =  0 )
113110, 112eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  =  0 )
11445, 113sqeq0d 12263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) )  =  0 )
11536, 38, 114subeq0d 9895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  C )  =  ( B  x.  D ) )
11634, 115breqtrd 4418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  D )
)
11747, 30, 48, 252sqcoprm 27967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
118117adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  =  1 )
119 coprmdvds 14344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( A  ||  ( B  x.  D )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  A  ||  D
) )
12030, 48, 52, 119syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  ||  ( B  x.  D
)  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  A  ||  D
) )
121120adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A  ||  ( B  x.  D )  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  A  ||  D ) )
122116, 118, 121mp2and 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  ||  D
)
123 dvdsle 14132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  ||  D  ->  A  <_  D )
)
12430, 57, 123syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  ||  D  ->  A  <_  D )
)
125124adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  ||  D  ->  A  <_  D ) )
126122, 125mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  <_  D )
12751nnrpd 11220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
128127rprege0d 11229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
12922nn0ge0d 10816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
130 le2sq 12197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  ->  ( A  <_  D  <->  ( A ^
2 )  <_  ( D ^ 2 ) ) )
131128, 41, 129, 130syl12anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  <_  D  <->  ( A ^ 2 )  <_  ( D ^
2 ) ) )
132131adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  <_  D  <->  ( A ^
2 )  <_  ( D ^ 2 ) ) )
133126, 132mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  <_ 
( D ^ 2 ) )
13451nnsqcld 12284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
135134nnred 10511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
136 zsqcl 12193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
13752, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
138137zred 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  RR )
139135, 138suble0d 10103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( D ^ 2 ) ) )
140139adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( D ^ 2 ) ) )
141133, 140mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0 )
14229, 141eqbrtrrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0 )
143 dvdsmul1 14106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  ||  ( B  x.  D ) )
14448, 52, 143syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  ||  ( B  x.  D ) )
145144adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  ||  ( B  x.  D )
)
146145, 115breqtrrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  ||  ( A  x.  C )
)
147 gcdcom 14259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  =  ( B  gcd  A ) )
14830, 48, 147syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  ( B  gcd  A ) )
149148, 117eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  gcd  A
)  =  1 )
150149adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B  gcd  A )  =  1 )
151 coprmdvds 14344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( B  ||  ( A  x.  C )  /\  ( B  gcd  A
)  =  1 )  ->  B  ||  C
) )
15248, 30, 31, 151syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  ||  ( A  x.  C
)  /\  ( B  gcd  A )  =  1 )  ->  B  ||  C
) )
153152adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( B  ||  ( A  x.  C )  /\  ( B  gcd  A )  =  1 )  ->  B  ||  C ) )
154146, 150, 153mp2and 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  ||  C
)
155 dvdsle 14132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  ||  C  ->  B  <_  C )
)
15648, 61, 155syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  ||  C  ->  B  <_  C )
)
157156adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B  ||  C  ->  B  <_  C ) )
158154, 157mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  <_  C )
1597, 4, 11, 9le2sqd 12299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  <_  C  <->  ( B ^ 2 )  <_  ( C ^
2 ) ) )
160159adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B ^
2 )  <_  ( C ^ 2 ) ) )
161158, 160mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  <_ 
( C ^ 2 ) )
1624resqcld 12290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
163 zsqcl 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
16448, 163syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
165164zred 10928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
166162, 165subge0d 10102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <-> 
( B ^ 2 )  <_  ( C ^ 2 ) ) )
167166adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( 0  <_  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <->  ( B ^
2 )  <_  ( C ^ 2 ) ) )
168161, 167mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
169135, 138resubcld 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  e.  RR )
17028, 169eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
171 0red 9547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
172170, 171letri3d 9679 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0  <->  (
( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
173172adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0  <->  ( (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
174142, 168, 173mpbir2and 923 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
17515, 18, 174subeq0d 9895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( C ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
1765, 8, 10, 12, 175sq11d 12300 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  =  B )
1772, 176breqtrrd 4420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  <_  C )
178 2sqmod.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
179178adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  <_  D )
18039adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  e.  RR )
18141adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  D  e.  RR )
18219nn0ge0d 10816 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
183182adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  A )
184129adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  D )
18521adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
18624adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
187168, 29breqtrrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) )
188169, 171letri3d 9679 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  0  <->  (
( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
189188adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  0  <->  ( (
( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
190141, 187, 189mpbir2and 923 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  0 )
191185, 186, 190subeq0d 9895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
192180, 181, 183, 184, 191sq11d 12300 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  =  D )
193179, 192breqtrrd 4420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  <_  A )
19439, 4letri3d 9679 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  <-> 
( A  <_  C  /\  C  <_  A ) ) )
195194adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  =  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  <_  A
) ) )
196177, 193, 195mpbir2and 923 . . 3  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  =  C )
19720adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  e.  CC )
19813adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  e.  CC )
19916adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  e.  CC )
20064adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  =/=  0 )
20141adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  D  e.  RR )
2027adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  e.  RR )
203129adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  D )
20411adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  B )
20524adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
20617adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
207 prmnn 14321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
20847, 207syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
209208nnne0d 10541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
210209neneqd 2605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  P  =  0 )
211210adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  -.  P  =  0 )
21280, 24, 17subdid 9973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( P  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( P  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
21380, 24mulcld 9566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( D ^ 2 ) )  e.  CC )
21421, 24mulcld 9566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( D ^ 2 ) )  e.  CC )
21580, 17mulcld 9566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
21614, 17mulcld 9566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
21717, 24mulcomd 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  x.  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( D ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
21825oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( P  -  ( A ^ 2 ) ) )
21921, 17pncan2d 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
220218, 219eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
221220oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( A ^ 2 ) )  x.  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( D ^ 2 ) ) )
22226oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( P  -  ( C ^ 2 ) ) )
22314, 24pncan2d 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( D ^
2 ) )
224222, 223eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( D ^
2 ) )
225224oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( C ^ 2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( D ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
226217, 221, 2253eqtr4d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( A ^ 2 ) )  x.  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( P  -  ( C ^
2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
22780, 21, 24subdird 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( A ^ 2 ) )  x.  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( P  x.  ( D ^
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )
22880, 14, 17subdird 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( C ^ 2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( P  x.  ( B ^
2 ) )  -  ( ( C ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
229226, 227, 2283eqtr3d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^
2 ) ) )  =  ( ( P  x.  ( B ^
2 ) )  -  ( ( C ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
230213, 214, 215, 216, 229subeqxfrd 27886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^
2 ) )  -  ( ( C ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
231212, 230eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( C ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
23220, 23sqmuld 12276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^
2 ) ) )
23313, 16sqmuld 12276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
234232, 233oveq12d 6252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D ) ^
2 )  -  (
( C  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( C ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
23520, 23mulcld 9566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
23613, 16mulcld 9566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
237 subsq 12230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  x.  D
)  e.  CC  /\  ( C  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  D ) ^ 2 )  -  ( ( C  x.  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ) )
238235, 236, 237syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D ) ^
2 )  -  (
( C  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ) )
239231, 234, 2383eqtr2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ) )
240239adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P  x.  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ) )
241235adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
242 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ph )
243 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  -.  ( A  x.  D )  =  ( C  x.  B ) )
244243neqned 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)
24589, 90zsubcld 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  e.  ZZ )
246 dvdssqim 14292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
24779, 245, 246syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  ||  (
( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) ^ 2 ) ) )
248247imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
249248adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  ||  (
( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) ^ 2 ) )
25095adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
251245adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ )
252235adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
253236adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
254 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)
255252, 253, 254subne0d 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) )  =/=  0 )
256251, 255znsqcld 27888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  e.  NN )
257 dvdsle 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  NN )  ->  ( ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
258250, 256, 257syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
259258imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B
) )  /\  ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
260242, 244, 249, 259syl21anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  <_  (
( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) ^ 2 ) )
26139, 41remulcld 9574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  RR )
2624, 7remulcld 9574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  RR )
263261, 262resubcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  e.  RR )
264263resqcld 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  RR )
26561nnrpd 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
266127, 265rpmulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR+ )
26766nnrpd 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
26857nnrpd 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
269267, 268rpmulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR+ )
270266, 269rpaddcld 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) )  e.  RR+ )
271 2z 10857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  ZZ
272271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
273270, 272rpexpcld 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
274264, 273ltaddrp2d 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) )
275 bhmafibid2 27965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
27639, 7, 4, 41, 275syl22anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
27774, 276eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
27882oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  =  ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) )
279278oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  x.  D
)  -  ( B  x.  C ) ) ^ 2 ) )
280279oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
281277, 280eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) )
282274, 281breqtrrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <  ( P  x.  P ) )
283282, 81breqtrrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <  ( P ^ 2 ) )
284242, 283syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  <  ( P ^ 2 ) )
285264, 100ltnled 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  <  ( P ^ 2 )  <->  -.  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
286242, 285syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( ( ( ( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  < 
( P ^ 2 )  <->  -.  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
287284, 286mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  -.  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
288260, 287condan 795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  D )  =  ( C  x.  B ) )
289241, 288subeq0bd 9946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) )  =  0 )
290289oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) )  x.  0 ) )
291235, 236addcld 9565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
292291mul01d 9733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) )  x.  0 )  =  0 )
293292adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  0 )  =  0 )
294240, 290, 2933eqtrd 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P  x.  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  0 )
29524, 17subcld 9887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
29680, 295mul0ord 10160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  0  <->  ( P  =  0  \/  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
297296adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( P  x.  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  0  <-> 
( P  =  0  \/  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
298294, 297mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P  =  0  \/  (
( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) )
299298ord 375 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( -.  P  =  0  ->  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) )
300211, 299mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
301205, 206, 300subeq0d 9895 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( D ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
302201, 202, 203, 204, 301sq11d 12300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  D  =  B )
303302oveq2d 6250 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  D )  =  ( A  x.  B ) )
304303, 288eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  B )  =  ( C  x.  B ) )
305197, 198, 199, 200, 304mulcan2ad 10146 . . 3  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  =  C )
306137, 164zsubcld 10933 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
307 dvdsmul1 14106 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
30879, 306, 307syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
309308, 239breqtrd 4418 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ) )
310 euclemma 14350 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ )  -> 
( P  ||  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) )  <-> 
( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  \/  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ) ) )
31147, 91, 245, 310syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) )  <-> 
( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  \/  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ) ) )
312309, 311mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  \/  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ) )
313196, 305, 312mpjaodan 787 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  C )
314313oveq1d 6249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
315314oveq2d 6250 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( P  -  ( C ^ 2 ) ) )
316315, 220, 2243eqtr3d 2451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
3177, 41, 11, 129, 316sq11d 12300 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  D )
318313, 317jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    x. cmul 9447    < clt 9578    <_ cle 9579    - cmin 9761   NNcn 10496   2c2 10546   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   ^cexp 12120    || cdvds 14087    gcd cgcd 14245   Primecprime 14318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-dvds 14088  df-gcd 14246  df-prm 14319
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