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Theorem 2sqmod 28353
Description: Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqmod.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2sqmod.2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2sqmod.3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
2sqmod.4  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
2sqmod.5  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
2sqmod.6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2sqmod.7  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
2sqmod.8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  P )
2sqmod.9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  =  P )
Assertion
Ref Expression
2sqmod  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )

Proof of Theorem 2sqmod
StepHypRef Expression
1 2sqmod.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
21adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  <_  B )
3 2sqmod.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
43nn0red 10870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
54adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  e.  RR )
6 2sqmod.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
76nn0red 10870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
87adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  e.  RR )
93nn0ge0d 10872 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
109adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  C )
116nn0ge0d 10872 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
1211adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  B )
133nn0cnd 10871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1413sqcld 12357 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
1514adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
166nn0cnd 10871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1716sqcld 12357 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
1817adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
19 2sqmod.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2120sqcld 12357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
22 2sqmod.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
2322nn0cnd 10871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2423sqcld 12357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
25 2sqmod.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  P )
26 2sqmod.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  =  P )
2725, 26eqtr4d 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
2821, 17, 14, 24, 27addeqxfrd 28265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
2928adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^
2 ) ) )
3019nn0zd 10982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
313nn0zd 10982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
32 dvdsmul1 14260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  C ) )
3330, 31, 32syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  ||  ( A  x.  C ) )
3433adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  ||  ( A  x.  C )
)
3520, 13mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
3635adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  CC )
3716, 23mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
3837adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B  x.  D )  e.  CC )
3919nn0red 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4039, 4remulcld 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR )
4122nn0red 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
427, 41remulcld 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR )
4340, 42resubcld 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
)  e.  RR )
4443recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
)  e.  CC )
4544adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
4643sqge0d 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  D ) ) ^ 2 ) )
47 2sqmod.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
486nn0zd 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4947, 30, 48, 252sqn0 28351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
50 elnnne0 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  e.  NN  <->  ( A  e.  NN0  /\  A  =/=  0 ) )
5119, 49, 50sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
5222nn0zd 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
5324, 14addcomd 9779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
5453, 26eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  +  ( C ^ 2 ) )  =  P )
5547, 52, 31, 542sqn0 28351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
56 elnnne0 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  e.  NN  <->  ( D  e.  NN0  /\  D  =/=  0 ) )
5722, 55, 56sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
5851, 57nnmulcld 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  NN )
5947, 31, 52, 262sqn0 28351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
60 elnnne0 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( C  e.  NN  <->  ( C  e.  NN0  /\  C  =/=  0 ) )
613, 59, 60sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
6217, 21addcomd 9779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
6362, 25eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  P )
6447, 48, 30, 632sqn0 28351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
65 elnnne0 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  NN  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
666, 64, 65sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
6761, 66nnmulcld 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  NN )
6858, 67nnaddcld 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  e.  NN )
6968nnsqcld 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  NN )
7069nnred 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  RR )
7143resqcld 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D
) ) ^ 2 )  e.  RR )
7270, 71addge02d 10146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  <-> 
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) ) )
7346, 72mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) )
7425, 26oveq12d 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( P  x.  P ) )
75 bhmafibid1 28349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
7639, 7, 4, 41, 75syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
7774, 76eqtr3d 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
78 prmz 14562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
7947, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
8079zcnd 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
8180sqvald 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
8213, 16mulcomd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  =  ( B  x.  C ) )
8382oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
8483oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( B  x.  C ) ) ^ 2 ) )
8584oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
8677, 81, 853eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) )
8773, 86breqtrrd 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <_  ( P ^ 2 ) )
8887adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  <_ 
( P ^ 2 ) )
8930, 52zmulcld 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  ZZ )
9031, 48zmulcld 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  ZZ )
9189, 90zaddcld 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ )
92 dvdssqim 14457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
9379, 91, 92syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  ||  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
94 zsqcl 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
9579, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
96 dvdsle 14286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  NN )  ->  ( ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
9795, 69, 96syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
2 )  ||  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  ->  ( P ^
2 )  <_  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
9893, 97syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  <_  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
9998imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
10095zred 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  RR )
10170, 100letri3d 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  =  ( P ^ 2 )  <-> 
( ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  <_  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^ 2 )  <_  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) ) )
102101adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( P ^
2 )  <->  ( (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  <_  ( P ^
2 )  /\  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) ) )
10388, 99, 102mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( P ^ 2 ) )
10486adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
105103, 104eqtr2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
10670recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  CC )
10771recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D
) ) ^ 2 )  e.  CC )
108106, 106, 107subadd2d 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  <-> 
( ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
109108adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  <->  ( (
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D )
) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
110105, 109mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D
) ) ^ 2 ) )
111106subidd 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  -  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
112111adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) )  =  0 )
113110, 112eqtr3d 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  =  0 )
11445, 113sqeq0d 12358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  D ) )  =  0 )
11536, 38, 114subeq0d 9938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  C )  =  ( B  x.  D ) )
11634, 115breqtrd 4384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  ||  ( B  x.  D )
)
11747, 30, 48, 252sqcoprm 28352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
118117adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  =  1 )
119 coprmdvds 14595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( A  ||  ( B  x.  D )  /\  ( A  gcd  B
)  =  1 )  ->  A  ||  D
) )
12030, 48, 52, 119syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  ||  ( B  x.  D
)  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  A  ||  D
) )
121120adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A  ||  ( B  x.  D )  /\  ( A  gcd  B )  =  1 )  ->  A  ||  D ) )
122116, 118, 121mp2and 683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  ||  D
)
123 dvdsle 14286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( A  ||  D  ->  A  <_  D )
)
12430, 57, 123syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  ||  D  ->  A  <_  D )
)
125124adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  ||  D  ->  A  <_  D ) )
126122, 125mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  <_  D )
12751nnrpd 11283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
128127rprege0d 11292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
12922nn0ge0d 10872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
130 le2sq 12292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )
)  ->  ( A  <_  D  <->  ( A ^
2 )  <_  ( D ^ 2 ) ) )
131128, 41, 129, 130syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  <_  D  <->  ( A ^ 2 )  <_  ( D ^
2 ) ) )
132131adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  <_  D  <->  ( A ^
2 )  <_  ( D ^ 2 ) ) )
133126, 132mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  <_ 
( D ^ 2 ) )
13451nnsqcld 12379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
135134nnred 10568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
136 zsqcl 12288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
13752, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
138137zred 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  RR )
139135, 138suble0d 10148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( D ^ 2 ) ) )
140139adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( D ^ 2 ) ) )
141133, 140mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0 )
14229, 141eqbrtrrd 4382 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0 )
143 dvdsmul1 14260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  ||  ( B  x.  D ) )
14448, 52, 143syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  ||  ( B  x.  D ) )
145144adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  ||  ( B  x.  D )
)
146145, 115breqtrrd 4386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  ||  ( A  x.  C )
)
147 gcdcom 14420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  =  ( B  gcd  A ) )
14830, 48, 147syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  ( B  gcd  A ) )
149148, 117eqtr3d 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  gcd  A
)  =  1 )
150149adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B  gcd  A )  =  1 )
151 coprmdvds 14595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( B  ||  ( A  x.  C )  /\  ( B  gcd  A
)  =  1 )  ->  B  ||  C
) )
15248, 30, 31, 151syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  ||  ( A  x.  C
)  /\  ( B  gcd  A )  =  1 )  ->  B  ||  C
) )
153152adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( B  ||  ( A  x.  C )  /\  ( B  gcd  A )  =  1 )  ->  B  ||  C ) )
154146, 150, 153mp2and 683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  ||  C
)
155 dvdsle 14286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  ||  C  ->  B  <_  C )
)
15648, 61, 155syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  ||  C  ->  B  <_  C )
)
157156adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B  ||  C  ->  B  <_  C ) )
158154, 157mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  <_  C )
1597, 4, 11, 9le2sqd 12394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  <_  C  <->  ( B ^ 2 )  <_  ( C ^
2 ) ) )
160159adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B ^
2 )  <_  ( C ^ 2 ) ) )
161158, 160mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  <_ 
( C ^ 2 ) )
1624resqcld 12385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
163 zsqcl 12288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
16448, 163syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
165164zred 10984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
166162, 165subge0d 10147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <-> 
( B ^ 2 )  <_  ( C ^ 2 ) ) )
167166adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( 0  <_  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <->  ( B ^
2 )  <_  ( C ^ 2 ) ) )
168161, 167mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
169135, 138resubcld 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  e.  RR )
17028, 169eqeltrrd 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
171 0red 9588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
172170, 171letri3d 9721 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0  <->  (
( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
173172adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0  <->  ( (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
174142, 168, 173mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
17515, 18, 174subeq0d 9938 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( C ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
1765, 8, 10, 12, 175sq11d 12395 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  =  B )
1772, 176breqtrrd 4386 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  <_  C )
178 2sqmod.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
179178adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  <_  D )
18039adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  e.  RR )
18141adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  D  e.  RR )
18219nn0ge0d 10872 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
183182adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  A )
184129adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  D )
18521adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
18624adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
187168, 29breqtrrd 4386 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) )
188169, 171letri3d 9721 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  0  <->  (
( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
189188adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  0  <->  ( (
( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( A ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
190141, 187, 189mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  =  0 )
191185, 186, 190subeq0d 9938 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
192180, 181, 183, 184, 191sq11d 12395 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  =  D )
193179, 192breqtrrd 4386 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  <_  A )
19439, 4letri3d 9721 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  <-> 
( A  <_  C  /\  C  <_  A ) ) )
195194adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  =  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  <_  A
) ) )
196177, 193, 195mpbir2and 930 . . 3  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  =  C )
19720adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  e.  CC )
19813adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  C  e.  CC )
19916adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  e.  CC )
20064adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  =/=  0 )
20141adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  D  e.  RR )
2027adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  B  e.  RR )
203129adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  D )
20411adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  0  <_  B )
20524adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
20617adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
207 prmnn 14561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
20847, 207syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
209208nnne0d 10598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
210209neneqd 2600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  P  =  0 )
211210adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  -.  P  =  0 )
21280, 24, 17subdid 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( P  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( P  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
21380, 24mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( D ^ 2 ) )  e.  CC )
21421, 24mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( D ^ 2 ) )  e.  CC )
21580, 17mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
21614, 17mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
21717, 24mulcomd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  x.  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( D ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
21825oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( P  -  ( A ^ 2 ) ) )
21921, 17pncan2d 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
220218, 219eqtr3d 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
221220oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( A ^ 2 ) )  x.  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( D ^ 2 ) ) )
22226oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( P  -  ( C ^ 2 ) ) )
22314, 24pncan2d 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( D ^
2 ) )
224222, 223eqtr3d 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P  -  ( C ^ 2 ) )  =  ( D ^
2 ) )
225224oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( C ^ 2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( D ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
226217, 221, 2253eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( A ^ 2 ) )  x.  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( P  -  ( C ^
2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
22780, 21, 24subdird 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( A ^ 2 ) )  x.  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( P  x.  ( D ^
2 ) )  -  ( ( A ^
2 )  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )
22880, 14, 17subdird 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  -  ( C ^ 2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( P  x.  ( B ^
2 ) )  -  ( ( C ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
229226, 227, 2283eqtr3d 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^
2 ) ) )  =  ( ( P  x.  ( B ^
2 ) )  -  ( ( C ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
230213, 214, 215, 216, 229subeqxfrd 28264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^
2 ) )  -  ( ( C ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
231212, 230eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( C ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
23220, 23sqmuld 12371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^
2 ) ) )
23313, 16sqmuld 12371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
234232, 233oveq12d 6260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D ) ^
2 )  -  (
( C  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( C ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
23520, 23mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
23613, 16mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
237 subsq 12325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  x.  D
)  e.  CC  /\  ( C  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  D ) ^ 2 )  -  ( ( C  x.  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ) )
238235, 236, 237syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D ) ^
2 )  -  (
( C  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ) )
239231, 234, 2383eqtr2d 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ) )
240239adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P  x.  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ) )
241235adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
242 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ph )
243 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  -.  ( A  x.  D )  =  ( C  x.  B ) )
244243neqned 2602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)
24589, 90zsubcld 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  e.  ZZ )
246 dvdssqim 14457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
24779, 245, 246syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  ||  (
( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) ^ 2 ) ) )
248247imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
249248adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  ||  (
( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) ^ 2 ) )
25095adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
251245adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ )
252235adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
253236adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
254 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)
255252, 253, 254subne0d 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) )  =/=  0 )
256251, 255znsqcld 28266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  e.  NN )
257 dvdsle 14286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  NN )  ->  ( ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
258250, 256, 257syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B )
)  ->  ( ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
259258imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  x.  D )  =/=  ( C  x.  B
) )  /\  ( P ^ 2 )  ||  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
260242, 244, 249, 259syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( P ^
2 )  <_  (
( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) ^ 2 ) )
26139, 41remulcld 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  RR )
2624, 7remulcld 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  RR )
263261, 262resubcld 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  e.  RR )
264263resqcld 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  e.  RR )
26561nnrpd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
266127, 265rpmulcld 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR+ )
26766nnrpd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
26857nnrpd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
269267, 268rpmulcld 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR+ )
270266, 269rpaddcld 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) )  e.  RR+ )
271 2z 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  ZZ
272271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
273270, 272rpexpcld 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
274264, 273ltaddrp2d 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) )
275 bhmafibid2 28350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
27639, 7, 4, 41, 275syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
27774, 276eqtr3d 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
27882oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
)  =  ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) )
279278oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  x.  D
)  -  ( B  x.  C ) ) ^ 2 ) )
280279oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^
2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( B  x.  C ) ) ^
2 ) ) )
281277, 280eqtr4d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  =  ( ( ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  D ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ^
2 ) ) )
282274, 281breqtrrd 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <  ( P  x.  P ) )
283282, 81breqtrrd 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 )  <  ( P ^ 2 ) )
284242, 283syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  <  ( P ^ 2 ) )
285264, 100ltnled 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) ^
2 )  <  ( P ^ 2 )  <->  -.  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
286242, 285syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  ( ( ( ( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ^ 2 )  < 
( P ^ 2 )  <->  -.  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
287284, 286mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  P  ||  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B )
) )  /\  -.  ( A  x.  D
)  =  ( C  x.  B ) )  ->  -.  ( P ^ 2 )  <_ 
( ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ^ 2 ) )
288260, 287condan 801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  D )  =  ( C  x.  B ) )
289241, 288subeq0bd 9989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) )  =  0 )
290289oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) )  =  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) )  x.  0 ) )
291235, 236addcld 9606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
292291mul01d 9776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B
) )  x.  0 )  =  0 )
293292adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  0 )  =  0 )
294240, 290, 2933eqtrd 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P  x.  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  0 )
29524, 17subcld 9930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
29680, 295mul0ord 10206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  0  <->  ( P  =  0  \/  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
297296adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( P  x.  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  =  0  <-> 
( P  =  0  \/  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
298294, 297mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( P  =  0  \/  (
( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) )
299298ord 378 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( -.  P  =  0  ->  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) )
300211, 299mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
301205, 206, 300subeq0d 9938 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( D ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
302201, 202, 203, 204, 301sq11d 12395 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  D  =  B )
303302oveq2d 6258 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  D )  =  ( A  x.  B ) )
304303, 288eqtr3d 2458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  ( A  x.  B )  =  ( C  x.  B ) )
305197, 198, 199, 200, 304mulcan2ad 10192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) )  ->  A  =  C )
306137, 164zsubcld 10989 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
307 dvdsmul1 14260 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  ( ( D ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
30879, 306, 307syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  ( ( D ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
309308, 239breqtrd 4384 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B
) ) ) )
310 euclemma 14601 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) )  e.  ZZ )  -> 
( P  ||  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) )  <-> 
( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  \/  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ) ) )
31147, 91, 245, 310syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  x.  ( ( A  x.  D )  -  ( C  x.  B ) ) )  <-> 
( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  \/  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ) ) )
312309, 311mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( A  x.  D
)  +  ( C  x.  B ) )  \/  P  ||  (
( A  x.  D
)  -  ( C  x.  B ) ) ) )
313196, 305, 312mpjaodan 793 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  C )
314313oveq1d 6257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
315314oveq2d 6258 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( P  -  ( C ^ 2 ) ) )
316315, 220, 2243eqtr3d 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
3177, 41, 11, 129, 316sq11d 12395 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  D )
318313, 317jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593   class class class wbr 4359  (class class class)co 6242   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9804   NNcn 10553   2c2 10603   NN0cn0 10813   ZZcz 10881   ^cexp 12215    || cdvds 14241    gcd cgcd 14404   Primecprime 14558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-inf 7903  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-n0 10814  df-z 10882  df-uz 11104  df-rp 11247  df-fl 11971  df-mod 12040  df-seq 12157  df-exp 12216  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-dvds 14242  df-gcd 14405  df-prm 14559
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