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Theorem 2sqlem8 24026
Description: Lemma for 2sq 24030. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem7.2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
2sqlem9.5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
2sqlem9.7  |-  ( ph  ->  M  ||  N )
2sqlem8.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2sqlem8.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2sqlem8.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqlem8.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqlem8.3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
2sqlem8.4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
2sqlem8.c  |-  C  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2sqlem8.d  |-  D  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2sqlem8.e  |-  E  =  ( C  /  ( C  gcd  D ) )
2sqlem8.f  |-  F  =  ( D  /  ( C  gcd  D ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem8  |-  ( ph  ->  M  e.  S )
Distinct variable groups:    a, b, w, x, y, z    A, a, x, y, z    x, C    ph, x, y    B, a, b, x, y    M, a, b, x, y, z    S, a, b, x, y, z    x, D    E, a, x, y, z    x, N, y, z    Y, a, b, x, y    F, a, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, a, b)    A( w, b)    B( z, w)    C( y, z, w, a, b)    D( y, z, w, a, b)    S( w)    E( w, b)    F( w, b)    M( w)    N( w, a, b)    Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem8
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . 2  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2 2sqlem8.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 eluz2b3 11199 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  M  =/=  1 ) )
42, 3sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  M  =/=  1 ) )
54simpld 457 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
6 2sqlem9.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  ||  N )
7 eluzelz 11135 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  ZZ )
82, 7syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 2sqlem8.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
109nnzd 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
11 2sqlem8.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
12 2sqlem8.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1311, 5, 124sqlem5 14667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1413simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
15 zsqcl 12281 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
17 2sqlem8.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
18 2sqlem8.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1917, 5, 184sqlem5 14667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ ) )
2019simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
21 zsqcl 12281 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
2316, 22zaddcld 11011 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
2411, 5, 124sqlem8 14670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^
2 ) ) )
2517, 5, 184sqlem8 14670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^
2 ) ) )
26 zsqcl 12281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
2711, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
2827, 16zsubcld 11012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
29 zsqcl 12281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
3130, 22zsubcld 11012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
32 dvds2add 14222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
338, 28, 31, 32syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) ) )
3424, 25, 33mp2and 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
35 2sqlem8.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
3635oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
3727zcnd 11008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
3830zcnd 11008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
3916zcnd 11008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
4022zcnd 11008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
4137, 38, 39, 40addsub4d 10013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
4236, 41eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
4334, 42breqtrrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( N  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
44 dvdssub2 14230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )  /\  M  ||  ( N  -  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )  ->  ( M  ||  N 
<->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) ) )
458, 10, 23, 43, 44syl31anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
466, 45mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
47 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
48 2sqlem9.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
49 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
501, 47, 48, 6, 9, 2, 11, 17, 49, 35, 12, 182sqlem8a 24025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  NN )
5150nnzd 11006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  ZZ )
52 zsqcl2 12288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  ->  (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  e.  NN0 )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  NN0 )
5453nn0cnd 10894 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  CC )
55 2sqlem8.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( C  /  ( C  gcd  D ) )
56 gcddvds 14360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D ) )
5714, 20, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D ) )
5857simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  ||  C )
5950nnne0d 10620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  =/=  0 )
60 dvdsval2 14196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  =/=  0  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  D
)  ||  C  <->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6151, 59, 14, 60syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  C  <->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
6258, 61mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ )
6355, 62syl5eqel 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
64 zsqcl2 12288 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e. 
NN0 )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  NN0 )
6665nn0cnd 10894 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
67 2sqlem8.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( D  /  ( C  gcd  D ) )
6857simprd 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  ||  D )
69 dvdsval2 14196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  =/=  0  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( C  gcd  D
)  ||  D  <->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
7051, 59, 20, 69syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  ||  D  <->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ ) )
7168, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  ( C  gcd  D ) )  e.  ZZ )
7267, 71syl5eqel 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
73 zsqcl2 12288 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e. 
NN0 )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
7574nn0cnd 10894 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
7654, 66, 75adddid 9649 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  +  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
7751zcnd 11008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  CC )
7863zcnd 11008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
7977, 78sqmuld 12364 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
8055oveq2i 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  gcd  D )  x.  E )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( C  /  ( C  gcd  D ) ) )
8114zcnd 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8281, 77, 59divcan2d 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( C  /  ( C  gcd  D ) ) )  =  C )
8380, 82syl5eq 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  E )  =  C )
8483oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
8579, 84eqtr3d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
8672zcnd 11008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
8777, 86sqmuld 12364 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )
8867oveq2i 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  gcd  D )  x.  F )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( D  /  ( C  gcd  D ) ) )
8920zcnd 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9089, 77, 59divcan2d 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( D  /  ( C  gcd  D ) ) )  =  D )
9188, 90syl5eq 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  F )  =  D )
9291oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  F ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
9387, 92eqtr3d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( D ^
2 ) )
9485, 93oveq12d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
9576, 94eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
9646, 95breqtrrd 4420 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
97 zsqcl 12281 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  ->  (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  e.  ZZ )
9851, 97syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ )
99 gcdcom 14365 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  gcd  M ) )
1008, 98, 99syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  gcd  D
) ^ 2 )  gcd  M ) )
101 gcddvds 14360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M ) )
10251, 8, 101syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M ) )
103102simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( C  gcd  D ) )
10451, 8gcdcld 14363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN0 )
105104nn0zd 11005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ )
106 dvdstr 14225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( C  gcd  D ) 
||  C )  -> 
( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  C ) )
107105, 51, 14, 106syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( C  gcd  D )  ||  C )  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  C
) )
108103, 58, 107mp2and 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  C )
109102simprd 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  M )
11013simprd 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  /  M
)  e.  ZZ )
1115nnne0d 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
11211, 14zsubcld 11012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  C
)  e.  ZZ )
113 dvdsval2 14196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( A  -  C )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( A  -  C )  <->  ( ( A  -  C )  /  M )  e.  ZZ ) )
1148, 111, 112, 113syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( A  -  C )  <->  ( ( A  -  C
)  /  M )  e.  ZZ ) )
115110, 114mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  ||  ( A  -  C ) )
116 dvdstr 14225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( A  -  C )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  M  /\  M  ||  ( A  -  C ) )  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( A  -  C )
) )
117105, 8, 112, 116syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( A  -  C )
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( A  -  C )
) )
118109, 115, 117mp2and 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( A  -  C ) )
119 dvdssub2 14230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( A  -  C ) )  -> 
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  A  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  C ) )
120105, 11, 14, 118, 119syl31anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  A  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  C ) )
121108, 120mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  A )
122 dvdstr 14225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  D )  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( C  gcd  D ) 
||  D )  -> 
( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  D ) )
123105, 51, 20, 122syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  ( C  gcd  D )  /\  ( C  gcd  D )  ||  D )  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  D
) )
124103, 68, 123mp2and 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  D )
12519simprd 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  D )  /  M
)  e.  ZZ )
12617, 20zsubcld 11012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  -  D
)  e.  ZZ )
127 dvdsval2 14196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( B  -  D )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( B  -  D )  <->  ( ( B  -  D )  /  M )  e.  ZZ ) )
1288, 111, 126, 127syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( B  -  D )  <->  ( ( B  -  D
)  /  M )  e.  ZZ ) )
129125, 128mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  ||  ( B  -  D ) )
130 dvdstr 14225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( B  -  D )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  M  /\  M  ||  ( B  -  D ) )  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( B  -  D )
) )
131105, 8, 126, 130syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( B  -  D )
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  ( B  -  D )
) )
132109, 129, 131mp2and 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( B  -  D ) )
133 dvdssub2 14230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  ( B  -  D ) )  -> 
( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  D ) )
134105, 17, 20, 132, 133syl31anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  ||  D ) )
135124, 134mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M ) 
||  B )
136 ax-1ne0 9590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =/=  0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
13849, 137eqnetrd 2696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =/=  0 )
139138neneqd 2605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( A  gcd  B )  =  0 )
140 gcdeq0 14366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  0  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
14111, 17, 140syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  =  0  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
142139, 141mtbid 298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
143 dvdslegcd 14361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  A  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  ( A  gcd  B ) ) )
144105, 11, 17, 142, 143syl31anc 1233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  ||  A  /\  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  ||  B
)  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  ( A  gcd  B ) ) )
145121, 135, 144mp2and 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  <_  ( A  gcd  B ) )
146145, 49breqtrd 4418 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  <_  1 )
147 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
148147necon3ai 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )
149111, 148syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )
150 gcdn0cl 14359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  gcd  D )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( ( C  gcd  D )  =  0  /\  M  =  0 ) )  -> 
( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN )
15151, 8, 149, 150syl21anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  e.  NN )
152 nnle1eq1 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  e.  NN  ->  ( (
( C  gcd  D
)  gcd  M )  <_  1  <->  ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  =  1 ) )
153151, 152syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  <_  1  <->  ( ( C  gcd  D
)  gcd  M )  =  1 ) )
154146, 153mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  gcd  M )  =  1 )
155 2nn 10733 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
156155a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
157 rplpwr 14401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  (
( ( C  gcd  D )  gcd  M )  =  1  ->  (
( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  gcd  M )  =  1 ) )
15850, 5, 156, 157syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  gcd 
M )  =  1  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  gcd 
M )  =  1 ) )
159154, 158mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  gcd  M
)  =  1 )
160100, 159eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
( C  gcd  D
) ^ 2 ) )  =  1 )
16165, 74nn0addcld 10896 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0 )
162161nn0zd 11005 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
163 coprmdvds 14450 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  ( M  gcd  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )  =  1 )  ->  M  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
1648, 98, 162, 163syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( ( C  gcd  D ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  ( M  gcd  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )  =  1 )  ->  M  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
16596, 160, 164mp2and 677 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
166 dvdsval2 14196 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1678, 111, 162, 166syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
168165, 167mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ )
16965nn0red 10893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
17074nn0red 10893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
171169, 170readdcld 9652 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
1725nnred 10590 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1731, 472sqlem7 24024 . . . . . . 7  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
174 inss2 3659 . . . . . . 7  |-  ( S  i^i  NN )  C_  NN
175173, 174sstri 3450 . . . . . 6  |-  Y  C_  NN
17663, 72gcdcld 14363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  e.  NN0 )
177176nn0cnd 10894 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  e.  CC )
178 1cnd 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
17977mulid1d 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  1 )  =  ( C  gcd  D ) )
18083, 91oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  (
( C  gcd  D
)  x.  F ) )  =  ( C  gcd  D ) )
18114, 20gcdcld 14363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  D
)  e.  NN0 )
182 mulgcd 14391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  gcd  D
)  e.  NN0  /\  E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  (
( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  ( ( C  gcd  D )  x.  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) ) )
183181, 63, 72, 182syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  D )  x.  E )  gcd  (
( C  gcd  D
)  x.  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) ) )
184179, 180, 1833eqtr2rd 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D )  x.  ( E  gcd  F ) )  =  ( ( C  gcd  D )  x.  1 ) )
185177, 178, 77, 59, 184mulcanad 10224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  gcd  F
)  =  1 )
186 eqidd 2403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
187 oveq1 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
x  gcd  y )  =  ( E  gcd  y ) )
188187eqeq1d 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  gcd  y
)  =  1  <->  ( E  gcd  y )  =  1 ) )
189 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  E  ->  (
x ^ 2 )  =  ( E ^
2 ) )
190189oveq1d 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
191190eqeq2d 2416 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
192188, 191anbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( E  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
193 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  ( E  gcd  y )  =  ( E  gcd  F
) )
194193eqeq1d 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( E  gcd  y
)  =  1  <->  ( E  gcd  F )  =  1 ) )
195 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  F  ->  (
y ^ 2 )  =  ( F ^
2 ) )
196195oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
197196eqeq2d 2416 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
198194, 197anbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( E  gcd  F )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
199192, 198rspc2ev 3170 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ  /\  (
( E  gcd  F
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
20063, 72, 185, 186, 199syl112anc 1234 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) )
201 ovex 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  e. 
_V
202 eqeq1 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
203202anbi2d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
2042032rexbidv 2924 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) ) )
205201, 204, 47elab2 3198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
206200, 205sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )
207175, 206sseldi 3439 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN )
208207nngt0d 10619 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
2095nngt0d 10619 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  M )
210171, 172, 208, 209divgt0d 10520 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )
211 elnnz 10914 . . 3  |-  ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  NN  <->  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) ) )
212168, 210, 211sylanbrc 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  NN )
213 prmnn 14427 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
214213ad2antrl 726 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  NN )
215214nnred 10590 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  RR )
216168adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  ZZ )
217216zred 11007 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  RR )
218 peano2zm 10947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
2198, 218syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
220219zred 11007 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
221220adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
222 simprr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) )
223 prmz 14428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
224223ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  ZZ )
225212adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  e.  NN )
226 dvdsle 14238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  NN )  ->  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ->  p  <_  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )
227224, 225, 226syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  ||  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  ->  p  <_  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M ) ) )
228222, 227mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  <_  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) )
229 zsqcl 12281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
2308, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
231230zred 11007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR )
232231rehalfcld 10825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
23316zred 11007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
23422zred 11007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  RR )
235233, 234readdcld 9652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  RR )
236 1red 9640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
23750nnsqcld 12372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  NN )
238237nnred 10590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  D ) ^ 2 )  e.  RR )
239161nn0ge0d 10895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
240237nnge1d 10618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  <_  ( ( C  gcd  D ) ^
2 ) )
241236, 238, 171, 239, 240lemul1ad 10524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  <_  ( (
( C  gcd  D
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
242161nn0cnd 10894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
243242mulid2d 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
244241, 243, 953brtr3d 4423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
245232rehalfcld 10825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  RR )
24611, 5, 124sqlem7 14669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
24717, 5, 184sqlem7 14669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
248233, 234, 245, 245, 246, 247le2addd 10209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
249232recnd 9651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
2502492halvesd 10824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )
251248, 250breqtrd 4418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
252171, 235, 232, 244, 251letrd 9772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
2535nnsqcld 12372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
254253nnrpd 11301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR+ )
255 rphalflt 11291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ^ 2 )  e.  RR+  ->  ( ( M ^ 2 )  /  2 )  < 
( M ^ 2 ) )
256254, 255syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  <  ( M ^ 2 ) )
257171, 232, 231, 252, 256lelttrd 9773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M ^ 2 ) )
2588zcnd 11008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
259258sqvald 12349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
260257, 259breqtrd 4418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) )
261 ltdivmul 10457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  -> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) ) )
262171, 172, 172, 209, 261syl112anc 1234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <  ( M  x.  M ) ) )
263260, 262mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  <  M )
264 zltlem1 10956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) ) )
265168, 8, 264syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  <  M  <->  ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) ) )
266263, 265mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  <_  ( M  -  1 ) )
267266adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  <_  ( M  - 
1 ) )
268215, 217, 221, 228, 267letrd 9772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  <_  ( M  -  1 ) )
269219adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
270 fznn 11800 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_ 
( M  -  1 ) ) ) )
271269, 270syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_ 
( M  -  1 ) ) ) )
272214, 268, 271mpbir2and 923 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )
273206adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )
274272, 273jca 530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y ) )
27548adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) )
276 dvdsmul2 14213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  ||  ( M  x.  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )
2778, 168, 276syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ||  ( M  x.  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
) ) )
278242, 258, 111divcan2d 10362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )
279277, 278breqtrd 4418 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
280279adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) 
||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
281162adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
282 dvdstr 14225 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( p 
||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  /\  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) 
||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  ->  p  ||  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
283224, 216, 281, 282syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  (
( p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  /\  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  /  M )  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  ->  p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
284222, 280, 283mp2and 677 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
285 breq1 4397 . . . . . . 7  |-  ( b  =  p  ->  (
b  ||  a  <->  p  ||  a
) )
286 eleq1 2474 . . . . . . 7  |-  ( b  =  p  ->  (
b  e.  S  <->  p  e.  S ) )
287285, 286imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( b  =  p  ->  (
( b  ||  a  ->  b  e.  S )  <-> 
( p  ||  a  ->  p  e.  S ) ) )
288 breq2 4398 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
p  ||  a  <->  p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
289288imbi1d 315 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  (
( p  ||  a  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  p  e.  S
) ) )
290287, 289rspc2v 3168 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 ... ( M  - 
1 ) )  /\  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  Y )  ->  ( A. b  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
)  ->  ( p  ||  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  ->  p  e.  S ) ) )
291274, 275, 284, 290syl3c 60 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) ) )  ->  p  e.  S )
292291expr 613 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M
)  ->  p  e.  S ) )
293292ralrimiva 2817 . 2  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M )  ->  p  e.  S )
)
294 inss1 3658 . . . . 5  |-  ( S  i^i  NN )  C_  S
295173, 294sstri 3450 . . . 4  |-  Y  C_  S
296295, 206sseldi 3439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  S )
297278, 296eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  /  M ) )  e.  S )
2981, 5, 212, 293, 2972sqlem6 24023 1  |-  ( ph  ->  M  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754    i^i cin 3412   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ran crn 4823   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840    / cdiv 10246   NNcn 10575   2c2 10625   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   RR+crp 11264   ...cfz 11724    mod cmo 12032   ^cexp 12208   abscabs 13214    || cdvds 14193    gcd cgcd 14351   Primecprime 14424   ZZ[_i]cgz 14654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-dvds 14194  df-gcd 14352  df-prm 14425  df-gz 14655
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