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Theorem 2sqlem7 23366
Description: Lemma for 2sq 23372. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem7.2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
2sqlem7  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    x, S, y, z    x, Y, y
Allowed substitution hints:    S( w)    Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem7
StepHypRef Expression
1 2sqlem7.2 . 2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
2 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
32reximi 2925 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  z  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )
43reximi 2925 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
5 2sq.1 . . . . . 6  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
652sqlem2 23360 . . . . 5  |-  ( z  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
74, 6sylibr 212 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  e.  S
)
8 ax-1ne0 9550 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
9 gcdeq0 14007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  gcd  y )  =  0  <-> 
( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x  gcd  y )  =  0  <->  ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( x  gcd  y )  =  1 )
1211eqeq1d 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x  gcd  y )  =  0  <->  1  = 
0 ) )
1310, 12bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x  =  0  /\  y  =  0 )  <->  1  =  0 ) )
1413necon3bbid 2707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( -.  ( x  =  0  /\  y  =  0
)  <->  1  =/=  0
) )
158, 14mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  -.  (
x  =  0  /\  y  =  0 ) )
16 zsqcl2 12200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x ^ 2 )  e.  NN0 )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( x ^ 2 )  e. 
NN0 )
1817nn0red 10842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
1917nn0ge0d 10844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  0  <_  ( x ^ 2 ) )
20 zsqcl2 12200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  NN0 )
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( y ^ 2 )  e. 
NN0 )
2221nn0red 10842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( y ^ 2 )  e.  RR )
2321nn0ge0d 10844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  0  <_  ( y ^ 2 ) )
24 add20 10053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( x ^
2 )  =  0  /\  ( y ^
2 )  =  0 ) ) )
2518, 19, 22, 23, 24syl22anc 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0  <->  ( (
x ^ 2 )  =  0  /\  (
y ^ 2 )  =  0 ) ) )
26 zcn 10858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  x  e.  CC )
28 zcn 10858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  y  e.  CC )
30 sqeq0 12187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  0  <->  x  =  0 ) )
31 sqeq0 12187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  =  0  <->  y  =  0 ) )
3230, 31bi2anan9 869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  =  0  /\  ( y ^ 2 )  =  0 )  <->  ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
3327, 29, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  =  0  /\  ( y ^ 2 )  =  0 )  <-> 
( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
3425, 33bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0  <->  ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
3515, 34mtbird 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  -.  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0 )
36 nn0addcl 10820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  NN0  /\  ( y ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
3716, 20, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e. 
NN0 )
39 elnn0 10786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0  <->  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  NN  \/  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  =  0 ) )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN  \/  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0 ) )
4140ord 377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( -.  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN  ->  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0 ) )
4235, 41mt3d 125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  NN )
43 eleq1 2532 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  (
z  e.  NN  <->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  NN ) )
4442, 43syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  z  e.  NN ) )
4544expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  z  e.  NN ) )
4645rexlimivv 2953 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  e.  NN )
477, 46elind 3681 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  e.  ( S  i^i  NN ) )
4847abssi 3568 . 2  |-  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }  C_  ( S  i^i  NN )
491, 48eqsstri 3527 1  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445    =/= wne 2655   E.wrex 2808    i^i cin 3468    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ^cexp 12122   abscabs 13017    gcd cgcd 13992   ZZ[_i]cgz 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-gz 14296
This theorem is referenced by:  2sqlem8  23368  2sqlem9  23369
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