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Theorem 2sqlem7 22689
Description: Lemma for 2sq 22695. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem7.2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
2sqlem7  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    x, S, y, z    x, Y, y
Allowed substitution hints:    S( w)    Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem7
StepHypRef Expression
1 2sqlem7.2 . 2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
2 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
32reximi 2818 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  z  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )
43reximi 2818 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
5 2sq.1 . . . . . 6  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
652sqlem2 22683 . . . . 5  |-  ( z  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
74, 6sylibr 212 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  e.  S
)
8 ax-1ne0 9343 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
9 gcdeq0 13697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  gcd  y )  =  0  <-> 
( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x  gcd  y )  =  0  <->  ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( x  gcd  y )  =  1 )
1211eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x  gcd  y )  =  0  <->  1  = 
0 ) )
1310, 12bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x  =  0  /\  y  =  0 )  <->  1  =  0 ) )
1413necon3bbid 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( -.  ( x  =  0  /\  y  =  0
)  <->  1  =/=  0
) )
158, 14mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  -.  (
x  =  0  /\  y  =  0 ) )
16 zsqcl2 11935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x ^ 2 )  e.  NN0 )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( x ^ 2 )  e. 
NN0 )
1817nn0red 10629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
1917nn0ge0d 10631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  0  <_  ( x ^ 2 ) )
20 zsqcl2 11935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  NN0 )
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( y ^ 2 )  e. 
NN0 )
2221nn0red 10629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( y ^ 2 )  e.  RR )
2321nn0ge0d 10631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  0  <_  ( y ^ 2 ) )
24 add20 9843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( x ^
2 )  =  0  /\  ( y ^
2 )  =  0 ) ) )
2518, 19, 22, 23, 24syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0  <->  ( (
x ^ 2 )  =  0  /\  (
y ^ 2 )  =  0 ) ) )
26 zcn 10643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  x  e.  CC )
28 zcn 10643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  y  e.  CC )
30 sqeq0 11922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  0  <->  x  =  0 ) )
31 sqeq0 11922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  =  0  <->  y  =  0 ) )
3230, 31bi2anan9 868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  =  0  /\  ( y ^ 2 )  =  0 )  <->  ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
3327, 29, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  =  0  /\  ( y ^ 2 )  =  0 )  <-> 
( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
3425, 33bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0  <->  ( x  =  0  /\  y  =  0 ) ) )
3515, 34mtbird 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  -.  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0 )
36 nn0addcl 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  NN0  /\  ( y ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
3716, 20, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e. 
NN0 )
39 elnn0 10573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0  <->  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  NN  \/  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  =  0 ) )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN  \/  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0 ) )
4140ord 377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( -.  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN  ->  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  0 ) )
4235, 41mt3d 125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  NN )
43 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  (
z  e.  NN  <->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  NN ) )
4442, 43syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  gcd  y )  =  1 )  ->  ( z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  z  e.  NN ) )
4544expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  z  e.  NN ) )
4645rexlimivv 2841 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  e.  NN )
477, 46elind 3535 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  z  e.  ( S  i^i  NN ) )
4847abssi 3422 . 2  |-  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }  C_  ( S  i^i  NN )
491, 48eqsstri 3381 1  |-  Y  C_  ( S  i^i  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2424    =/= wne 2601   E.wrex 2711    i^i cin 3322    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    <_ cle 9411   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ^cexp 11857   abscabs 12715    gcd cgcd 13682   ZZ[_i]cgz 13982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-gz 13983
This theorem is referenced by:  2sqlem8  22691  2sqlem9  22692
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