Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem6 Structured version   Unicode version

Theorem 2sqlem6 24160
 Description: Lemma for 2sq 24167. If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1
2sqlem6.1
2sqlem6.2
2sqlem6.3
2sqlem6.4
Assertion
Ref Expression
2sqlem6
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2
2 2sqlem6.2 . . 3
3 2sqlem6.3 . . 3
4 breq2 4430 . . . . . . 7
54imbi1d 318 . . . . . 6
65ralbidv 2871 . . . . 5
7 oveq2 6313 . . . . . . . 8
87eleq1d 2498 . . . . . . 7
98imbi1d 318 . . . . . 6
109ralbidv 2871 . . . . 5
116, 10imbi12d 321 . . . 4
12 breq2 4430 . . . . . . 7
1312imbi1d 318 . . . . . 6
1413ralbidv 2871 . . . . 5
15 oveq2 6313 . . . . . . . 8
1615eleq1d 2498 . . . . . . 7
1716imbi1d 318 . . . . . 6
1817ralbidv 2871 . . . . 5
1914, 18imbi12d 321 . . . 4
20 breq2 4430 . . . . . . 7
2120imbi1d 318 . . . . . 6
2221ralbidv 2871 . . . . 5
23 oveq2 6313 . . . . . . . 8
2423eleq1d 2498 . . . . . . 7
2524imbi1d 318 . . . . . 6
2625ralbidv 2871 . . . . 5
2722, 26imbi12d 321 . . . 4
28 breq2 4430 . . . . . . 7
2928imbi1d 318 . . . . . 6
3029ralbidv 2871 . . . . 5
31 oveq2 6313 . . . . . . . 8
3231eleq1d 2498 . . . . . . 7
3332imbi1d 318 . . . . . 6
3433ralbidv 2871 . . . . 5
3530, 34imbi12d 321 . . . 4
36 breq2 4430 . . . . . . 7
3736imbi1d 318 . . . . . 6
3837ralbidv 2871 . . . . 5
39 oveq2 6313 . . . . . . . 8
4039eleq1d 2498 . . . . . . 7
4140imbi1d 318 . . . . . 6
4241ralbidv 2871 . . . . 5
4338, 42imbi12d 321 . . . 4
44 nncn 10617 . . . . . . . . 9
4544mulid1d 9659 . . . . . . . 8
4645eleq1d 2498 . . . . . . 7
4746biimpd 210 . . . . . 6
4847rgen 2792 . . . . 5
4948a1i 11 . . . 4
50 breq1 4429 . . . . . . 7
51 eleq1 2501 . . . . . . 7
5250, 51imbi12d 321 . . . . . 6
5352rspcv 3184 . . . . 5
54 prmz 14597 . . . . . . 7
55 iddvds 14294 . . . . . . 7
5654, 55syl 17 . . . . . 6
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10
58 simprl 762 . . . . . . . . . 10
59 simpll 758 . . . . . . . . . 10
60 simprr 764 . . . . . . . . . 10
61 simplr 760 . . . . . . . . . 10
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 24159 . . . . . . . . 9
6362expr 618 . . . . . . . 8
6463ralrimiva 2846 . . . . . . 7
6564ex 435 . . . . . 6
6656, 65embantd 56 . . . . 5
6753, 66syld 45 . . . 4
68 prth 573 . . . . 5
69 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14
70 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14
72 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
74 euclemma 14636 . . . . . . . . . . . . . 14
7569, 71, 73, 74syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13
7675imbi1d 318 . . . . . . . . . . . 12
77 jaob 790 . . . . . . . . . . . 12
7876, 77syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11
7978ralbidva 2868 . . . . . . . . . 10
80 r19.26 2962 . . . . . . . . . 10
8179, 80syl6bb 264 . . . . . . . . 9
8281biimpa 486 . . . . . . . 8
83 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . 13
8483eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . 12
85 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12
8684, 85imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11
8786cbvralv 3062 . . . . . . . . . 10
8844adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 uzssz 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 zsscn 10945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9189, 90sstri 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9491, 93sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15
95 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9791, 96sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 mul32 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16
99 mulass 9626 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10098, 99eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15
10188, 94, 97, 100syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14
102101eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . 13
103 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 eluz2nn 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10596, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
106103, 105nnmulcld 10657 . . . . . . . . . . . . . 14
107 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14
108 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111109, 110imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . . 14
113106, 107, 112sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13
114102, 113sylbird 238 . . . . . . . . . . . 12
115114imim1d 78 . . . . . . . . . . 11
116115ralimdva 2840 . . . . . . . . . 10
11787, 116sylan2b 477 . . . . . . . . 9
118117expimpd 606 . . . . . . . 8
11982, 118embantd 56 . . . . . . 7
120119ex 435 . . . . . 6
121120com23 81 . . . . 5
12268, 121syl5 33 . . . 4
12311, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122prmind 14607 . . 3
1242, 3, 123sylc 62 . 2
125 2sqlem6.4 . 2
126 oveq1 6312 . . . . 5
127126eleq1d 2498 . . . 4
128 eleq1 2501 . . . 4
129127, 128imbi12d 321 . . 3
130129rspcv 3184 . 2
1311, 124, 125, 130syl3c 63 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782   class class class wbr 4426   cmpt 4484   crn 4855  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  c1 9539   cmul 9543  cn 10609  c2 10659  cz 10937  cuz 11159  cexp 12269  cabs 13276   cdvds 14283  cprime 14593  cgz 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-gz 14837 This theorem is referenced by:  2sqlem8  24163
 Copyright terms: Public domain W3C validator