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Theorem 2sqlem6 23770
Description: Lemma for 2sq 23777. If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2sqlem6.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
2sqlem6.3  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )
)
2sqlem6.4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
2sqlem6  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Distinct variable groups:    w, p    ph, p    B, p    S, p
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( w, p)    B( w)    S( w)

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables  n  x  y  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 2sqlem6.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 2sqlem6.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )
)
4 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  1
) )
54imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  1  ->  p  e.  S ) ) )
65ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  1  ->  p  e.  S ) ) )
7 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  1 ) )
87eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  1 )  e.  S
) )
98imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
109ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
116, 10imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  1  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  y
) )
1312imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  y  ->  p  e.  S ) ) )
1413ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  y  ->  p  e.  S ) ) )
15 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  y ) )
1615eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  y )  e.  S
) )
1716imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1817ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1914, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
20 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  z
) )
2120imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
2221ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
23 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  z ) )
2423eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  z )  e.  S
) )
2524imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
2625ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
2722, 26imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
28 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  (
y  x.  z ) ) )
2928imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) ) )
3029ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) ) )
31 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
3231eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S
) )
3332imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
3433ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
3530, 34imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
36 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  B
) )
3736imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  B  ->  p  e.  S ) ) )
3837ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  B  ->  p  e.  S ) ) )
39 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  B ) )
4039eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  B )  e.  S
) )
4140imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
4241ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
4338, 42imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
44 nncn 10564 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4544mulid1d 9630 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  x.  1 )  =  m )
4645eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  x.  1 )  e.  S  <->  m  e.  S ) )
4746biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S )
)
4847rgen 2817 . . . . 5  |-  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S )
4948a1i 11 . . . 4  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  1  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
50 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( p  =  x  ->  (
p  ||  x  <->  x  ||  x
) )
51 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( p  =  x  ->  (
p  e.  S  <->  x  e.  S ) )
5250, 51imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( p  =  x  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( x  ||  x  ->  x  e.  S ) ) )
5352rspcv 3206 . . . . 5  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  x  ->  p  e.  S )  ->  (
x  ||  x  ->  x  e.  S ) ) )
54 prmz 14233 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  ZZ )
55 iddvds 14009 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  ||  x )
5654, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  ||  x )
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
58 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  m  e.  NN )
59 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  x  e.  Prime )
60 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  -> 
( m  x.  x
)  e.  S )
61 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 23769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  m  e.  S )
6362expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
6463ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
6564ex 434 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( x  e.  S  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
6656, 65embantd 54 . . . . 5  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x  ||  x  ->  x  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
6753, 66syld 44 . . . 4  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
68 prth 571 . . . . 5  |-  ( ( ( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  /\  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
) ) )
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
70 eluzelz 11115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  ZZ )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
y  e.  ZZ )
72 eluzelz 11115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
7372ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
z  e.  ZZ )
74 euclemma 14261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
p  ||  ( y  x.  z )  <->  ( p  ||  y  \/  p  ||  z ) ) )
7569, 71, 73, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
y  x.  z )  <-> 
( p  ||  y  \/  p  ||  z ) ) )
7675imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  <->  ( (
p  ||  y  \/  p  ||  z )  ->  p  e.  S )
) )
77 jaob 783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  ||  y  \/  p  ||  z )  ->  p  e.  S
)  <->  ( ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
7876, 77syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  <->  ( (
p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  ( p  ||  z  ->  p  e.  S )
) ) )
7978ralbidva 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  ( ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) ) )
80 r19.26 2984 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  Prime  ( ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
) ) )
8179, 80syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) ) ) )
8281biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
83 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
m  x.  y )  =  ( n  x.  y ) )
8483eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  x.  y
)  e.  S  <->  ( n  x.  y )  e.  S
) )
85 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  S  <->  n  e.  S ) )
8684, 85imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S ) ) )
8786cbvralv 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)
8844adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
89 uzssz 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ZZ
90 zsscn 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  CC
9189, 90sstri 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  CC
92 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9491, 93sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
95 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9791, 96sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  CC )
98 mul32 9764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  y
)  x.  z )  =  ( ( m  x.  z )  x.  y ) )
99 mulass 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  y
)  x.  z )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
10098, 99eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  z
)  x.  y )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
10188, 94, 97, 100syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  z )  x.  y )  =  ( m  x.  (
y  x.  z ) ) )
102101eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  x.  y )  e.  S  <->  ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S
) )
103 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
104 eluz2nn 11144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN )
10596, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  NN )
106103, 105nnmulcld 10604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  x.  z )  e.  NN )
107 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S ) )
108 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
n  x.  y )  =  ( ( m  x.  z )  x.  y ) )
109108eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
( n  x.  y
)  e.  S  <->  ( (
m  x.  z )  x.  y )  e.  S ) )
110 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
n  e.  S  <->  ( m  x.  z )  e.  S
) )
111109, 110imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S )  <-> 
( ( ( m  x.  z )  x.  y )  e.  S  ->  ( m  x.  z
)  e.  S ) ) )
112111rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  x.  z )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S )  ->  ( ( ( m  x.  z )  x.  y )  e.  S  ->  ( m  x.  z )  e.  S
) ) )
113106, 107, 112sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  x.  y )  e.  S  ->  (
m  x.  z )  e.  S ) )
114102, 113sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  (
m  x.  z )  e.  S ) )
115114imim1d 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
116115ralimdva 2865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
11787, 116sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )
)  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
118117expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
11982, 118embantd 54 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( ( ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
120119ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  ->  (
( ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
) )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
121120com23 78 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) )  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12268, 121syl5 32 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  /\  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12311, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122prmind 14241 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1242, 3, 123sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
125 2sqlem6.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  S )
126 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( m  =  A  ->  (
m  x.  B )  =  ( A  x.  B ) )
127126eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( m  =  A  ->  (
( m  x.  B
)  e.  S  <->  ( A  x.  B )  e.  S
) )
128 eleq1 2529 . . . 4  |-  ( m  =  A  ->  (
m  e.  S  <->  A  e.  S ) )
129127, 128imbi12d 320 . . 3  |-  ( m  =  A  ->  (
( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( A  x.  B )  e.  S  ->  A  e.  S ) ) )
130129rspcv 3206 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  ( ( A  x.  B )  e.  S  ->  A  e.  S ) ) )
1311, 124, 125, 130syl3c 61 1  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   1c1 9510    x. cmul 9514   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ^cexp 12169   abscabs 13079    || cdvds 13998   Primecprime 14229   ZZ[_i]cgz 14459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-gz 14460
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