Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem5 Structured version   Unicode version

Theorem 2sqlem5 24026
 Description: Lemma for 2sq 24034. If a number that is a sum of two squares is divisible by a prime that is a sum of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1
2sqlem5.1
2sqlem5.2
2sqlem5.3
2sqlem5.4
Assertion
Ref Expression
2sqlem5

Proof of Theorem 2sqlem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem5.4 . . 3
2 2sq.1 . . . 4
322sqlem2 24022 . . 3
41, 3sylib 198 . 2
5 2sqlem5.3 . . 3
622sqlem2 24022 . . 3
75, 6sylib 198 . 2
8 reeanv 2977 . . 3
9 reeanv 2977 . . . . 5
10 2sqlem5.1 . . . . . . . . 9
1110ad2antrr 726 . . . . . . . 8
12 2sqlem5.2 . . . . . . . . 9
1312ad2antrr 726 . . . . . . . 8
14 simplrr 765 . . . . . . . 8
15 simprlr 767 . . . . . . . 8
16 simplrl 764 . . . . . . . 8
17 simprll 766 . . . . . . . 8
18 simprrr 769 . . . . . . . 8
19 simprrl 768 . . . . . . . 8
202, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 192sqlem4 24025 . . . . . . 7
2120expr 615 . . . . . 6
2221rexlimdvva 2905 . . . . 5
239, 22syl5bir 220 . . . 4
2423rexlimdvva 2905 . . 3
258, 24syl5bir 220 . 2
264, 7, 25mp2and 679 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  wrex 2757   cmpt 4455   crn 4826  cfv 5571  (class class class)co 6280   caddc 9527   cmul 9529  cn 10578  c2 10628  cz 10907  cexp 12212  cabs 13218  cprime 14428  cgz 14658 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-dvds 14198  df-gcd 14356  df-prm 14429  df-gz 14659 This theorem is referenced by:  2sqlem6  24027
 Copyright terms: Public domain W3C validator