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Theorem 2sqlem3 23466
Description: Lemma for 2sqlem5 23468. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem5.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2sqlem5.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2sqlem4.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqlem4.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqlem4.5  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2sqlem4.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
2sqlem4.7  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
2sqlem4.8  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
2sqlem4.9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem3  |-  ( ph  ->  N  e.  S )

Proof of Theorem 2sqlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem4.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 2sqlem4.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 gzreim 14319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
5 2sqlem4.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
6 2sqlem4.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
7 gzreim 14319 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
9 gzmulcl 14318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  /\  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i] )
104, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i] )
11 gzcn 14312 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
13 2sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
14 prmnn 14082 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1615nncnd 10553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1715nnne0d 10581 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
1812, 16, 17divcld 10321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC )
1915nnred 10552 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2019, 12, 17redivd 13028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
21 prmz 14083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2213, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
23 dvdsmul2 13870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
2422, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
2516sqvald 12276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
2624, 25breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P ^ 2 ) )
27 2sqlem5.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2827nnzd 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
29 zsqcl 12207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
3022, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
31 dvdsmul2 13870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3328, 30zmulcld 10973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  e.  ZZ )
34 dvdstr 13881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^
2 )  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) ) )
3522, 30, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^
2 )  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) ) )
3626, 32, 35mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
37 gzcn 14312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
384, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
3938abscld 13233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  RR )
4039recnd 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  CC )
41 gzcn 14312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
428, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
4342abscld 13233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  RR )
4443recnd 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
4540, 44sqmuld 12291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
461zred 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
472zred 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4846, 47crred 13030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  A )
4948oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
5046, 47crimd 13031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  B )
5150oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
5249, 51oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
5338absvalsq2d 13240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) ) )
54 2sqlem4.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
5552, 53, 543eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  P
) )
565zred 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
576zred 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5856, 57crred 13030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  C )
5958oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
6056, 57crimd 13031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  D )
6160oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
6259, 61oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
6342absvalsq2d 13240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
64 2sqlem4.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
6562, 63, 643eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  P )
6655, 65oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N  x.  P )  x.  P ) )
6727nncnd 10553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6867, 16, 16mulassd 9620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  P )  x.  P
)  =  ( N  x.  ( P  x.  P ) ) )
6945, 66, 683eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P  x.  P )
) )
7038, 42absmuld 13251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
7170oveq1d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )
7225oveq2d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( P  x.  P
) ) )
7369, 71, 723eqtr4d 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )
7436, 73breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
7512absvalsq2d 13240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
76 elgz 14311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  e.  CC  /\  ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ ) )
7776simp2bi 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
7810, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
79 zsqcl 12207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8180zcnd 10968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8276simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
8310, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
84 zsqcl 12207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8685zcnd 10968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8781, 86addcomd 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
8875, 87eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
8974, 88breqtrd 4471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
90 2sqlem4.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
915zcnd 10968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
922zcnd 10968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
9391, 92mulcld 9617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
941zcnd 10968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
956zcnd 10968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9694, 95mulcld 9617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
9793, 96addcomd 9782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) )
9891, 92mulcomd 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  =  ( B  x.  C ) )
9998oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10097, 99eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10190, 100breqtrd 4471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10238, 42immuld 13018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
10348, 60oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( A  x.  D ) )
10450, 58oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( B  x.  C ) )
105103, 104oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C
) ) )
106102, 105eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
107101, 106breqtrrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
108 2nn 10694 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
110 prmdvdsexp 14117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
11113, 83, 109, 110syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
112107, 111mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
113 dvdsadd2b 13890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11422, 80, 85, 112, 113syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11589, 114mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
116 prmdvdsexp 14117 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
11713, 78, 109, 116syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
118115, 117mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
119 dvdsval2 13853 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
12022, 17, 78, 119syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
121118, 120mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
12220, 121eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
12319, 12, 17imdivd 13029 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
124 dvdsval2 13853 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
12522, 17, 83, 124syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
126107, 125mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
127123, 126eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
128 elgz 14311 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ  /\  (
Im `  ( (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ ) )
12918, 122, 127, 128syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ[_i] )
13012, 16, 17absdivd 13252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) ) )
13115nnnn0d 10853 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
132131nn0ge0d 10856 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
13319, 132absidd 13220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  P
)  =  P )
134133oveq2d 6301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) )  =  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
135130, 134eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
136135oveq1d 6300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 ) )
13712abscld 13233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  RR )
138137recnd 9623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  CC )
139138, 16, 17sqdivd 12292 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) ) )
14073oveq1d 6300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) ) )
14115nnsqcld 12299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  NN )
142141nncnd 10553 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  CC )
143141nnne0d 10581 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =/=  0 )
14467, 142, 143divcan4d 10327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) )  =  N )
145140, 144eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  N )
146136, 139, 1453eqtrrd 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) )
147 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) )
148147oveq1d 6300 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
) ) ^ 2 ) )
149148eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  ( N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <->  N  =  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) ) )
150149rspcev 3214 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ[_i]  /\  N  =  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) )  ->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 ) )
151129, 146, 150syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 ) )
152 2sq.1 . . 3  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
1531522sqlem1 23463 . 2  |-  ( N  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 ) )
154151, 153sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  N  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   _ici 9495    + caddc 9496    x. cmul 9498    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   ZZcz 10865   ^cexp 12135   Recre 12896   Imcim 12897   abscabs 13033    || cdivides 13850   Primecprime 14079   ZZ[_i]cgz 14309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-dvds 13851  df-gcd 14007  df-prm 14080  df-gz 14310
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