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Theorem 2sqlem3 24294
Description: Lemma for 2sqlem5 24296. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem5.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2sqlem5.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2sqlem4.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqlem4.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqlem4.5  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2sqlem4.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
2sqlem4.7  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
2sqlem4.8  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
2sqlem4.9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem3  |-  ( ph  ->  N  e.  S )

Proof of Theorem 2sqlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem4.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 2sqlem4.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 gzreim 14883 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
41, 2, 3syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
5 2sqlem4.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
6 2sqlem4.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
7 gzreim 14883 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
85, 6, 7syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
9 gzmulcl 14882 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  /\  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i] )
104, 8, 9syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i] )
11 gzcn 14876 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
13 2sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
14 prmnn 14625 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1615nncnd 10625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1715nnne0d 10654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
1812, 16, 17divcld 10383 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC )
1915nnred 10624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2019, 12, 17redivd 13292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
21 prmz 14626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2213, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
23 dvdsmul2 14325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
2422, 22, 23syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
2516sqvald 12413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
2624, 25breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P ^ 2 ) )
27 2sqlem5.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2827nnzd 11039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
29 zsqcl 12345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
31 dvdsmul2 14325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3328, 30zmulcld 11046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  e.  ZZ )
34 dvdstr 14337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^
2 )  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) ) )
3522, 30, 33, 34syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^
2 )  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) ) )
3626, 32, 35mp2and 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
37 gzcn 14876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
384, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
3938abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  RR )
4039recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  CC )
41 gzcn 14876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
428, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
4342abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  RR )
4443recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
4540, 44sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
461zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
472zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4846, 47crred 13294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  A )
4948oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
5046, 47crimd 13295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  B )
5150oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
5249, 51oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
5338absvalsq2d 13505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) ) )
54 2sqlem4.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
5552, 53, 543eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  P
) )
565zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
576zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5856, 57crred 13294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  C )
5958oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
6056, 57crimd 13295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  D )
6160oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
6259, 61oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
6342absvalsq2d 13505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
64 2sqlem4.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
6562, 63, 643eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  P )
6655, 65oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N  x.  P )  x.  P ) )
6727nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6867, 16, 16mulassd 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  P )  x.  P
)  =  ( N  x.  ( P  x.  P ) ) )
6945, 66, 683eqtrd 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P  x.  P )
) )
7038, 42absmuld 13516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
7170oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )
7225oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( P  x.  P
) ) )
7369, 71, 723eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )
7436, 73breqtrrd 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
7512absvalsq2d 13505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
76 elgz 14875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  e.  CC  /\  ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ ) )
7776simp2bi 1024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
7810, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
79 zsqcl 12345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8180zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8276simp3bi 1025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
8310, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
84 zsqcl 12345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8685zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8781, 86addcomd 9835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
8875, 87eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
8974, 88breqtrd 4427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
90 2sqlem4.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
915zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
922zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
9391, 92mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
941zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
956zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9694, 95mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
9793, 96addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) )
9891, 92mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  =  ( B  x.  C ) )
9998oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10097, 99eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10190, 100breqtrd 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10238, 42immuld 13282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
10348, 60oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( A  x.  D ) )
10450, 58oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( B  x.  C ) )
105103, 104oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C
) ) )
106102, 105eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
107101, 106breqtrrd 4429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
108 2nn 10767 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
110 prmdvdsexp 14667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
11113, 83, 109, 110syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
112107, 111mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
113 dvdsadd2b 14347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11422, 80, 85, 112, 113syl112anc 1272 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11589, 114mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
116 prmdvdsexp 14667 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
11713, 78, 109, 116syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
118115, 117mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
119 dvdsval2 14308 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
12022, 17, 78, 119syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
121118, 120mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
12220, 121eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
12319, 12, 17imdivd 13293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
124 dvdsval2 14308 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
12522, 17, 83, 124syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
126107, 125mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
127123, 126eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
128 elgz 14875 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ  /\  (
Im `  ( (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ ) )
12918, 122, 127, 128syl3anbrc 1192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ[_i] )
13012, 16, 17absdivd 13517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) ) )
13115nnnn0d 10925 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
132131nn0ge0d 10928 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
13319, 132absidd 13484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  P
)  =  P )
134133oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) )  =  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
135130, 134eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
136135oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 ) )
13712abscld 13498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  RR )
138137recnd 9669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  CC )
139138, 16, 17sqdivd 12429 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) ) )
14073oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) ) )
14115nnsqcld 12436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  NN )
142141nncnd 10625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  CC )
143141nnne0d 10654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =/=  0 )
14467, 142, 143divcan4d 10389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) )  =  N )
145140, 144eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  N )
146136, 139, 1453eqtrrd 2490 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) )
147 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) )
148147oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
) ) ^ 2 ) )
149148eqeq2d 2461 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  ( N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <->  N  =  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) ) )
150149rspcev 3150 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ[_i]  /\  N  =  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) )  ->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 ) )
151129, 146, 150syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 ) )
152 2sq.1 . . 3  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
1531522sqlem1 24291 . 2  |-  ( N  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 ) )
154151, 153sylibr 216 1  |-  ( ph  ->  N  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539   _ici 9541    + caddc 9542    x. cmul 9544    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ^cexp 12272   Recre 13160   Imcim 13161   abscabs 13297    || cdvds 14305   Primecprime 14622   ZZ[_i]cgz 14873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-gz 14874
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