MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem3 Structured version   Unicode version

Theorem 2sqlem3 22717
Description: Lemma for 2sqlem5 22719. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem5.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2sqlem5.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2sqlem4.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqlem4.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqlem4.5  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2sqlem4.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
2sqlem4.7  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
2sqlem4.8  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
2sqlem4.9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem3  |-  ( ph  ->  N  e.  S )

Proof of Theorem 2sqlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem4.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 2sqlem4.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 gzreim 14012 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
5 2sqlem4.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
6 2sqlem4.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
7 gzreim 14012 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
9 gzmulcl 14011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  /\  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i] )
104, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i] )
11 gzcn 14005 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
13 2sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
14 prmnn 13778 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1615nncnd 10350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1715nnne0d 10378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
1812, 16, 17divcld 10119 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC )
1915nnred 10349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2019, 12, 17redivd 12730 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
21 prmz 13779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2213, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
23 dvdsmul2 13567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
2422, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
2516sqvald 12017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
2624, 25breqtrrd 4330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P ^ 2 ) )
27 2sqlem5.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2827nnzd 10758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
29 zsqcl 11948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
3022, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
31 dvdsmul2 13567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3328, 30zmulcld 10765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  e.  ZZ )
34 dvdstr 13578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^
2 )  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) ) )
3522, 30, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^
2 )  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) ) )
3626, 32, 35mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
37 gzcn 14005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
384, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
3938abscld 12934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  RR )
4039recnd 9424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  CC )
41 gzcn 14005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
428, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
4342abscld 12934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  RR )
4443recnd 9424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
4540, 44sqmuld 12032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
461zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
472zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4846, 47crred 12732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  A )
4948oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
5046, 47crimd 12733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  B )
5150oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
5249, 51oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
5338absvalsq2d 12941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) ) )
54 2sqlem4.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
5552, 53, 543eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  P
) )
565zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
576zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5856, 57crred 12732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  C )
5958oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
6056, 57crimd 12733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  D )
6160oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
6259, 61oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
6342absvalsq2d 12941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
64 2sqlem4.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
6562, 63, 643eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  P )
6655, 65oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N  x.  P )  x.  P ) )
6727nncnd 10350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6867, 16, 16mulassd 9421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  P )  x.  P
)  =  ( N  x.  ( P  x.  P ) ) )
6945, 66, 683eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P  x.  P )
) )
7038, 42absmuld 12952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
7170oveq1d 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )
7225oveq2d 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( P  x.  P
) ) )
7369, 71, 723eqtr4d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )
7436, 73breqtrrd 4330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
7512absvalsq2d 12941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
76 elgz 14004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  e.  CC  /\  ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ ) )
7776simp2bi 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
7810, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
79 zsqcl 11948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8180zcnd 10760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8276simp3bi 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
8310, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
84 zsqcl 11948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8685zcnd 10760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8781, 86addcomd 9583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
8875, 87eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
8974, 88breqtrd 4328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
90 2sqlem4.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
915zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
922zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
9391, 92mulcld 9418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
941zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
956zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9694, 95mulcld 9418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
9793, 96addcomd 9583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) )
9891, 92mulcomd 9419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  =  ( B  x.  C ) )
9998oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10097, 99eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10190, 100breqtrd 4328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10238, 42immuld 12720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
10348, 60oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( A  x.  D ) )
10450, 58oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( B  x.  C ) )
105103, 104oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C
) ) )
106102, 105eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
107101, 106breqtrrd 4330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
108 2nn 10491 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
110 prmdvdsexp 13812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
11113, 83, 109, 110syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
112107, 111mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
113 dvdsadd2b 13587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11422, 80, 85, 112, 113syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11589, 114mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
116 prmdvdsexp 13812 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
11713, 78, 109, 116syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
118115, 117mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
119 dvdsval2 13550 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
12022, 17, 78, 119syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
121118, 120mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
12220, 121eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
12319, 12, 17imdivd 12731 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
124 dvdsval2 13550 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
12522, 17, 83, 124syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
126107, 125mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
127123, 126eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
128 elgz 14004 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P )  e.  ZZ[_i]  <->  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ  /\  (
Im `  ( (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ ) )
12918, 122, 127, 128syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ[_i] )
13012, 16, 17absdivd 12953 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) ) )
13115nnnn0d 10648 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
132131nn0ge0d 10651 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
13319, 132absidd 12921 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  P
)  =  P )
134133oveq2d 6119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) )  =  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
135130, 134eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
136135oveq1d 6118 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 ) )
13712abscld 12934 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  RR )
138137recnd 9424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  CC )
139138, 16, 17sqdivd 12033 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) ) )
14073oveq1d 6118 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) ) )
14115nnsqcld 12040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  NN )
142141nncnd 10350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  CC )
143141nnne0d 10378 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =/=  0 )
14467, 142, 143divcan4d 10125 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) )  =  N )
145140, 144eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  N )
146136, 139, 1453eqtrrd 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) )
147 fveq2 5703 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) )
148147oveq1d 6118 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
) ) ^ 2 ) )
149148eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  ( N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <->  N  =  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) ) )
150149rspcev 3085 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ[_i]  /\  N  =  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) )  ->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 ) )
151129, 146, 150syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 ) )
152 2sq.1 . . 3  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
1531522sqlem1 22714 . 2  |-  ( N  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ[_i]  N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 ) )
154151, 153sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  N  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   E.wrex 2728   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   ran crn 4853   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294   _ici 9296    + caddc 9297    x. cmul 9299    / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   ZZcz 10658   ^cexp 11877   Recre 12598   Imcim 12599   abscabs 12735    || cdivides 13547   Primecprime 13775   ZZ[_i]cgz 14002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-gz 14003
This theorem is referenced by:  2sqlem4  22718
  Copyright terms: Public domain W3C validator