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Theorem 2sqlem2 22835
Description: Lemma for 2sq 22847. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem2  |-  ( A  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y    x, A, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    A( w)    S( w)

Proof of Theorem 2sqlem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . . 4  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
212sqlem1 22834 . . 3  |-  ( A  e.  S  <->  E. z  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( abs `  z ) ^
2 ) )
3 elgz 14109 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  <->  ( z  e.  CC  /\  ( Re
`  z )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  z )  e.  ZZ ) )
43simp2bi 1004 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  z )  e.  ZZ )
53simp3bi 1005 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  z )  e.  ZZ )
6 gzcn 14110 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  z  e.  CC )
76absvalsq2d 13046 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) )
8 oveq1 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( Re
`  z ) ^
2 ) )
98oveq1d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
109eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
( ( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
11 oveq1 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
y ^ 2 )  =  ( ( Im
`  z ) ^
2 ) )
1211oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) )
1312eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( ( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) ) )
1410, 13rspc2ev 3186 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  z )  e.  ZZ  /\  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
154, 5, 7, 14syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )
16 eqeq1 2458 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  ->  ( A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
17162rexbidv 2878 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1815, 17syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  ( A  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1918rexlimiv 2939 . . 3  |-  ( E. z  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( abs `  z
) ^ 2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
202, 19sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
21 gzreim 14117 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  e.  ZZ[_i] )
22 zcn 10761 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
23 ax-icn 9451 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
24 zcn 10761 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
25 mulcl 9476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
2623, 24, 25sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
27 addcl 9474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( _i  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  e.  CC )
2822, 26, 27syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
2928absvalsq2d 13046 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) ^ 2 ) ) )
30 zre 10760 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
31 zre 10760 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
32 crre 12720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( Re `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  x )
3330, 31, 32syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( Re `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  x )
3433oveq1d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( Re `  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) ^ 2 )  =  ( x ^ 2 ) )
35 crim 12721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  y )
3630, 31, 35syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( Im `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  y )
3736oveq1d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( Im `  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) ^ 2 )  =  ( y ^ 2 ) )
3834, 37oveq12d 6217 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Re
`  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )
3929, 38eqtr2d 2496 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )
40 fveq2 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
4140oveq1d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )
4241eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  <->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  =  ( ( abs `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) ) )
4342rspcev 3177 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +  ( _i  x.  y ) )  e.  ZZ[_i]  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  ->  E. z  e.  ZZ[_i] 
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 ) )
4421, 39, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. z  e.  ZZ[_i]  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 ) )
4512sqlem1 22834 . . . . 5  |-  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  S  <->  E. z  e.  ZZ[_i] 
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 ) )
4644, 45sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  S )
47 eleq1 2526 . . . 4  |-  ( A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( A  e.  S  <->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  S ) )
4846, 47syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  A  e.  S
) )
4948rexlimivv 2950 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  A  e.  S )
5020, 49impbii 188 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2799    |-> cmpt 4457   ran crn 4948   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   _ici 9394    + caddc 9395    x. cmul 9397   2c2 10481   ZZcz 10756   ^cexp 11981   Recre 12703   Imcim 12704   abscabs 12840   ZZ[_i]cgz 14107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-gz 14108
This theorem is referenced by:  2sqlem5  22839  2sqlem7  22841  2sq  22847
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