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Theorem 2sqlem2 24020
Description: Lemma for 2sq 24032. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem2  |-  ( A  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y    x, A, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    A( w)    S( w)

Proof of Theorem 2sqlem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . . 4  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
212sqlem1 24019 . . 3  |-  ( A  e.  S  <->  E. z  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( abs `  z ) ^
2 ) )
3 elgz 14658 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  <->  ( z  e.  CC  /\  ( Re
`  z )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  z )  e.  ZZ ) )
43simp2bi 1013 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  z )  e.  ZZ )
53simp3bi 1014 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  z )  e.  ZZ )
6 gzcn 14659 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  z  e.  CC )
76absvalsq2d 13423 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) )
8 oveq1 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( Re
`  z ) ^
2 ) )
98oveq1d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
109eqeq2d 2416 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
( ( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
11 oveq1 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
y ^ 2 )  =  ( ( Im
`  z ) ^
2 ) )
1211oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) )
1312eqeq2d 2416 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( ( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) ) )
1410, 13rspc2ev 3171 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  ZZ  /\  ( Im `  z )  e.  ZZ  /\  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  z ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  z ) ^ 2 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
154, 5, 7, 14syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )
16 eqeq1 2406 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  ->  ( A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( ( abs `  z ) ^
2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
17162rexbidv 2925 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1815, 17syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ[_i]  ->  ( A  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1918rexlimiv 2890 . . 3  |-  ( E. z  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( abs `  z
) ^ 2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
202, 19sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
21 gzreim 14666 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  e.  ZZ[_i] )
22 zcn 10910 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
23 ax-icn 9581 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
24 zcn 10910 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
25 mulcl 9606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
2623, 24, 25sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
27 addcl 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( _i  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  e.  CC )
2822, 26, 27syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
2928absvalsq2d 13423 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) ^ 2 ) ) )
30 zre 10909 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
31 zre 10909 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
32 crre 13096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( Re `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  x )
3330, 31, 32syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( Re `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  x )
3433oveq1d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( Re `  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) ^ 2 )  =  ( x ^ 2 ) )
35 crim 13097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( Im `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  y )
3630, 31, 35syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( Im `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  y )
3736oveq1d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( Im `  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) ^ 2 )  =  ( y ^ 2 ) )
3834, 37oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Re
`  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )
3929, 38eqtr2d 2444 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )
40 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
4140oveq1d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  (
( abs `  z
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )
4241eqeq2d 2416 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 )  <->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  =  ( ( abs `  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) ) )
4342rspcev 3160 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +  ( _i  x.  y ) )  e.  ZZ[_i]  /\  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  ->  E. z  e.  ZZ[_i] 
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 ) )
4421, 39, 43syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. z  e.  ZZ[_i]  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 ) )
4512sqlem1 24019 . . . . 5  |-  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  S  <->  E. z  e.  ZZ[_i] 
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  z ) ^ 2 ) )
4644, 45sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  S )
47 eleq1 2474 . . . 4  |-  ( A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( A  e.  S  <->  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  e.  S ) )
4846, 47syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  A  e.  S
) )
4948rexlimivv 2901 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  A  e.  S )
5020, 49impbii 187 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  A  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2755    |-> cmpt 4453   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   _ici 9524    + caddc 9525    x. cmul 9527   2c2 10626   ZZcz 10905   ^cexp 12210   Recre 13079   Imcim 13080   abscabs 13216   ZZ[_i]cgz 14656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-gz 14657
This theorem is referenced by:  2sqlem5  24024  2sqlem7  24026  2sq  24032
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