MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem11 Structured version   Unicode version

Theorem 2sqlem11 24166
Description: Lemma for 2sq 24167. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem7.2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
2sqlem11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  P  e.  S )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    x, S, y, z    x, Y, y   
x, P, y
Allowed substitution hints:    P( z, w)    S( w)    Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem11
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
2 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  P  e.  Prime )
3 1ne2 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  2
43necomi 2701 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  1
5 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  =  2  ->  ( P  mod  4 )  =  ( 2  mod  4
) )
6 2re 10679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
7 4re 10686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  RR
8 4pos 10705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  4
97, 8elrpii 11305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR+
10 0le2 10700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
11 2lt4 10780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  <  4
12 modid 12118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  4  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <  4
) )  ->  (
2  mod  4 )  =  2 )
136, 9, 10, 11, 12mp4an 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  mod  4 )  =  2
145, 13syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  2  ->  ( P  mod  4 )  =  2 )
1514neeq1d 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  2  ->  (
( P  mod  4
)  =/=  1  <->  2  =/=  1 ) )
164, 15mpbiri 236 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  2  ->  ( P  mod  4 )  =/=  1 )
1716necon2i 2674 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  mod  4 )  =  1  ->  P  =/=  2 )
181, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  P  =/=  2 )
19 eldifsn 4128 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
202, 18, 19sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
21 m1lgs 24153 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
2220, 21syl 17 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  (
( -u 1  /L
P )  =  1  <-> 
( P  mod  4
)  =  1 ) )
231, 22mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  ( -u 1  /L P )  =  1 )
24 neg1z 10973 . . . . 5  |-  -u 1  e.  ZZ
25 lgsqr 24137 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. n  e.  ZZ  P  ||  ( ( n ^ 2 )  -  -u 1 ) ) ) )
2624, 20, 25sylancr 667 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  (
( -u 1  /L
P )  =  1  <-> 
( -.  P  ||  -u 1  /\  E. n  e.  ZZ  P  ||  (
( n ^ 2 )  -  -u 1
) ) ) )
2723, 26mpbid 213 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. n  e.  ZZ  P  ||  ( ( n ^ 2 )  -  -u 1 ) ) )
2827simprd 464 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. n  e.  ZZ  P  ||  (
( n ^ 2 )  -  -u 1
) )
29 simprl 762 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  ->  n  e.  ZZ )
30 1zzd 10968 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  -> 
1  e.  ZZ )
31 gcd1 14470 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  gcd  1 )  =  1 )
3231ad2antrl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  -> 
( n  gcd  1
)  =  1 )
33 eqidd 2430 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  -> 
( ( n ^
2 )  +  1 )  =  ( ( n ^ 2 )  +  1 ) )
34 oveq1 6312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
x  gcd  y )  =  ( n  gcd  y ) )
3534eqeq1d 2431 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  gcd  y
)  =  1  <->  (
n  gcd  y )  =  1 ) )
36 oveq1 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
x ^ 2 )  =  ( n ^
2 ) )
3736oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3837eqeq2d 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( n ^
2 )  +  1 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( (
n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( n ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
3935, 38anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( n  gcd  y )  =  1  /\  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( n ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
40 oveq2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  1  ->  (
n  gcd  y )  =  ( n  gcd  1 ) )
4140eqeq1d 2431 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
( n  gcd  y
)  =  1  <->  (
n  gcd  1 )  =  1 ) )
42 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
43 sq1 12366 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4442, 43syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  1 )
4544oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  1  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  +  1 ) )
4645eqeq2d 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( n ^
2 )  +  1 )  =  ( ( n ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( (
n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( n ^
2 )  +  1 ) ) )
4741, 46anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( n  gcd  y )  =  1  /\  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( n ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( n  gcd  1 )  =  1  /\  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( n ^
2 )  +  1 ) ) ) )
4839, 47rspc2ev 3199 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  (
( n  gcd  1
)  =  1  /\  ( ( n ^
2 )  +  1 )  =  ( ( n ^ 2 )  +  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
4929, 30, 32, 33, 48syl112anc 1268 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( n ^
2 )  +  1 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) )
50 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  e. 
_V
51 eqeq1 2433 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  ->  (
z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  ( (
n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
5251anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  ->  (
( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
53522rexbidv 2953 . . . . 5  |-  ( z  =  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  ( ( n ^
2 )  +  1 )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) ) )
54 2sqlem7.2 . . . . 5  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
5550, 53, 54elab2 3227 . . . 4  |-  ( ( ( n ^ 2 )  +  1 )  e.  Y  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  ( ( n ^ 2 )  +  1 )  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
5649, 55sylibr 215 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  -> 
( ( n ^
2 )  +  1 )  e.  Y )
57 prmnn 14596 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
5857ad2antrr 730 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  ->  P  e.  NN )
59 simprr 764 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  ->  P  ||  ( ( n ^ 2 )  -  -u 1 ) )
6029zcnd 11041 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  ->  n  e.  CC )
6160sqcld 12411 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  -> 
( n ^ 2 )  e.  CC )
62 ax-1cn 9596 . . . . 5  |-  1  e.  CC
63 subneg 9922 . . . . 5  |-  ( ( ( n ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( n ^ 2 )  +  1 ) )
6461, 62, 63sylancl 666 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  -> 
( ( n ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( n ^ 2 )  +  1 ) )
6559, 64breqtrd 4450 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  ->  P  ||  ( ( n ^ 2 )  +  1 ) )
66 2sq.1 . . . 4  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
6766, 542sqlem10 24165 . . 3  |-  ( ( ( ( n ^
2 )  +  1 )  e.  Y  /\  P  e.  NN  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  +  1 ) )  ->  P  e.  S )
6856, 58, 65, 67syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4
)  =  1 )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( n ^
2 )  -  -u 1
) ) )  ->  P  e.  S )
6928, 68rexlimddv 2928 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  P  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414    =/= wne 2625   E.wrex 2783    \ cdif 3439   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860   NNcn 10609   2c2 10659   4c4 10661   ZZcz 10937   RR+crp 11302    mod cmo 12093   ^cexp 12269   abscabs 13276    || cdvds 14283    gcd cgcd 14442   Primecprime 14593   ZZ[_i]cgz 14836    /Lclgs 24085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-phi 14683  df-pc 14750  df-gz 14837  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-imas 15365  df-qus 15366  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-nsg 16766  df-eqg 16767  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-srg 17675  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-field 17913  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-lidl 18332  df-rsp 18333  df-2idl 18391  df-nzr 18417  df-rlreg 18442  df-domn 18443  df-idom 18444  df-assa 18471  df-asp 18472  df-ascl 18473  df-psr 18515  df-mvr 18516  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-evls 18664  df-evl 18665  df-psr1 18708  df-vr1 18709  df-ply1 18710  df-coe1 18711  df-evl1 18840  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-zn 19009  df-mdeg 22881  df-deg1 22882  df-mon1 22956  df-uc1p 22957  df-q1p 22958  df-r1p 22959  df-lgs 24086
This theorem is referenced by:  2sq  24167
  Copyright terms: Public domain W3C validator