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Theorem 2sqblem 21114
Description: The converse to 2sq 21113. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqb.1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
2sqb.2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )
2sqb.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) ) )
2sqb.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqb.5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqb.6  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sqblem  |-  ( ph  ->  ( P  mod  4
)  =  1 )

Proof of Theorem 2sqblem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqb.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
21simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 nprmdvds1 13066 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
5 prmz 13038 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
7 1z 10267 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
8 dvdsnegb 12822 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  1  <->  P 
||  -u 1 ) )
96, 7, 8sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  ||  1  <->  P 
||  -u 1 ) )
104, 9mtbid 292 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  -u 1
)
11 2sqb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )
1211simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
13 2sqb.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
1412, 13zmulcld 10337 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  x.  B
)  e.  ZZ )
15 zsqcl 11407 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
17 dvdsmul1 12826 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  ( B ^ 2 ) ) )
186, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
1911simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ZZ )
2019, 13zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  B
)  e.  ZZ )
21 zsqcl 11407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( Y  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
23 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2524zcnd 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
26 zsqcl 11407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( X  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
2714, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  ZZ )
2928zcnd 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  CC )
3025, 29addcomd 9224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  +  ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 ) ) )
3127zcnd 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC )
32 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3422zcnd 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC )
3531, 33, 34ppncand 9407 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  +  ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 ) )  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  ( ( Y  x.  B ) ^
2 ) ) )
36 zsqcl 11407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X ^ 2 )  e.  ZZ )
3712, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  ZZ )
3837zcnd 10332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
39 zsqcl 11407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y ^ 2 )  e.  ZZ )
4019, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  ZZ )
4140zcnd 10332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
4216zcnd 10332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
4338, 41, 42adddird 9069 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( ( Y ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
44 2sqb.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) ) )
4544oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
4612zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4713zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4846, 47sqmuld 11490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
4919zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
5049, 47sqmuld 11490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
5148, 50oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  ( ( Y  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5243, 45, 513eqtr4rd 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  ( ( Y  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
5330, 35, 523eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
5418, 53breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) )
55 2sqb.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
56 dvdsmul1 12826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  A ) )
576, 55, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  A ) )
586, 55zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  A
)  e.  ZZ )
59 dvdsnegb 12822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P  x.  A
)  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( P  x.  A
)  <->  P  ||  -u ( P  x.  A )
) )
606, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( P  x.  A )  <->  P 
||  -u ( P  x.  A ) ) )
6157, 60mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  -u ( P  x.  A )
)
6220zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  B
)  e.  CC )
63 negsubdi2 9316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Y  x.  B
)  e.  CC )  ->  -u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  ( ( Y  x.  B
)  -  1 ) )
6432, 62, 63sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  ( ( Y  x.  B
)  -  1 ) )
6519zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
66 absresq 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e.  RR  ->  (
( abs `  Y
) ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
) ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
6865resqcld 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  RR )
69 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
702, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
7170nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
7271resqcld 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  RR )
73 zsqcl2 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X ^ 2 )  e. 
NN0 )
7412, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  NN0 )
75 nn0addge2 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Y ^ 2 )  e.  RR  /\  ( X ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( Y ^ 2 )  <_  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
7668, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <_  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
7776, 44breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <_  P )
786zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
7978exp1d 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
807a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
81 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  ZZ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
83 prmuz2 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
842, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
85 eluz2b2 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
8685simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
8784, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  P )
88 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
90 ltexp2a 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  P  /\  1  <  2
) )  ->  ( P ^ 1 )  < 
( P ^ 2 ) )
9171, 80, 82, 87, 89, 90syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  <  ( P ^ 2 ) )
9279, 91eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  <  ( P ^ 2 ) )
9368, 71, 72, 77, 92lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <  ( P ^ 2 ) )
9467, 93eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
) ^ 2 )  <  ( P ^
2 ) )
9549abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  RR )
9649absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  Y ) )
9770nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
9897nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
9995, 71, 96, 98lt2sqd 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  <  P  <->  ( ( abs `  Y ) ^
2 )  <  ( P ^ 2 ) ) )
10094, 99mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  <  P )
1016zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
10295, 101ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  <  P  <->  -.  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
103100, 102mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  P  <_  ( abs `  Y ) )
104 sqnprm 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  ZZ  ->  -.  ( X ^ 2 )  e.  Prime )
10512, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  -.  ( X ^
2 )  e.  Prime )
10649abs00ad 12050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  =  0  <->  Y  =  0 ) )
10744, 2eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  Prime )
108 sq0i 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Y  =  0  ->  ( Y ^ 2 )  =  0 )
109108oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Y  =  0  ->  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  0 ) )
110109eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  0  ->  (
( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  Prime  <->  ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime ) )
111107, 110syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Y  =  0  ->  ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime ) )
11238addid1d 9222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  0 )  =  ( X ^ 2 ) )
113112eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime  <->  ( X ^ 2 )  e. 
Prime ) )
114111, 113sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y  =  0  ->  ( X ^
2 )  e.  Prime ) )
115106, 114sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  =  0  -> 
( X ^ 2 )  e.  Prime )
)
116105, 115mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  ( abs `  Y
)  =  0 )
117 nn0abscl 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( abs `  Y )  e. 
NN0 )
11819, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  NN0 )
119 elnn0 10179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( abs `  Y )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  Y )  e.  NN  \/  ( abs `  Y
)  =  0 ) )
120118, 119sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  e.  NN  \/  ( abs `  Y )  =  0 ) )
121120ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( -.  ( abs `  Y )  e.  NN  ->  ( abs `  Y
)  =  0 ) )
122116, 121mt3d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  NN )
123 dvdsle 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( abs `  Y )  e.  NN )  -> 
( P  ||  ( abs `  Y )  ->  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
1246, 122, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( abs `  Y )  ->  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
125103, 124mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( abs `  Y ) )
126 dvdsabsb 12824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  Y  <->  P 
||  ( abs `  Y
) ) )
1276, 19, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P  ||  Y  <->  P 
||  ( abs `  Y
) ) )
128125, 127mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  Y
)
129 coprm 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  Y  <->  ( P  gcd  Y )  =  1 ) )
1302, 19, 129syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  Y 
<->  ( P  gcd  Y
)  =  1 ) )
131128, 130mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  1 )
132 2sqb.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
133131, 132eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
134133oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( ( ( P  x.  A
)  +  ( Y  x.  B ) )  -  ( Y  x.  B ) ) )
13558zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  x.  A
)  e.  CC )
136135, 62pncand 9368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B
) )  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( P  x.  A ) )
137134, 136eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( P  x.  A ) )
138137negeqd 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  -u ( P  x.  A
) )
13964, 138eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  =  -u ( P  x.  A )
)
14061, 139breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) )
14120peano2zd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  +  1 )  e.  ZZ )
142 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( Y  x.  B
)  -  1 )  e.  ZZ )
14320, 142syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  e.  ZZ )
144 dvdsmultr2 12840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( Y  x.  B )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( Y  x.  B )  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) ) ) )
1456, 141, 143, 144syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Y  x.  B
)  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( Y  x.  B )  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) ) ) )
146140, 145mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
147 sq1 11431 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
148147oveq2i 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )
149 subsq 11443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  (
1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
15062, 32, 149sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  (
1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
151148, 150syl5eqr 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
152146, 151breqtrrd 4198 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  1 ) )
153 dvdsadd2b 12847 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  1 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  <->  P  ||  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) ) )
1546, 28, 24, 152, 153syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  <-> 
P  ||  ( (
( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) ) )
15554, 154mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
156 subneg 9306 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
15731, 32, 156sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
158155, 157breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  -  -u 1 ) )
159 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( X  x.  B ) ^
2 ) )
160159oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  -  -u 1 ) )
161160breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  ( P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 )  <->  P  ||  (
( ( X  x.  B ) ^ 2 )  -  -u 1
) ) )
162161rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( ( X  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  -  -u 1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) )
16314, 158, 162syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) )
164 znegcl 10269 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
1657, 164ax-mp 8 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
166 eldifsn 3887 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
1671, 166sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
168 lgsqr 21083 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( -u 1  / L P
)  =  1  <->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) ) ) )
169165, 167, 168sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. x  e.  ZZ  P  ||  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
) ) ) )
17010, 163, 169mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1  / L P )  =  1 )
171 m1lgs 21099 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
172167, 171syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
173170, 172mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( P  mod  4
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667    \ cdif 3277   {csn 3774   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444    mod cmo 11205   ^cexp 11337   abscabs 11994    || cdivides 12807    gcd cgcd 12961   Primecprime 13034    / Lclgs 21031
This theorem is referenced by:  2sqb  21115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-phi 13110  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-field 15793  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-nzr 16284  df-rlreg 16298  df-domn 16299  df-idom 16300  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-evls 16375  df-evl 16376  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-vr1 16532  df-ply1 16533  df-evl1 16535  df-coe1 16536  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-mdeg 19931  df-deg1 19932  df-mon1 20006  df-uc1p 20007  df-q1p 20008  df-r1p 20009  df-lgs 21032
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