Theorem 2sqb 24354

Description: The converse to 2sq 24352. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2sqb	|- ( P e. Prime -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) ) )

Distinct variable group:   x, y, P

Proof of Theorem 2sqb

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2634	. . . 4 |- ( P =/= 2 <-> -. P = 2 )
2		prmz 14674	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
3	2	ad3antrrr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
4		simplrr 776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> y e. ZZ )
5		bezout 14558	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) )
7		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
8		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) )
9		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
10		simprll 777	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> a e. ZZ )
11		simprlr 778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> b e. ZZ )
12		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) )
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	2sqblem 24353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 )
14	13	expr 624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
15	14	rexlimdvva 2897	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
16	6, 15	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 )
17	16	ex 440	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
18	17	rexlimdvva 2897	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
19	18	impancom 446	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( P =/= 2 -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
20	1, 19	syl5bir 226	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( -. P = 2 -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
21	20	orrd 384	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) )
22		1z 10995	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
23		oveq1 6321	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( x ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
24		sq1 12400	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
25	23, 24	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x ^ 2 ) = 1 )
26	25	oveq1d 6329	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( 1 + ( y ^ 2 ) ) )
27	26	eqeq2d 2471	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> P = ( 1 + ( y ^ 2 ) ) ) )
28		oveq1 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 1 -> ( y ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
29	28, 24	syl6eq 2511	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( y ^ 2 ) = 1 )
30	29	oveq2d 6330	. . . . . . . 8 |- ( y = 1 -> ( 1 + ( y ^ 2 ) ) = ( 1 + 1 ) )
31		1p1e2 10750	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
32	30, 31	syl6eq 2511	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( 1 + ( y ^ 2 ) ) = 2 )
33	32	eqeq2d 2471	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( P = ( 1 + ( y ^ 2 ) ) <-> P = 2 ) )
34	27, 33	rspc2ev 3172	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ P = 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
35	22, 22, 34	mp3an12 1363	. . . 4 |- ( P = 2 -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
36	35	adantl 472	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P = 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
37		2sq 24352	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( P mod 4 ) = 1 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
38	36, 37	jaodan 799	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	21, 38	impbida 848	1 |- ( P e. Prime -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   E.wrex 2749  (class class class)co 6314   1c1 9565   + caddc 9567   x. cmul 9569   2c2 10686   4c4 10688   ZZcz 10965   mod cmo 12127   ^cexp 12303   gcd cgcd 14516   Primecprime 14670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-ofr 6558  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-tpos 6998  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-ec 7390  df-qs 7394  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-dvds 14354  df-gcd 14517  df-prm 14671  df-phi 14762  df-pc 14835  df-gz 14922  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-prds 15394  df-pws 15396  df-imas 15455  df-qus 15457  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-nsg 16863  df-eqg 16864  df-ghm 16929  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-srg 17788  df-ring 17830  df-cring 17831  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-dvr 17959  df-rnghom 17991  df-drng 18025  df-field 18026  df-subrg 18054  df-lmod 18141  df-lss 18204  df-lsp 18243  df-sra 18443  df-rgmod 18444  df-lidl 18445  df-rsp 18446  df-2idl 18504  df-nzr 18530  df-rlreg 18555  df-domn 18556  df-idom 18557  df-assa 18584  df-asp 18585  df-ascl 18586  df-psr 18628  df-mvr 18629  df-mpl 18630  df-opsr 18632  df-evls 18777  df-evl 18778  df-psr1 18821  df-vr1 18822  df-ply1 18823  df-coe1 18824  df-evl1 18953  df-cnfld 19019  df-zring 19088  df-zrh 19123  df-zn 19126  df-mdeg 23052  df-deg1 23053  df-mon1 23128  df-uc1p 23129  df-q1p 23130  df-r1p 23131  df-lgs 24271

This theorem is referenced by: (None)