MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2sqb 24354
Description: The converse to 2sq 24352. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
2sqb  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem 2sqb
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2634 . . . 4  |-  ( P  =/=  2  <->  -.  P  =  2 )
2 prmz 14674 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
32ad3antrrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
4 simplrr 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
5 bezout 14558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
63, 4, 5syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
7 simplll 773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
8 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)
9 simplr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
10 simprll 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
11 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
12 simprr 771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
137, 8, 9, 10, 11, 122sqblem 24353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1413expr 624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1514rexlimdvva 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
166, 15mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1716ex 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1817rexlimdvva 2897 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1918impancom 446 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =/=  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
201, 19syl5bir 226 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( -.  P  =  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
2120orrd 384 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
22 1z 10995 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
23 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
24 sq1 12400 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2523, 24syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  1 )
2625oveq1d 6329 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
2726eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
28 oveq1 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2928, 24syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  1 )
3029oveq2d 6330 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
31 1p1e2 10750 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3230, 31syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  2 )
3332eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  ( P  =  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  = 
2 ) )
3427, 33rspc2ev 3172 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3522, 22, 34mp3an12 1363 . . . 4  |-  ( P  =  2  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3635adantl 472 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
37 2sq 24352 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3836, 37jaodan 799 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4
)  =  1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3921, 38impbida 848 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   E.wrex 2749  (class class class)co 6314   1c1 9565    + caddc 9567    x. cmul 9569   2c2 10686   4c4 10688   ZZcz 10965    mod cmo 12127   ^cexp 12303    gcd cgcd 14516   Primecprime 14670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-ofr 6558  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-tpos 6998  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-ec 7390  df-qs 7394  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-dvds 14354  df-gcd 14517  df-prm 14671  df-phi 14762  df-pc 14835  df-gz 14922  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-prds 15394  df-pws 15396  df-imas 15455  df-qus 15457  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-nsg 16863  df-eqg 16864  df-ghm 16929  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-srg 17788  df-ring 17830  df-cring 17831  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-dvr 17959  df-rnghom 17991  df-drng 18025  df-field 18026  df-subrg 18054  df-lmod 18141  df-lss 18204  df-lsp 18243  df-sra 18443  df-rgmod 18444  df-lidl 18445  df-rsp 18446  df-2idl 18504  df-nzr 18530  df-rlreg 18555  df-domn 18556  df-idom 18557  df-assa 18584  df-asp 18585  df-ascl 18586  df-psr 18628  df-mvr 18629  df-mpl 18630  df-opsr 18632  df-evls 18777  df-evl 18778  df-psr1 18821  df-vr1 18822  df-ply1 18823  df-coe1 18824  df-evl1 18953  df-cnfld 19019  df-zring 19088  df-zrh 19123  df-zn 19126  df-mdeg 23052  df-deg1 23053  df-mon1 23128  df-uc1p 23129  df-q1p 23130  df-r1p 23131  df-lgs 24271
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator