Theorem 2sqb 21115

Description: The converse to 2sq 21113. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2sqb	|- ( P e. Prime -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) ) )

Distinct variable group:   x, y, P

Proof of Theorem 2sqb

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2569	. . . 4 |- ( P =/= 2 <-> -. P = 2 )
2		prmz 13038	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
3	2	ad3antrrr 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
4		simplrr 738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> y e. ZZ )
5		bezout 12997	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) )
7		simplll 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
8		simpllr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) )
9		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
10		simprll 739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> a e. ZZ )
11		simprlr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> b e. ZZ )
12		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) )
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	2sqblem 21114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 )
14	13	expr 599	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
15	14	rexlimdvva 2797	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd y ) = ( ( P x. a ) + ( y x. b ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
16	6, 15	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 )
17	16	ex 424	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
18	17	rexlimdvva 2797	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
19	18	impancom 428	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( P =/= 2 -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
20	1, 19	syl5bir 210	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( -. P = 2 -> ( P mod 4 ) = 1 ) )
21	20	orrd 368	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) )
22		1z 10267	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
23		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( x ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
24		sq1 11431	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
25	23, 24	syl6eq 2452	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x ^ 2 ) = 1 )
26	25	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( 1 + ( y ^ 2 ) ) )
27	26	eqeq2d 2415	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> P = ( 1 + ( y ^ 2 ) ) ) )
28		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 1 -> ( y ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
29	28, 24	syl6eq 2452	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( y ^ 2 ) = 1 )
30	29	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( y = 1 -> ( 1 + ( y ^ 2 ) ) = ( 1 + 1 ) )
31		1p1e2 10050	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
32	30, 31	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( 1 + ( y ^ 2 ) ) = 2 )
33	32	eqeq2d 2415	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( P = ( 1 + ( y ^ 2 ) ) <-> P = 2 ) )
34	27, 33	rspc2ev 3020	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ P = 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
35	22, 22, 34	mp3an12 1269	. . . 4 |- ( P = 2 -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
36	35	adantl 453	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ P = 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
37		2sq 21113	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ ( P mod 4 ) = 1 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
38	36, 37	jaodan 761	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	21, 38	impbida 806	1 |- ( P e. Prime -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ P = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P mod 4 ) = 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   E.wrex 2667  (class class class)co 6040   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   2c2 10005   4c4 10007   ZZcz 10238   mod cmo 11205   ^cexp 11337   gcd cgcd 12961   Primecprime 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-phi 13110  df-pc 13166  df-gz 13253  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-field 15793  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-nzr 16284  df-rlreg 16298  df-domn 16299  df-idom 16300  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-evls 16375  df-evl 16376  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-vr1 16532  df-ply1 16533  df-evl1 16535  df-coe1 16536  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-mdeg 19931  df-deg1 19932  df-mon1 20006  df-uc1p 20007  df-q1p 20008  df-r1p 20009  df-lgs 21032