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Theorem 2spthonot3v 25683
 Description: If an ordered triple represents a simple path of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spthonot3v 2SPathOnOt

Proof of Theorem 2spthonot3v
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3728 . . 3 2SPathOnOt 2SPathOnOt
2 df-ov 6311 . . . . 5 2SPathOnOt 2SPathOnOt
3 ndmfv 5903 . . . . 5 2SPathOnOt 2SPathOnOt
42, 3syl5eq 2517 . . . 4 2SPathOnOt 2SPathOnOt
54necon1ai 2670 . . 3 2SPathOnOt 2SPathOnOt
6 simpl 464 . . . . . . . . 9
7 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
87, 7xpeq12d 4864 . . . . . . . . . . . 12
98, 7xpeq12d 4864 . . . . . . . . . . 11
109adantr 472 . . . . . . . . . 10
11 oveq12 6317 . . . . . . . . . . . . . 14 SPathOn SPathOn
1211oveqd 6325 . . . . . . . . . . . . 13 SPathOn SPathOn
1312breqd 4406 . . . . . . . . . . . 12 SPathOn SPathOn
14133anbi1d 1369 . . . . . . . . . . 11 SPathOn SPathOn
15142exbidv 1778 . . . . . . . . . 10 SPathOn SPathOn
1610, 15rabeqbidv 3026 . . . . . . . . 9 SPathOn SPathOn
176, 6, 16mpt2eq123dv 6372 . . . . . . . 8 SPathOn SPathOn
18 df-2spthonot 25667 . . . . . . . 8 2SPathOnOt SPathOn
1917, 18ovmpt2ga 6445 . . . . . . 7 SPathOn 2SPathOnOt SPathOn
2019dmeqd 5042 . . . . . 6 SPathOn 2SPathOnOt SPathOn
2120eleq2d 2534 . . . . 5 SPathOn 2SPathOnOt SPathOn
22 dmoprabss 6397 . . . . . . . . 9 SPathOn
2322sseli 3414 . . . . . . . 8 SPathOn
24 opelxp 4869 . . . . . . . . . . . 12
25 2spthonot 25673 . . . . . . . . . . . . . . 15 2SPathOnOt SPathOn
2625eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14 2SPathOnOt SPathOn
27 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15 SPathOn
28 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3329, 31, 323jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15
3527, 34syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14 SPathOn
3626, 35sylbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 2SPathOnOt
3736expcom 442 . . . . . . . . . . . 12 2SPathOnOt
3824, 37sylbi 200 . . . . . . . . . . 11 2SPathOnOt
3938com12 31 . . . . . . . . . 10 2SPathOnOt
40393adant3 1050 . . . . . . . . 9 SPathOn 2SPathOnOt
4140com12 31 . . . . . . . 8 SPathOn 2SPathOnOt
4223, 41syl 17 . . . . . . 7 SPathOn SPathOn 2SPathOnOt
43 df-mpt2 6313 . . . . . . . 8 SPathOn SPathOn
4443dmeqi 5041 . . . . . . 7 SPathOn SPathOn
4542, 44eleq2s 2567 . . . . . 6 SPathOn SPathOn 2SPathOnOt
4645com12 31 . . . . 5 SPathOn SPathOn 2SPathOnOt
4721, 46sylbid 223 . . . 4 SPathOn 2SPathOnOt 2SPathOnOt
48 3ianor 1024 . . . . 5 SPathOn SPathOn
49 df-3or 1008 . . . . . 6 SPathOn SPathOn
50 ianor 496 . . . . . . . 8
5118mpt2ndm0 6529 . . . . . . . . . . . 12 2SPathOnOt
5251dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11 2SPathOnOt
5352eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10 2SPathOnOt
54 dm0 5054 . . . . . . . . . . 11
5554eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10
5653, 55syl6bb 269 . . . . . . . . 9 2SPathOnOt
57 noel 3726 . . . . . . . . . 10
5857pm2.21i 136 . . . . . . . . 9 2SPathOnOt
5956, 58syl6bi 236 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
6050, 59sylbir 218 . . . . . . 7 2SPathOnOt 2SPathOnOt
61 anor 497 . . . . . . . . 9
62 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
6362ancri 561 . . . . . . . . . . . 12
6463adantr 472 . . . . . . . . . . 11
65 mpt2exga 6888 . . . . . . . . . . 11 SPathOn
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 SPathOn
6766pm2.24d 139 . . . . . . . . 9 SPathOn 2SPathOnOt 2SPathOnOt
6861, 67sylbir 218 . . . . . . . 8 SPathOn 2SPathOnOt 2SPathOnOt
6968imp 436 . . . . . . 7 SPathOn 2SPathOnOt 2SPathOnOt
7060, 69jaoi3 980 . . . . . 6 SPathOn 2SPathOnOt 2SPathOnOt
7149, 70sylbi 200 . . . . 5 SPathOn 2SPathOnOt 2SPathOnOt
7248, 71sylbi 200 . . . 4 SPathOn 2SPathOnOt 2SPathOnOt
7347, 72pm2.61i 169 . . 3 2SPathOnOt 2SPathOnOt
741, 5, 733syl 18 . 2 2SPathOnOt 2SPathOnOt
7574pm2.43i 48 1 2SPathOnOt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 375   wa 376   w3o 1006   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  crab 2760  cvv 3031  c0 3722  cop 3965   class class class wbr 4395   cxp 4837   cdm 4839  cfv 5589  (class class class)co 6308  coprab 6309   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811  c1 9558  c2 10681  chash 12553   SPathOn cspthon 25312   2SPathOnOt c2pthonot 25664 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-2spthonot 25667 This theorem is referenced by:  el2spthsoton  25686  2spontn0vne  25694  2spot0  25871
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