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Theorem 2spotiundisj 30655
Description: All simple paths of length 2 as ordered triple from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spotiundisj  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b    V, a, b    X, a, b    Y, a, b

Proof of Theorem 2spotiundisj
Dummy variables  c 
d  f  m  n  p  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 385 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
21a1d 25 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. b  e.  ( V  \  {
a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
4 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )
)
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y ) )
7 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  a  e.  V )
87adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  a  e.  V )
9 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  ( V  \  { a } )  ->  b  e.  V
)
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  b  e.  V )
11 el2spthonot 30389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
126, 8, 10, 11syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
13 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  a  e. 
_V
14 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  m  e. 
_V
15 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  b  e. 
_V
1613, 14, 15otth 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  ( a  =  c  /\  m  =  n  /\  b  =  d ) )
1716simp1bi 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>.  ->  a  =  c )
1817con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  a  =  c  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  -.  <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d >. )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
22 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
t  =  <. c ,  n ,  d >.  <->  <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2322notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2421, 23syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2625impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
2726orcd 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  ( ( t  = 
<. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
n  e.  V  -> 
( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
3130rexlimdva 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( E. m  e.  V  (
t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) ) )
3212, 31sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
3332imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
34 ianor 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) )  <->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3635ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  A. n  e.  V  -.  (
t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
c  =  ( p `
 0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
37 ralnex 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  V  -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) )  <->  -.  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) )
3836, 37sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) )
394adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
40 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
c  e.  V )
41 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  d  e.  V
)
4240, 41anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )
4339, 42jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
) )
4443ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) ) ) )
4544ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )
47 el2spthonot 30389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
4938, 48mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5049ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  A. d  e.  ( V  \  {
c } )  -.  t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
51 ralnex 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. d  e.  ( V  \  { c } )  -.  t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  -.  E. d  e.  ( V  \  {
c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5250, 51sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  E. d  e.  ( V 
\  { c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
53 eliun 4175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. d  e.  ( V  \  {
c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5452, 53sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5655rexlimdva 2841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( E. b  e.  ( V  \  { a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
573, 56syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5857imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5958ralrimiva 2799 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
60 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  d  ->  (
c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
6160cbviunv 4209 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )
6261eleq2i 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
6362notbii 296 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
6463ralbii 2739 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b )  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
6559, 64sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
66 disj 3719 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/)  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
6765, 66sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) )
6867olcd 393 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
6968ex 434 . . . 4  |-  ( -.  a  =  c  -> 
( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
702, 69pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
7170ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
72 sneq 3887 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  { a }  =  { c } )
7372difeq2d 3474 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  ( V  \  { a } )  =  ( V 
\  { c } ) )
74 oveq1 6098 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
7573, 74iuneq12d 4196 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
7675disjor 4276 . 2  |-  (Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) )
7771, 76sylibr 212 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716    \ cdif 3325    i^i cin 3327   (/)c0 3637   {csn 3877   <.cotp 3885   U_ciun 4171  Disj wdisj 4262   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283   2c2 10371   #chash 12103   SPaths cspath 23408   2SPathOnOt c2pthonot 30376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-ot 3886  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-wlk 23415  df-trail 23416  df-pth 23417  df-spth 23418  df-wlkon 23421  df-spthon 23424  df-2spthonot 30379
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