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Theorem 2spotiundisj 25782
Description: All simple paths of length 2 as ordered triple from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spotiundisj  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b    V, a, b    X, a, b    Y, a, b

Proof of Theorem 2spotiundisj
Dummy variables  c 
d  f  m  n  p  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 387 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
21a1d 27 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. b  e.  ( V  \  {
a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
4 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
54adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )
)
65adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y ) )
7 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  a  e.  V )
87adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  a  e.  V )
9 eldifi 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  e.  ( V  \  { a } )  ->  b  e.  V
)
109adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  b  e.  V )
11 el2spthonot 25590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
126, 8, 10, 11syl12anc 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
13 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  a  e. 
_V
14 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  m  e. 
_V
15 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  b  e. 
_V
1613, 14, 15otth 4701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  ( a  =  c  /\  m  =  n  /\  b  =  d ) )
1716simp1bi 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>.  ->  a  =  c )
1817con3i 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  a  =  c  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
1918ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
20 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
t  =  <. c ,  n ,  d >.  <->  <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2120notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2219, 21syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2322adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2423impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
2524orcd 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
2625a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
2726a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) )
2827ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  ( ( t  = 
<. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
n  e.  V  -> 
( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
2928rexlimdva 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( E. m  e.  V  (
t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) ) )
3012, 29sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
3130imp41 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
32 ianor 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) )  <->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3331, 32sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3433nrexdv 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) )
354adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
36 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
c  e.  V )
37 eldifi 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  d  e.  V
)
3836, 37anim12i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )
3935, 38jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
) )
4039ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) ) ) )
4140ad3antlr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) ) )
4241imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )
43 el2spthonot 25590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
4534, 44mtbird 303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
4645nrexdv 2882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  E. d  e.  ( V 
\  { c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
47 eliun 4302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. d  e.  ( V  \  {
c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
4846, 47sylnibr 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
4948ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5049rexlimdva 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( E. b  e.  ( V  \  { a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
513, 50syl5bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5251ralrimiv 2838 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
53 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  d  ->  (
c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5453cbviunv 4336 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )
5554eleq2i 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5655notbii 298 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
5756ralbii 2857 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b )  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
5852, 57sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
59 disj 3834 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/)  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
6058, 59sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) )
6160olcd 395 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
6261ex 436 . . . 4  |-  ( -.  a  =  c  -> 
( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
632, 62pm2.61i 168 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
6463ralrimivva 2847 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
65 sneq 4007 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  { a }  =  { c } )
6665difeq2d 3584 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  ( V  \  { a } )  =  ( V 
\  { c } ) )
67 oveq1 6310 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
6866, 67iuneq12d 4323 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
6968disjor 4406 . 2  |-  (Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) )
7064, 69sylibr 216 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777    \ cdif 3434    i^i cin 3436   (/)c0 3762   {csn 3997   <.cotp 4005   U_ciun 4297  Disj wdisj 4392   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   0cc0 9541   1c1 9542   2c2 10661   #chash 12516   SPaths cspath 25221   2SPathOnOt c2pthonot 25577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-ot 4006  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-hash 12517  df-word 12662  df-wlk 25228  df-trail 25229  df-pth 25230  df-spth 25231  df-wlkon 25234  df-spthon 25237  df-2spthonot 25580
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