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Theorem 2spotiundisj 24736
Description: All simple paths of length 2 as ordered triple from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spotiundisj  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b    V, a, b    X, a, b    Y, a, b

Proof of Theorem 2spotiundisj
Dummy variables  c 
d  f  m  n  p  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 385 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
21a1d 25 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. b  e.  ( V  \  {
a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
4 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )
)
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y ) )
7 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  a  e.  V )
87adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  a  e.  V )
9 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  ( V  \  { a } )  ->  b  e.  V
)
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  b  e.  V )
11 el2spthonot 24543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
126, 8, 10, 11syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
13 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  a  e. 
_V
14 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  m  e. 
_V
15 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  b  e. 
_V
1613, 14, 15otth 4729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  ( a  =  c  /\  m  =  n  /\  b  =  d ) )
1716simp1bi 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>.  ->  a  =  c )
1817con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( -.  a  =  c  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  -.  <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d >. )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
22 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
t  =  <. c ,  n ,  d >.  <->  <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2322notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2421, 23syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2625impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
2726orcd 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  ( ( t  = 
<. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
n  e.  V  -> 
( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
3130rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( E. m  e.  V  (
t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) ) )
3212, 31sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
3332imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
34 ianor 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) )  <->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3635ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  A. n  e.  V  -.  (
t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
c  =  ( p `
 0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
37 ralnex 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  V  -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) )  <->  -.  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) )
3836, 37sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) )
394adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
40 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
c  e.  V )
41 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  d  e.  V
)
4240, 41anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )
4339, 42jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
) )
4443ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) ) ) )
4544ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )
47 el2spthonot 24543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
4938, 48mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5049ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  A. d  e.  ( V  \  {
c } )  -.  t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
51 ralnex 2910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. d  e.  ( V  \  { c } )  -.  t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  -.  E. d  e.  ( V  \  {
c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5250, 51sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  E. d  e.  ( V 
\  { c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
53 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. d  e.  ( V  \  {
c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5452, 53sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5655rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( E. b  e.  ( V  \  { a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
573, 56syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5857imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5958ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
60 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  d  ->  (
c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
6160cbviunv 4364 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )
6261eleq2i 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
6362notbii 296 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
6463ralbii 2895 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b )  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
6559, 64sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
66 disj 3867 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/)  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
6765, 66sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) )
6867olcd 393 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
6968ex 434 . . . 4  |-  ( -.  a  =  c  -> 
( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
702, 69pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
7170ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
72 sneq 4037 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  { a }  =  { c } )
7372difeq2d 3622 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  ( V  \  { a } )  =  ( V 
\  { c } ) )
74 oveq1 6289 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
7573, 74iuneq12d 4351 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
7675disjor 4431 . 2  |-  (Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) )
7771, 76sylibr 212 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    i^i cin 3475   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cotp 4035   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489   2c2 10581   #chash 12367   SPaths cspath 24174   2SPathOnOt c2pthonot 24530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12368  df-word 12502  df-wlk 24181  df-trail 24182  df-pth 24183  df-spth 24184  df-wlkon 24187  df-spthon 24190  df-2spthonot 24533
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