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Theorem 2spotiundisj 25479
Description: All simple paths of length 2 as ordered triple from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spotiundisj  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b    V, a, b    X, a, b    Y, a, b

Proof of Theorem 2spotiundisj
Dummy variables  c 
d  f  m  n  p  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 383 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
21a1d 25 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4276 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. b  e.  ( V  \  {
a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
4 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
54adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )
)
65adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y ) )
7 simprrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  a  e.  V )
87adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  a  e.  V )
9 eldifi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  e.  ( V  \  { a } )  ->  b  e.  V
)
109adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  b  e.  V )
11 el2spthonot 25287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
126, 8, 10, 11syl12anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
13 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  a  e. 
_V
14 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  m  e. 
_V
15 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  b  e. 
_V
1613, 14, 15otth 4673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  ( a  =  c  /\  m  =  n  /\  b  =  d ) )
1716simp1bi 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>.  ->  a  =  c )
1817con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  a  =  c  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
1918ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
20 eqeq1 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
t  =  <. c ,  n ,  d >.  <->  <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2120notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2219, 21syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2322adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2423impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
2524orcd 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) )
2827ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  ( ( t  = 
<. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
n  e.  V  -> 
( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
2928rexlimdva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( E. m  e.  V  (
t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) ) )
3012, 29sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
3130imp41 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
32 ianor 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) )  <->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3331, 32sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3433nrexdv 2860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) )
354adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
36 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
c  e.  V )
37 eldifi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  d  e.  V
)
3836, 37anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )
3935, 38jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
) )
4039ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) ) ) )
4140ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) ) )
4241imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )
43 el2spthonot 25287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
4534, 44mtbird 299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
4645nrexdv 2860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  E. d  e.  ( V 
\  { c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
47 eliun 4276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. d  e.  ( V  \  {
c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
4846, 47sylnibr 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
4948ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5049rexlimdva 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( E. b  e.  ( V  \  { a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
513, 50syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5251ralrimiv 2816 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
53 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  d  ->  (
c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5453cbviunv 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )
5554eleq2i 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5655notbii 294 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
5756ralbii 2835 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b )  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
5852, 57sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
59 disj 3810 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/)  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
6058, 59sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) )
6160olcd 391 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
6261ex 432 . . . 4  |-  ( -.  a  =  c  -> 
( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
632, 62pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
6463ralrimivva 2825 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
65 sneq 3982 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  { a }  =  { c } )
6665difeq2d 3561 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  ( V  \  { a } )  =  ( V 
\  { c } ) )
67 oveq1 6285 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
6866, 67iuneq12d 4297 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
6968disjor 4380 . 2  |-  (Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) )
7064, 69sylibr 212 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755    \ cdif 3411    i^i cin 3413   (/)c0 3738   {csn 3972   <.cotp 3980   U_ciun 4271  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   0cc0 9522   1c1 9523   2c2 10626   #chash 12452   SPaths cspath 24918   2SPathOnOt c2pthonot 25274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-wlk 24925  df-trail 24926  df-pth 24927  df-spth 24928  df-wlkon 24931  df-spthon 24934  df-2spthonot 25277
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