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Theorem 2spotiundisj 25869
Description: All simple paths of length 2 as ordered triple from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spotiundisj  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b    V, a, b    X, a, b    Y, a, b

Proof of Theorem 2spotiundisj
Dummy variables  c 
d  f  m  n  p  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 392 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
21a1d 25 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4274 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. b  e.  ( V  \  {
a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
4 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
54adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )
)
65adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y ) )
7 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  a  e.  V )
87adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  a  e.  V )
9 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  e.  ( V  \  { a } )  ->  b  e.  V
)
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  b  e.  V )
11 el2spthonot 25677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
126, 8, 10, 11syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. m  e.  V  ( t  =  <. a ,  m ,  b
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
13 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  a  e. 
_V
14 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  m  e. 
_V
15 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  b  e. 
_V
1613, 14, 15otth 4684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  ( a  =  c  /\  m  =  n  /\  b  =  d ) )
1716simp1bi 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>.  ->  a  =  c )
1817con3i 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  a  =  c  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
1918ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. )
20 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
t  =  <. c ,  n ,  d >.  <->  <.
a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2120notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>. 
<->  -.  <. a ,  m ,  b >.  =  <. c ,  n ,  d
>. ) )
2219, 21syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
)
2423impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  -.  t  =  <. c ,  n ,  d >. )
2524orcd 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  m  e.  V
)  /\  ( t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0
)  /\  m  =  ( p `  1
)  /\  b  =  ( p `  2
) ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) )
2827ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  m  e.  V )  ->  ( ( t  = 
<. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( a  =  ( p `  0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
n  e.  V  -> 
( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
2928rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( E. m  e.  V  (
t  =  <. a ,  m ,  b >.  /\  E. f E. p
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  (
a  =  ( p `
 0 )  /\  m  =  ( p `  1 )  /\  b  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( n  e.  V  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) ) ) )
3012, 29sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  ( d  e.  ( V  \  {
c } )  -> 
( n  e.  V  ->  ( -.  t  = 
<. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( c  =  ( p ` 
0 )  /\  n  =  ( p ` 
1 )  /\  d  =  ( p ` 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
3130imp41 604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d
>.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
32 ianor 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) )  <->  ( -.  t  =  <. c ,  n ,  d >.  \/  -.  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3331, 32sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  /\  n  e.  V )  ->  -.  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
3433nrexdv 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) )
354adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
) )
36 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
c  e.  V )
37 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  d  e.  V
)
3836, 37anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )
3935, 38jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
) )
4039ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( d  e.  ( V  \  { c } )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) ) ) )
4140ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  (
d  e.  ( V 
\  { c } )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) ) )
4241imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )
43 el2spthonot 25677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0
)  /\  n  =  ( p `  1
)  /\  d  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  ( t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. n  e.  V  ( t  =  <. c ,  n ,  d
>.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( c  =  ( p `  0 )  /\  n  =  ( p `  1 )  /\  d  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
4534, 44mtbird 308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  /\  b  e.  ( V  \  {
a } ) )  /\  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  /\  d  e.  ( V  \  { c } ) )  ->  -.  t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
4645nrexdv 2842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  E. d  e.  ( V 
\  { c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
47 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )  <->  E. d  e.  ( V  \  {
c } ) t  e.  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
4846, 47sylnibr 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  a  =  c  /\  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  /\  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
4948ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V
) ) )  /\  b  e.  ( V  \  { a } ) )  ->  ( t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5049rexlimdva 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( E. b  e.  ( V  \  { a } ) t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
513, 50syl5bi 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) ) )
5251ralrimiv 2808 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
53 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  d  ->  (
c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5453cbviunv 4308 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d )
5554eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  t  e.  U_ d  e.  ( V 
\  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) d ) )
5655notbii 303 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  {
c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
5756ralbii 2823 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b )  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ d  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
d ) )
5852, 57sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
59 disj 3809 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/)  <->  A. t  e.  U_  b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  -.  t  e.  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )
6058, 59sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) )
6160olcd 400 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  c  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
) )  ->  (
a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
6261ex 441 . . . 4  |-  ( -.  a  =  c  -> 
( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  (
a  e.  V  /\  c  e.  V )
)  ->  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) ) )
632, 62pm2.61i 169 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  c  e.  V ) )  -> 
( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
6463ralrimivva 2814 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  =  (/) ) )
65 sneq 3969 . . . . 5  |-  ( a  =  c  ->  { a }  =  { c } )
6665difeq2d 3540 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  ( V  \  { a } )  =  ( V 
\  { c } ) )
67 oveq1 6315 . . . 4  |-  ( a  =  c  ->  (
a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
6866, 67iuneq12d 4295 . . 3  |-  ( a  =  c  ->  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  =  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
6968disjor 4380 . 2  |-  (Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  A. a  e.  V  A. c  e.  V  ( a  =  c  \/  ( U_ b  e.  ( V  \  { a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  i^i  U_ b  e.  ( V  \  { c } ) ( c ( V 2SPathOnOt  E )
b ) )  =  (/) ) )
7064, 69sylibr 217 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  -> Disj  a  e.  V  U_ b  e.  ( V  \  {
a } ) ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387    i^i cin 3389   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cotp 3967   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   2c2 10681   #chash 12553   SPaths cspath 25308   2SPathOnOt c2pthonot 25664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-wlk 25315  df-trail 25316  df-pth 25317  df-spth 25318  df-wlkon 25321  df-spthon 25324  df-2spthonot 25667
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