MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2spot2iun2spont Structured version   Unicode version

Theorem 2spot2iun2spont 24714
Description: The set of simple paths of length 2 (in a graph) is the double union of the simple paths of length 2 between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spot2iun2spont  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  U_ x  e.  V  U_ y  e.  ( V 
\  { x }
) ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) )
Distinct variable groups:    x, E, y    x, V, y

Proof of Theorem 2spot2iun2spont
Dummy variables  p  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 el2spthsoton 24702 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
2 ne0i 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  =/=  (/) )
3 2spontn0vne 24710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  =/=  (/)  ->  x  =/=  y )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  x  =/=  y
)
54necomd 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  y  =/=  x
)
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  y  =/=  x ) )
76pm4.71rd 635 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  ( y  =/=  x  /\  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) ) )
87rexbidv 2978 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  V  ( y  =/=  x  /\  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) ) )
9 rexdifsn 4162 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( V 
\  { x }
) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  V  ( y  =/=  x  /\  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
108, 9syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1110rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
12 vex 3121 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
13 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  w  ->  (
p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E )
y )  <->  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1413rexbidv 2978 . . . . . . 7  |-  ( p  =  w  ->  ( E. y  e.  ( V  \  { x }
) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1514rexbidv 2978 . . . . . 6  |-  ( p  =  w  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1612, 15elab 3255 . . . . 5  |-  ( w  e.  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) }  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) )
1711, 16syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  w  e.  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) } ) )
181, 17bitrd 253 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  w  e.  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) } ) )
1918eqrdv 2464 . 2  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E )
y ) } )
20 dfiunv2 4367 . 2  |-  U_ x  e.  V  U_ y  e.  ( V  \  {
x } ) ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  =  {
p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) }
2119, 20syl6eqr 2526 1  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  U_ x  e.  V  U_ y  e.  ( V 
\  { x }
) ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   (/)c0 3790   {csn 4033   U_ciun 4331  (class class class)co 6295   2SPathOnOt c2spthot 24679   2SPathOnOt c2pthonot 24680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-wlk 24331  df-trail 24332  df-pth 24333  df-spth 24334  df-wlkon 24337  df-spthon 24340  df-2spthonot 24683  df-2spthsot 24684
This theorem is referenced by:  frghash2spot  24887
  Copyright terms: Public domain W3C validator