MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2spot2iun2spont Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2spot2iun2spont 25668
Description: The set of simple paths of length 2 (in a graph) is the double union of the simple paths of length 2 between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spot2iun2spont  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  U_ x  e.  V  U_ y  e.  ( V 
\  { x }
) ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) )
Distinct variable groups:    x, E, y    x, V, y

Proof of Theorem 2spot2iun2spont
Dummy variables  p  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 el2spthsoton 25656 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
2 ne0i 3749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  =/=  (/) )
3 2spontn0vne 25664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  =/=  (/)  ->  x  =/=  y )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  x  =/=  y
)
54necomd 2691 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  y  =/=  x
)
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  y  =/=  x ) )
76pm4.71rd 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  ( y  =/=  x  /\  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) ) )
87rexbidv 2913 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  V  ( y  =/=  x  /\  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) ) )
9 rexdifsn 4114 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( V 
\  { x }
) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  V  ( y  =/=  x  /\  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
108, 9syl6bbr 271 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1110rexbidv 2913 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
12 vex 3060 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
13 eleq1 2528 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  w  ->  (
p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E )
y )  <->  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1413rexbidv 2913 . . . . . . 7  |-  ( p  =  w  ->  ( E. y  e.  ( V  \  { x }
) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1514rexbidv 2913 . . . . . 6  |-  ( p  =  w  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1612, 15elab 3197 . . . . 5  |-  ( w  e.  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) }  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) )
1711, 16syl6bbr 271 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  w  e.  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) } ) )
181, 17bitrd 261 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  w  e.  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) } ) )
1918eqrdv 2460 . 2  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E )
y ) } )
20 dfiunv2 4328 . 2  |-  U_ x  e.  V  U_ y  e.  ( V  \  {
x } ) ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  =  {
p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) }
2119, 20syl6eqr 2514 1  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  U_ x  e.  V  U_ y  e.  ( V 
\  { x }
) ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   {cab 2448    =/= wne 2633   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    \ cdif 3413   (/)c0 3743   {csn 3980   U_ciun 4292  (class class class)co 6315   2SPathOnOt c2spthot 25633   2SPathOnOt c2pthonot 25634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-hash 12548  df-word 12697  df-wlk 25285  df-trail 25286  df-pth 25287  df-spth 25288  df-wlkon 25291  df-spthon 25294  df-2spthonot 25637  df-2spthsot 25638
This theorem is referenced by:  frghash2spot  25840
  Copyright terms: Public domain W3C validator