Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2spot2iun2spont Structured version   Unicode version

Theorem 2spot2iun2spont 30422
Description: The set of simple paths of length 2 (in a graph) is the double union of the simple paths of length 2 between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spot2iun2spont  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  U_ x  e.  V  U_ y  e.  ( V 
\  { x }
) ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) )
Distinct variable groups:    x, E, y    x, V, y

Proof of Theorem 2spot2iun2spont
Dummy variables  p  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 el2spthsoton 30410 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
2 ne0i 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  =/=  (/) )
3 2spontn0vne 30418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  =/=  (/)  ->  x  =/=  y )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  x  =/=  y
)
54necomd 2707 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  y  =/=  x
)
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  ->  y  =/=  x ) )
76pm4.71rd 635 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  ( y  =/=  x  /\  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) ) )
87rexbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  V  ( y  =/=  x  /\  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) ) )
9 rexdifsn 4016 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( V 
\  { x }
) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  V  ( y  =/=  x  /\  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
108, 9syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1110rexbidv 2748 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
12 vex 2987 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
13 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  w  ->  (
p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E )
y )  <->  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1413rexbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( p  =  w  ->  ( E. y  e.  ( V  \  { x }
) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1514rexbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( p  =  w  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) ) )
1612, 15elab 3118 . . . . 5  |-  ( w  e.  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) }  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) )
1711, 16syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  w  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  <->  w  e.  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) } ) )
181, 17bitrd 253 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( w  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  w  e.  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) } ) )
1918eqrdv 2441 . 2  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  { p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E )
y ) } )
20 dfiunv2 4218 . 2  |-  U_ x  e.  V  U_ y  e.  ( V  \  {
x } ) ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y )  =  {
p  |  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) p  e.  ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) }
2119, 20syl6eqr 2493 1  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  U_ x  e.  V  U_ y  e.  ( V 
\  { x }
) ( x ( V 2SPathOnOt  E ) y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2618   E.wrex 2728   _Vcvv 2984    \ cdif 3337   (/)c0 3649   {csn 3889   U_ciun 4183  (class class class)co 6103   2SPathOnOt c2spthot 30387   2SPathOnOt c2pthonot 30388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-ot 3898  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-hash 12116  df-word 12241  df-wlk 23427  df-trail 23428  df-pth 23429  df-spth 23430  df-wlkon 23433  df-spthon 23436  df-2spthonot 30391  df-2spthsot 30392
This theorem is referenced by:  frghash2spot  30668
  Copyright terms: Public domain W3C validator