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Theorem 2spontn0vne 24660
Description: If the set of simple paths of length 2 between two vertices (in a graph) is not empty, the two vertices must be not equal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
2spontn0vne  |-  ( ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y )  =/=  (/)  ->  X  =/=  Y )

Proof of Theorem 2spontn0vne
Dummy variables  b 
f  i  p  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3794 . 2  |-  ( ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y )  =/=  (/)  <->  E. t 
t  e.  ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y ) )
2 2spthonot3v 24649 . . . 4  |-  ( t  e.  ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  t  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) ) )
3 el2spthonot 24643 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
t  e.  ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y )  <->  E. b  e.  V  ( t  =  <. X ,  b ,  Y >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( X  =  ( p `  0
)  /\  b  =  ( p `  1
)  /\  Y  =  ( p `  2
) ) ) ) ) )
4 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
5 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  p  e. 
_V
6 isspth 24344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  p  e.  _V )
)  ->  ( f
( V SPaths  E )
p  <->  ( f ( V Trails  E ) p  /\  Fun  `' p
) ) )
7 istrl2 24313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  p  e.  _V )
)  ->  ( f
( V Trails  E )
p  <->  ( f : ( 0..^ ( # `  f ) ) -1-1-> dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( p `
 i ) ,  ( p `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
87anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  p  e.  _V )
)  ->  ( (
f ( V Trails  E
) p  /\  Fun  `' p )  <->  ( (
f : ( 0..^ ( # `  f
) ) -1-1-> dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( p `  i ) ,  ( p `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' p ) ) )
96, 8bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( f  e.  _V  /\  p  e.  _V )
)  ->  ( f
( V SPaths  E )
p  <->  ( ( f : ( 0..^ (
# `  f )
) -1-1-> dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( p `  i ) ,  ( p `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' p ) ) )
104, 5, 9mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( f ( V SPaths  E ) p  <->  ( (
f : ( 0..^ ( # `  f
) ) -1-1-> dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( p `  i ) ,  ( p `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' p ) ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
f ( V SPaths  E
) p  <->  ( (
f : ( 0..^ ( # `  f
) ) -1-1-> dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( p `  i ) ,  ( p `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' p ) ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
f ( V SPaths  E
) p  <->  ( (
f : ( 0..^ ( # `  f
) ) -1-1-> dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( p `  i ) ,  ( p `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' p ) ) )
13 df-f1 5593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p : ( 0 ... ( # `  f
) ) -1-1-> V  <->  ( p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  Fun  `' p ) )
14 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  f )  =  2  ->  p  =  p )
15 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  f )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  f
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
16 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  f )  =  2  ->  V  =  V )
1714, 15, 16f1eq123d 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  f )  =  2  ->  (
p : ( 0 ... ( # `  f
) ) -1-1-> V  <->  p :
( 0 ... 2
) -1-1-> V ) )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... 2
)
1918f13idfv 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( p : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  ( ( p ` 
0 )  =/=  (
p `  1 )  /\  ( p `  0
)  =/=  ( p `
 2 )  /\  ( p `  1
)  =/=  ( p `
 2 ) ) ) )
20 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  ( ( p `
 0 )  =/=  ( p `  1
)  /\  ( p `  0 )  =/=  ( p `  2
)  /\  ( p `  1 )  =/=  ( p `  2
) ) )  -> 
( p `  0
)  =/=  ( p `
 2 ) )
2119, 20sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( p `  0
)  =/=  ( p `
 2 ) )
2221a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  /\  b  e.  V )  ->  (
p `  0 )  =/=  ( p `  2
) ) )
2317, 22syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  f )  =  2  ->  (
p : ( 0 ... ( # `  f
) ) -1-1-> V  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  /\  b  e.  V )  ->  (
p `  0 )  =/=  ( p `  2
) ) ) )
2423com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p : ( 0 ... ( # `  f
) ) -1-1-> V  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  /\  b  e.  V )  ->  (
( # `  f )  =  2  ->  (
p `  0 )  =/=  ( p `  2
) ) ) )
2524imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p : ( 0 ... ( # `  f ) ) -1-1-> V  /\  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  /\  b  e.  V ) )  /\  ( # `  f )  =  2 )  -> 
( p `  0
)  =/=  ( p `
 2 ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( p : ( 0 ... ( # `
 f ) )
-1-1-> V  /\  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  /\  b  e.  V ) )  /\  ( # `  f )  =  2 )  /\  ( X  =  (
p `  0 )  /\  b  =  (
p `  1 )  /\  Y  =  (
p `  2 )
) )  ->  (
p `  0 )  =/=  ( p `  2
) )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  =  ( p `
 0 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) )  ->  X  =  ( p `  0 ) )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  =  ( p `
 0 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) )  ->  Y  =  ( p `  2 ) )
2927, 28neeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  =  ( p `
 0 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) )  ->  ( X  =/= 
Y  <->  ( p ` 
0 )  =/=  (
p `  2 )
) )
30293adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  =  ( p `
 0 )  /\  b  =  ( p `  1 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) )  ->  ( X  =/= 
Y  <->  ( p ` 
0 )  =/=  (
p `  2 )
) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( p : ( 0 ... ( # `
 f ) )
-1-1-> V  /\  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  /\  b  e.  V ) )  /\  ( # `  f )  =  2 )  /\  ( X  =  (
p `  0 )  /\  b  =  (
p `  1 )  /\  Y  =  (
p `  2 )
) )  ->  ( X  =/=  Y  <->  ( p `  0 )  =/=  ( p `  2
) ) )
3226, 31mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( p : ( 0 ... ( # `
 f ) )
-1-1-> V  /\  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  /\  b  e.  V ) )  /\  ( # `  f )  =  2 )  /\  ( X  =  (
p `  0 )  /\  b  =  (
p `  1 )  /\  Y  =  (
p `  2 )
) )  ->  X  =/=  Y )
3332exp41 610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p : ( 0 ... ( # `  f
) ) -1-1-> V  -> 
( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  /\  b  e.  V )  ->  (
( # `  f )  =  2  ->  (
( X  =  ( p `  0 )  /\  b  =  ( p `  1 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) )  ->  X  =/=  Y ) ) ) )
3413, 33sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  Fun  `' p )  ->  (
( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
( # `  f )  =  2  ->  (
( X  =  ( p `  0 )  /\  b  =  ( p `  1 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) )  ->  X  =/=  Y ) ) ) )
35343ad2antl2 1159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : ( 0..^ ( # `  f
) ) -1-1-> dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( p `  i ) ,  ( p `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' p )  ->  (
( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
( # `  f )  =  2  ->  (
( X  =  ( p `  0 )  /\  b  =  ( p `  1 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) )  ->  X  =/=  Y ) ) ) )
3635com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
( ( f : ( 0..^ ( # `  f ) ) -1-1-> dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( p `
 i ) ,  ( p `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' p )  ->  (
( # `  f )  =  2  ->  (
( X  =  ( p `  0 )  /\  b  =  ( p `  1 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) )  ->  X  =/=  Y ) ) ) )
3712, 36sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
f ( V SPaths  E
) p  ->  (
( # `  f )  =  2  ->  (
( X  =  ( p `  0 )  /\  b  =  ( p `  1 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) )  ->  X  =/=  Y ) ) ) )
38373impd 1210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( X  =  ( p `  0 )  /\  b  =  ( p `  1 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) ) )  ->  X  =/=  Y ) )
3938exlimdvv 1701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  /\  b  e.  V )  ->  ( E. f E. p ( f ( V SPaths  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( X  =  ( p ` 
0 )  /\  b  =  ( p ` 
1 )  /\  Y  =  ( p ` 
2 ) ) )  ->  X  =/=  Y
) )
4039adantld 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  /\  b  e.  V )  ->  (
( t  =  <. X ,  b ,  Y >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( X  =  ( p `  0 )  /\  b  =  ( p `  1 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  X  =/=  Y ) )
4140rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  ( E. b  e.  V  ( t  =  <. X ,  b ,  Y >.  /\  E. f E. p ( f ( V SPaths  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( X  =  ( p `  0 )  /\  b  =  ( p `  1 )  /\  Y  =  ( p `  2 ) ) ) )  ->  X  =/=  Y ) )
423, 41sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
t  e.  ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y )  ->  X  =/=  Y ) )
43423adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  /\  t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )  ->  (
t  e.  ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y )  ->  X  =/=  Y ) )
442, 43mpcom 36 . . 3  |-  ( t  e.  ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y )  ->  X  =/=  Y
)
4544exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. t  t  e.  ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y )  ->  X  =/=  Y )
461, 45sylbi 195 1  |-  ( ( X ( V 2SPathOnOt  E ) Y )  =/=  (/)  ->  X  =/=  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {cpr 4029   <.cotp 4035   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Fun wfun 5582   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496   2c2 10586   ...cfz 11673  ..^cfzo 11793   #chash 12374   Trails ctrail 24272   SPaths cspath 24274   2SPathOnOt c2pthonot 24630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-wlk 24281  df-trail 24282  df-pth 24283  df-spth 24284  df-wlkon 24287  df-spthon 24290  df-2spthonot 24633
This theorem is referenced by:  usg2spthonot  24661  usg2spthonot0  24662  2spot2iun2spont  24664
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