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Theorem 2rmoswap 37996
Description: A condition allowing swap of restricted "at most one" and restricted existential quantifiers, analogous to 2moswap 2347. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2rmoswap  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, y    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2rmoswap
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2790 . . 3  |-  ( E* y  e.  B  ph  <->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2863 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) )
3 df-ral 2787 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 moanimv 2330 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
54albii 1687 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
63, 5bitr4i 255 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
7 2moswap 2347 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E* x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E* y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) ) )
8 df-rmo 2790 . . . . 5  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E* x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
9 r19.42v 2990 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
10 df-rex 2788 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
11 an12 804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1211exbii 1714 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
1310, 12bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
149, 13bitr3i 254 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1514mobii 2291 . . . . 5  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  E* x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
168, 15bitri 252 . . . 4  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E* x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
17 df-rmo 2790 . . . . 5  |-  ( E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E* y
( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
18 r19.42v 2990 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
19 df-rex 2788 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2018, 19bitr3i 254 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) 
<->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2120mobii 2291 . . . . 5  |-  ( E* y ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph )  <->  E* y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2217, 21bitri 252 . . . 4  |-  ( E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E* y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
237, 16, 223imtr4g 273 . . 3  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
246, 23sylbi 198 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
252, 24sylbi 198 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1659    e. wcel 1870   E*wmo 2267   A.wral 2782   E.wrex 2783   E*wrmo 2785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-eu 2270  df-mo 2271  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rmo 2790
This theorem is referenced by:  2reu1  37998
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