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Theorem 2reuswap2 28203
Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reuswap2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem 2reuswap2
StepHypRef Expression
1 df-ral 2761 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2 moanimv 2380 . . . 4  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
32albii 1699 . . 3  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
41, 3bitr4i 260 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
5 2euswap 2397 . . 3  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) ) )
6 df-reu 2763 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
7 r19.42v 2931 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
8 df-rex 2762 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
97, 8bitr3i 259 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
10 an12 814 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1110exbii 1726 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
129, 11bitri 257 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1312eubii 2341 . . . 4  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
146, 13bitri 257 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
15 df-reu 2763 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y
( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
16 r19.42v 2931 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
17 df-rex 2762 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1816, 17bitr3i 259 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) 
<->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1918eubii 2341 . . . 4  |-  ( E! y ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph )  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2015, 19bitri 257 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
215, 14, 203imtr4g 278 . 2  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
224, 21sylbi 200 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376   A.wal 1450   E.wex 1671    e. wcel 1904   E!weu 2319   E*wmo 2320   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-eu 2323  df-mo 2324  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763
This theorem is referenced by:  reuxfr3d  28204
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