Theorem 2reuswap2 27210

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reuswap2	|- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem 2reuswap2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2822	. . 3 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
2		moanimv 2356	. . . 4 |- ( E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
3	2	albii 1620	. . 3 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
4	1, 3	bitr4i 252	. 2 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
5		2euswap 2379	. . 3 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) ) )
6		df-reu 2824	. . . 4 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
7		r19.42v 3021	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
8		df-rex 2823	. . . . . . 7 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
9	7, 8	bitr3i 251	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
10		an12 795	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
11	10	exbii 1644	. . . . . 6 |- ( E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
12	9, 11	bitri 249	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
13	12	eubii 2300	. . . 4 |- ( E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
14	6, 13	bitri 249	. . 3 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
15		df-reu 2824	. . . 4 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
16		r19.42v 3021	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
17		df-rex 2823	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
18	16, 17	bitr3i 251	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
19	18	eubii 2300	. . . 4 |- ( E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
20	15, 19	bitri 249	. . 3 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
21	5, 14, 20	3imtr4g 270	. 2 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )
22	4, 21	sylbi 195	1 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596   e. wcel 1767   E!weu 2275   E*wmo 2276   A.wral 2817   E.wrex 2818   E!wreu 2819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-eu 2279  df-mo 2280  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824

This theorem is referenced by:  reuxfr3d  27211