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Theorem 2reuswap 3269
Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reuswap  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem 2reuswap
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2807 . . 3  |-  ( E* y  e.  B  ph  <->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2839 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) )
3 df-ral 2804 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 moanimv 2343 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
54albii 1611 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
63, 5bitr4i 252 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
7 2euswap 2366 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) ) )
8 df-reu 2806 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
9 r19.42v 2981 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
10 df-rex 2805 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
119, 10bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
12 an12 795 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1312exbii 1635 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
1411, 13bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1514eubii 2287 . . . . 5  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
168, 15bitri 249 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
17 df-reu 2806 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y
( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
18 r19.42v 2981 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
19 df-rex 2805 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2018, 19bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) 
<->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2120eubii 2287 . . . . 5  |-  ( E! y ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph )  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2217, 21bitri 249 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
237, 16, 223imtr4g 270 . . 3  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
246, 23sylbi 195 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
252, 24sylbi 195 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587    e. wcel 1758   E!weu 2262   E*wmo 2263   A.wral 2799   E.wrex 2800   E!wreu 2801   E*wrmo 2802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-eu 2266  df-mo 2267  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807
This theorem is referenced by:  reuxfr2d  4626  reuxfr3d  26052
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