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Theorem 2reurex 31653
Description: Double restricted quantification with existential uniqueness, analogous to 2euex 2375. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reurex  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A    x, y    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2reurex
StepHypRef Expression
1 reu5 3077 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph ) )
2 rexcom 3023 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
3 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ y A
4 nfre1 2925 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  B  ph
53, 4nfrmo 3037 . . . . 5  |-  F/ y E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph
6 rspe 2922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. y  e.  B  ph )
76ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  ( ph  ->  E. y  e.  B  ph ) )
87ralrimivw 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  E. y  e.  B  ph ) )
9 rmoim 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A  ph ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E* x  e.  A  ph ) )
1110impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  y  e.  B
)  ->  E* x  e.  A  ph )
12 rmo5 3080 . . . . . . 7  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
->  E! x  e.  A  ph ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  y  e.  B
)  ->  ( E. x  e.  A  ph  ->  E! x  e.  A  ph ) )
1413ex 434 . . . . 5  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( y  e.  B  -> 
( E. x  e.  A  ph  ->  E! x  e.  A  ph )
) )
155, 14reximdai 2933 . . . 4  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph ) )
162, 15syl5bi 217 . . 3  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph ) )
1716impcom 430 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
181, 17sylbi 195 1  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   E*wrmo 2817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822
This theorem is referenced by:  2rexreu  31657
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