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Theorem 2reurex 37567
Description: Double restricted quantification with existential uniqueness, analogous to 2euex 2319. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reurex  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A    x, y    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2reurex
StepHypRef Expression
1 reu5 3025 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph ) )
2 rexcom 2971 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
3 nfcv 2566 . . . . . 6  |-  F/_ y A
4 nfre1 2867 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  B  ph
53, 4nfrmo 2985 . . . . 5  |-  F/ y E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph
6 rspe 2864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. y  e.  B  ph )
76ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  ( ph  ->  E. y  e.  B  ph ) )
87ralrimivw 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  E. y  e.  B  ph ) )
9 rmoim 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A  ph ) )
108, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E* x  e.  A  ph ) )
1110impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  y  e.  B
)  ->  E* x  e.  A  ph )
12 rmo5 3028 . . . . . . 7  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
->  E! x  e.  A  ph ) )
1311, 12sylib 198 . . . . . 6  |-  ( ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  y  e.  B
)  ->  ( E. x  e.  A  ph  ->  E! x  e.  A  ph ) )
1413ex 434 . . . . 5  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( y  e.  B  -> 
( E. x  e.  A  ph  ->  E! x  e.  A  ph )
) )
155, 14reximdai 2875 . . . 4  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph ) )
162, 15syl5bi 219 . . 3  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph ) )
1716impcom 430 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
181, 17sylbi 197 1  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758   E*wrmo 2759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764
This theorem is referenced by:  2rexreu  37571
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