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Theorem 2reu5lem2 3305
Description: Lemma for 2reu5 3307. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu5lem2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
Distinct variable groups:    y, A    x, B    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2reu5lem2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2817 . . 3  |-  ( E* y  e.  B  ph  <->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2890 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) )
3 df-ral 2814 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 moanimv 2351 . . . . . 6  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
54bicomi 202 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)  <->  E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
6 3anass 972 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
76bicomi 202 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
87mobii 2296 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  E* y
( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
95, 8bitri 249 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)  <->  E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
109albii 1615 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
113, 10bitri 249 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
122, 11bitri 249 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968   A.wal 1372    e. wcel 1762   E*wmo 2271   A.wral 2809   E*wrmo 2812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-12 1798
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-eu 2274  df-mo 2275  df-ral 2814  df-rmo 2817
This theorem is referenced by:  2reu5lem3  3306
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