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Theorem 2reu1 37526
Description: Double restricted existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one, analogous to 2eu1 2325. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem 2reu1
StepHypRef Expression
1 2reu5a 37517 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  /\  E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  ph ) ) )
21simprbi 462 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph ) )
3 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  E. y  e.  B  ph )
4 rsp 2767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( x  e.  A  ->  E* y  e.  B  ph ) )
54adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  ->  ( x  e.  A  ->  E* y  e.  B  ph ) )
65impcom 428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  E* y  e.  B  ph )
73, 6jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph ) )
87ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  ph )
) )
98rmoimia 3247 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  ->  E* x  e.  A  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )
10 nfra1 2782 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph
1110rmoanim 37519 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x  e.  A  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
129, 11sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
1312ancrd 552 . . . . . . 7  |-  ( E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph ) ) )
14 2rmoswap 37524 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
1514com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
1615imdistani 688 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph )  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
1713, 16syl6 31 . . . . . 6  |-  ( E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
182, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
19 2reu2rex 37523 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
20 rexcom 2966 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
2119, 20sylib 196 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
2219, 21jca 530 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
2318, 22jctild 541 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) ) )
24 reu5 3020 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph ) )
25 reu5 3020 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
2624, 25anbi12i 695 . . . . 5  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
27 an4 823 . . . . 5  |-  ( ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
2826, 27bitri 249 . . . 4  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
2923, 28syl6ibr 227 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
3029com12 29 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
31 2rexreu 37525 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  ->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph )
3230, 31impbid1 203 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1840   A.wral 2751   E.wrex 2752   E!wreu 2753   E*wrmo 2754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759
This theorem is referenced by:  2reu2  37527  2reu3  37528
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