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Theorem 2reu1 32145
Description: Double restricted existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one, analogous to 2eu1 2362. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem 2reu1
StepHypRef Expression
1 2reu5a 32136 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  /\  E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  ph ) ) )
21simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph ) )
3 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  E. y  e.  B  ph )
4 rsp 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( x  e.  A  ->  E* y  e.  B  ph ) )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  ->  ( x  e.  A  ->  E* y  e.  B  ph ) )
65impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  E* y  e.  B  ph )
73, 6jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph ) )
87ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  ph )
) )
98rmoimia 3286 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  ->  E* x  e.  A  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )
10 nfra1 2824 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph
1110rmoanim 32138 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x  e.  A  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
129, 11sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
1312ancrd 554 . . . . . . 7  |-  ( E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph ) ) )
14 2rmoswap 32143 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
1514com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
1615imdistani 690 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph )  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
1713, 16syl6 33 . . . . . 6  |-  ( E* x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
182, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
19 2reu2rex 32142 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
20 rexcom 3005 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
2119, 20sylib 196 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
2219, 21jca 532 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
2318, 22jctild 543 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) ) )
24 reu5 3059 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph ) )
25 reu5 3059 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
2624, 25anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
27 an4 824 . . . . 5  |-  ( ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
2826, 27bitri 249 . . . 4  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
2923, 28syl6ibr 227 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
3029com12 31 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
31 2rexreu 32144 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  ->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph )
3230, 31impbid1 203 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   E!wreu 2795   E*wrmo 2796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801
This theorem is referenced by:  2reu2  32146  2reu3  32147
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