Theorem 2pwuninel 5551

Description: The power set of the power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set.

Assertion

Ref	Expression
2pwuninel	|- -. ~P~PU.A e. A

Proof of Theorem 2pwuninel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 5535	. . 3 |- -. ~P~PU.A ~< ~P~PU.A
2		ssdom2g 5468	. . . . 5 |- (U.A e. _V -> (~P~PU.A C_ U.A -> ~P~PU.A ~<_ U.A))
3		domsdomtr 5539	. . . . . . 7 |- ((~P~PU.A ~<_ U.A /\ U.A ~< ~P~PU.A) -> ~P~PU.A ~< ~P~PU.A)
4	3	ex 402	. . . . . 6 |- (~P~PU.A ~<_ U.A -> (U.A ~< ~P~PU.A -> ~P~PU.A ~< ~P~PU.A))
5		canth2g 5549	. . . . . . 7 |- (U.A e. _V -> U.A ~< ~PU.A)
6		pwexb 3852	. . . . . . . 8 |- (U.A e. _V <-> ~PU.A e. _V)
7		canth2g 5549	. . . . . . . 8 |- (~PU.A e. _V -> ~PU.A ~< ~P~PU.A)
8	6, 7	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (U.A e. _V -> ~PU.A ~< ~P~PU.A)
9		sdomtr 5537	. . . . . . 7 |- ((U.A ~< ~PU.A /\ ~PU.A ~< ~P~PU.A) -> U.A ~< ~P~PU.A)
10	5, 8, 9	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (U.A e. _V -> U.A ~< ~P~PU.A)
11	4, 10	syl5com 63	. . . . 5 |- (U.A e. _V -> (~P~PU.A ~<_ U.A -> ~P~PU.A ~< ~P~PU.A))
12	2, 11	syld 30	. . . 4 |- (U.A e. _V -> (~P~PU.A C_ U.A -> ~P~PU.A ~< ~P~PU.A))
13		elssuni 3206	. . . 4 |- (~P~PU.A e. A -> ~P~PU.A C_ U.A)
14	12, 13	syl5 20	. . 3 |- (U.A e. _V -> (~P~PU.A e. A -> ~P~PU.A ~< ~P~PU.A))
15	1, 14	mtoi 122	. 2 |- (U.A e. _V -> -. ~P~PU.A e. A)
16		elisset 2299	. . . 4 |- (~P~PU.A e. A -> ~P~PU.A e. _V)
17		pwexb 3852	. . . . 5 |- (~PU.A e. _V <-> ~P~PU.A e. _V)
18	6, 17	bitri 190	. . . 4 |- (U.A e. _V <-> ~P~PU.A e. _V)
19	16, 18	sylibr 217	. . 3 |- (~P~PU.A e. A -> U.A e. _V)
20	19	con3i 114	. 2 |- (-. U.A e. _V -> -. ~P~PU.A e. A)
21	15, 20	pm2.61i 140	1 |- -. ~P~PU.A e. A

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425

This theorem is referenced by:  mnfnre 6666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429

Copyright terms: Public domain