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Theorem 2pwuninel 7552
Description: The power set of the power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set. (Contributed by NM, 27-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
2pwuninel  |-  -.  ~P ~P U. A  e.  A

Proof of Theorem 2pwuninel
StepHypRef Expression
1 sdomirr 7534 . . 3  |-  -.  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A
2 elssuni 4205 . . . 4  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  C_  U. A )
3 ssdomg 7441 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  C_ 
U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<_  U. A
) )
4 canth2g 7551 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  ~<  ~P U. A
)
5 pwexb 6473 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  e.  _V  <->  ~P U. A  e.  _V )
6 canth2g 7551 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  ->  ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A )
75, 6sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ~P
U. A  ~<  ~P ~P U. A )
8 sdomtr 7535 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  ~<  ~P U. A  /\  ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A
)  ->  U. A  ~<  ~P ~P U. A )
94, 7, 8syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  ~<  ~P ~P U. A )
10 domsdomtr 7532 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  /\  U. A  ~<  ~P ~P U. A
)  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A )
1110ex 434 . . . . . 6  |-  ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  ->  ( U. A  ~<  ~P ~P U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
129, 11syl5com 30 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
133, 12syld 44 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  C_ 
U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
142, 13syl5 32 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
151, 14mtoi 178 . 2  |-  ( U. A  e.  _V  ->  -. 
~P ~P U. A  e.  A )
16 elex 3063 . . . 4  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  e.  _V )
17 pwexb 6473 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  <->  ~P ~P U. A  e. 
_V )
185, 17bitri 249 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  <->  ~P ~P U. A  e.  _V )
1916, 18sylibr 212 . . 3  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  U. A  e. 
_V )
2019con3i 135 . 2  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  -.  ~P ~P U. A  e.  A )
2115, 20pm2.61i 164 1  |-  -.  ~P ~P U. A  e.  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1757   _Vcvv 3054    C_ wss 3412   ~Pcpw 3944   U.cuni 4175   class class class wbr 4376    ~<_ cdom 7394    ~< csdm 7395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399
This theorem is referenced by:  mnfnre  9513
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