MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthon3v Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2pthon3v 25390
Description: For a vertex adjacent to two other vertices there is a path of length 2 between these other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
2pthon3v  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  E. f E. p ( f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  /\  ( # `
 f )  =  2 ) )
Distinct variable groups:    A, f, p    B, f, p    C, f, p    f, E, p   
f, V, p
Allowed substitution hints:    X( f, p)    Y( f, p)

Proof of Theorem 2pthon3v
StepHypRef Expression
1 prex 4659 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V
2 tpex 6622 . . 3  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V
31, 2pm3.2i 461 . 2  |-  ( {
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V )
4 fvex 5902 . . . . 5  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
5 fvex 5902 . . . . 5  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
64, 5pm3.2i 461 . . . 4  |-  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V )
7 2pthoncl 25389 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  _V  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
86, 7mp3an2 1361 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
9 ax-1ne0 9639 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
109nesymi 2693 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
11 c0ex 9668 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1211, 4opth1 4692 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  ->  0  =  1 )
1312necon3bi 2662 . . . . 5  |-  ( -.  0  =  1  ->  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
)
1410, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
15 opex 4681 . . . . 5  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V
16 opex 4681 . . . . 5  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V
17 hashprg 12610 . . . . 5  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  <->  (
# `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
1815, 16, 17mp2an 683 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  <->  (
# `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 )
1914, 18mpbi 213 . . 3  |-  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2
208, 19jctir 545 . 2  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
21 breq12 4423 . . . 4  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } ) )
22 fveq2 5892 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ->  ( # `  f
)  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } ) )
2322eqeq1d 2464 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ->  ( ( # `  f )  =  2  <-> 
( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
2423adantr 471 . . . 4  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
( # `  f )  =  2  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
2521, 24anbi12d 722 . . 3  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
( f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  /\  ( # `  f )  =  2 )  <->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) ) )
2625spc2egv 3148 . 2  |-  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V )  ->  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 )  ->  E. f E. p ( f ( A ( V PathOn  E
) C ) p  /\  ( # `  f
)  =  2 ) ) )
273, 20, 26mpsyl 65 1  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  E. f E. p ( f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  /\  ( # `
 f )  =  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898    =/= wne 2633   _Vcvv 3057   {cpr 3982   {ctp 3984   <.cop 3986   class class class wbr 4418   `'ccnv 4855   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   0cc0 9570   1c1 9571   2c2 10692   #chash 12553   PathOn cpthon 25288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-hash 12554  df-word 12703  df-wlk 25292  df-trail 25293  df-pth 25294  df-wlkon 25298  df-pthon 25300
This theorem is referenced by:  2pthfrgra  25795
  Copyright terms: Public domain W3C validator