MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthon3v Structured version   Unicode version

Theorem 2pthon3v 23506
Description: For a vertex adjacent to two other vertices there is a path of length 2 between these other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
2pthon3v  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  E. f E. p ( f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  /\  ( # `
 f )  =  2 ) )
Distinct variable groups:    A, f, p    B, f, p    C, f, p    f, E, p   
f, V, p
Allowed substitution hints:    X( f, p)    Y( f, p)

Proof of Theorem 2pthon3v
StepHypRef Expression
1 prex 4537 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V
2 tpex 6382 . . 3  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . 2  |-  ( {
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V )
4 fvex 5704 . . . . 5  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
5 fvex 5704 . . . . 5  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
64, 5pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V )
7 2pthoncl 23505 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  _V  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
86, 7mp3an2 1302 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
9 ax-1ne0 9354 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
109nesymi 2651 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
11 c0ex 9383 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1211, 4opth1 4568 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  ->  0  =  1 )
1312necon3bi 2655 . . . . 5  |-  ( -.  0  =  1  ->  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
)
1410, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
15 opex 4559 . . . . 5  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V
16 opex 4559 . . . . 5  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V
17 hashprg 12158 . . . . 5  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  <->  (
# `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
1815, 16, 17mp2an 672 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  <->  (
# `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 )
1914, 18mpbi 208 . . 3  |-  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2
208, 19jctir 538 . 2  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
21 breq12 4300 . . . 4  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } ) )
22 fveq2 5694 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ->  ( # `  f
)  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } ) )
2322eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ->  ( ( # `  f )  =  2  <-> 
( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
2423adantr 465 . . . 4  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
( # `  f )  =  2  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
2521, 24anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
( f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  /\  ( # `  f )  =  2 )  <->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) ) )
2625spc2egv 3062 . 2  |-  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V )  ->  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 )  ->  E. f E. p ( f ( A ( V PathOn  E
) C ) p  /\  ( # `  f
)  =  2 ) ) )
273, 20, 26mpsyl 63 1  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  E. f E. p ( f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  /\  ( # `
 f )  =  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2609   _Vcvv 2975   {cpr 3882   {ctp 3884   <.cop 3886   class class class wbr 4295   `'ccnv 4842   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   0cc0 9285   1c1 9286   2c2 10374   #chash 12106   PathOn cpthon 23414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-hash 12107  df-word 12232  df-wlk 23418  df-trail 23419  df-pth 23420  df-wlkon 23424  df-pthon 23426
This theorem is referenced by:  2pthfrgra  30606
  Copyright terms: Public domain W3C validator