MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthon3v Structured version   Unicode version

Theorem 2pthon3v 23438
Description: For a vertex adjacent to two other vertices there is a path of length 2 between these other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
2pthon3v  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  E. f E. p ( f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  /\  ( # `
 f )  =  2 ) )
Distinct variable groups:    A, f, p    B, f, p    C, f, p    f, E, p   
f, V, p
Allowed substitution hints:    X( f, p)    Y( f, p)

Proof of Theorem 2pthon3v
StepHypRef Expression
1 prex 4531 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V
2 tpex 6378 . . 3  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V
31, 2pm3.2i 452 . 2  |-  ( {
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V )
4 fvex 5698 . . . . 5  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
5 fvex 5698 . . . . 5  |-  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V
64, 5pm3.2i 452 . . . 4  |-  ( ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V )
7 2pthoncl 23437 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  _V  /\  ( `' E `  { B ,  C } )  e. 
_V )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
86, 7mp3an2 1297 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )
9 ax-1ne0 9347 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
109nesymi 2646 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
11 c0ex 9376 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1211, 4opth1 4562 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  ->  0  =  1 )
1312necon3bi 2650 . . . . 5  |-  ( -.  0  =  1  ->  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
)
1410, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.
15 opex 4553 . . . . 5  |-  <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V
16 opex 4553 . . . . 5  |-  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V
17 hashprg 12151 . . . . 5  |-  ( (
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  <->  (
# `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
1815, 16, 17mp2an 667 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >.  =/=  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >.  <->  (
# `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 )
1914, 18mpbi 208 . . 3  |-  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2
208, 19jctir 535 . 2  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
21 breq12 4294 . . . 4  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } ) )
22 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ->  ( # `  f
)  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } ) )
2322eqeq1d 2449 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ->  ( ( # `  f )  =  2  <-> 
( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
2423adantr 462 . . . 4  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
( # `  f )  =  2  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) )
2521, 24anbi12d 705 . . 3  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. } )  ->  (
( f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  /\  ( # `  f )  =  2 )  <->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 ) ) )
2625spc2egv 3056 . 2  |-  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  e.  _V )  ->  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) C ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { B ,  C } ) >. } )  =  2 )  ->  E. f E. p ( f ( A ( V PathOn  E
) C ) p  /\  ( # `  f
)  =  2 ) ) )
273, 20, 26mpsyl 63 1  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  =/=  ( `' E `  { B ,  C } )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  ( `' E `  { B ,  C } ) )  =  { B ,  C } ) )  ->  E. f E. p ( f ( A ( V PathOn  E ) C ) p  /\  ( # `
 f )  =  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   _Vcvv 2970   {cpr 3876   {ctp 3878   <.cop 3880   class class class wbr 4289   `'ccnv 4835   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   2c2 10367   #chash 12099   PathOn cpthon 23346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-word 12225  df-wlk 23350  df-trail 23351  df-pth 23352  df-wlkon 23356  df-pthon 23358
This theorem is referenced by:  2pthfrgra  30528
  Copyright terms: Public domain W3C validator