Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pthon3v-av Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2pthon3v-av 40065
 Description: For a vertex adjacent to two other vertices there is a simple path of length 2 between these other vertices in a hypergraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 24-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2pthon3v-av.v Vtx
2pthon3v-av.e Edg
Assertion
Ref Expression
2pthon3v-av UHGraph SPathsOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem 2pthon3v-av
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthon3v-av.e . . . . . . . . . 10 Edg
2 edgaval 39373 . . . . . . . . . 10 UHGraph Edg iEdg
31, 2syl5eq 2517 . . . . . . . . 9 UHGraph iEdg
43eleq2d 2534 . . . . . . . 8 UHGraph iEdg
5 2pthon3v-av.v . . . . . . . . . . 11 Vtx
6 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 iEdg iEdg
75, 6uhgrf 39306 . . . . . . . . . 10 UHGraph iEdg iEdg
87ffnd 5740 . . . . . . . . 9 UHGraph iEdg iEdg
9 fvelrnb 5926 . . . . . . . . 9 iEdg iEdg iEdg iEdgiEdg
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 UHGraph iEdg iEdgiEdg
114, 10bitrd 261 . . . . . . 7 UHGraph iEdgiEdg
123eleq2d 2534 . . . . . . . 8 UHGraph iEdg
13 fvelrnb 5926 . . . . . . . . 9 iEdg iEdg iEdg iEdgiEdg
148, 13syl 17 . . . . . . . 8 UHGraph iEdg iEdgiEdg
1512, 14bitrd 261 . . . . . . 7 UHGraph iEdgiEdg
1611, 15anbi12d 725 . . . . . 6 UHGraph iEdgiEdg iEdgiEdg
1716adantr 472 . . . . 5 UHGraph iEdgiEdg iEdgiEdg
1817adantr 472 . . . 4 UHGraph iEdgiEdg iEdgiEdg
19 reeanv 2944 . . . 4 iEdg iEdgiEdg iEdg iEdgiEdg iEdgiEdg
2018, 19syl6bbr 271 . . 3 UHGraph iEdg iEdgiEdg iEdg
21 df-s2 13003 . . . . . . . 8 ++
22 ovex 6336 . . . . . . . 8 ++
2321, 22eqeltri 2545 . . . . . . 7
24 df-s3 13004 . . . . . . . 8 ++
25 ovex 6336 . . . . . . . 8 ++
2624, 25eqeltri 2545 . . . . . . 7
2723, 26pm3.2i 462 . . . . . 6
28 eqid 2471 . . . . . . . 8
29 eqid 2471 . . . . . . . 8
30 simp-4r 785 . . . . . . . 8 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg
31 3simpb 1028 . . . . . . . . 9
3231ad3antlr 745 . . . . . . . 8 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg
33 eqimss2 3471 . . . . . . . . . 10 iEdg iEdg
34 eqimss2 3471 . . . . . . . . . 10 iEdg iEdg
3533, 34anim12i 576 . . . . . . . . 9 iEdg iEdg iEdg iEdg
3635adantl 473 . . . . . . . 8 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg iEdg iEdg
37 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15 iEdg iEdg
3837eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14 iEdg iEdg
3938anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . 13 iEdg iEdg iEdg iEdg
40 eqtr2 2491 . . . . . . . . . . . . . 14 iEdg iEdg
41 3simpa 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42 3simpc 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43 preq12bg 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4441, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
45 eqneqall 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4645com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47463ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4847com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 eqneqall 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5150com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
52513ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5352com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5549, 54jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5644, 55syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5756com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 UHGraph
5958imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15 UHGraph
6059com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14 UHGraph
6140, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 iEdg iEdg UHGraph
6239, 61syl6bi 236 . . . . . . . . . . . 12 iEdg iEdg UHGraph
6362com23 80 . . . . . . . . . . 11 UHGraph iEdg iEdg
64 2a1 27 . . . . . . . . . . 11 UHGraph iEdg iEdg
6563, 64pm2.61ine 2726 . . . . . . . . . 10 UHGraph iEdg iEdg
6665adantr 472 . . . . . . . . 9 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg
6766imp 436 . . . . . . . 8 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg
68 simplr2 1073 . . . . . . . . 9 UHGraph iEdg iEdg
6968adantr 472 . . . . . . . 8 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg
7028, 29, 30, 32, 36, 5, 6, 67, 692pthond 40064 . . . . . . 7 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg SPathsOn
71 s2len 13043 . . . . . . 7
7270, 71jctir 547 . . . . . 6 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg SPathsOn
73 breq12 4400 . . . . . . . 8 SPathsOn SPathsOn
74 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
7574eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9
7675adantr 472 . . . . . . . 8
7773, 76anbi12d 725 . . . . . . 7 SPathsOn SPathsOn
7877spc2egv 3122 . . . . . 6 SPathsOn SPathsOn
7927, 72, 78mpsyl 64 . . . . 5 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg SPathsOn
8079ex 441 . . . 4 UHGraph iEdg iEdg iEdg iEdg SPathsOn
8180rexlimdvva 2878 . . 3 UHGraph iEdg iEdgiEdg iEdg SPathsOn
8220, 81sylbid 223 . 2 UHGraph SPathsOn
83823impia 1228 1 UHGraph SPathsOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   cdm 4839   crn 4840   wfn 5584  cfv 5589  (class class class)co 6308  c2 10681  chash 12553   ++ cconcat 12705  cs1 12706  cs2 12996  cs3 12997  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252   UHGraph cuhgr 39300  Edgcedga 39371  SPathsOncspthson 39910 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-ifp 984  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-uhgr 39302  df-edga 39372  df-1wlks 39804  df-wlkson 39806  df-trls 39889  df-trlson 39890  df-pths 39911  df-spths 39912  df-spthson 39914 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator