MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthlem2 Structured version   Unicode version

Theorem 2pthlem2 25268
Description: Lemma 2 for constr2pth 25273. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2pth.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
2pthlem2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )

Proof of Theorem 2pthlem2
StepHypRef Expression
1 2pth.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
212trllemD 25229 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )
3 1ex 9589 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
43tpid2 4057 . . . . . 6  |-  1  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
5 fnsnfv 5885 . . . . . 6  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  1  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 } )  ->  { ( P `
 1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
62, 4, 5sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
7 fzo12sn 11946 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
87imaeq2i 5128 . . . . 5  |-  ( P
" ( 1..^ 2 ) )  =  ( P " { 1 } )
96, 8syl6reqr 2481 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " (
1..^ 2 ) )  =  { ( P `
 1 ) } )
109ineq2d 3607 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
1110adantr 466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
12 c0ex 9588 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1312tpid1 4056 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
15 2ex 10632 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
1615tpid3 4059 . . . . . 6  |-  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
18 fnimapr 5889 . . . . 5  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  0  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  /\  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )  ->  ( P " { 0 ,  2 } )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) } )
192, 14, 17, 18syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " {
0 ,  2 } )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
2019ineq1d 3606 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2120adantr 466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2212wlklemA 25226 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( P `  0 )  =  A )
23223ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  A )
2412wlklemC 25228 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( P `  2 )  =  C )
25243ad2ant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  2
)  =  C )
2623, 25preq12d 4030 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) }  =  { A ,  C } )
2712wlklemB 25227 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( P `  1 )  =  B )
28273ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  1
)  =  B )
2928sneqd 3953 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  { B } )
3026, 29ineq12d 3608 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { A ,  C }  i^i  { B } ) )
31 elpri 3958 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( B  =  A  \/  B  =  C ) )
32 nne 2605 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  =/=  B  <->  A  =  B )
3332biimpri 209 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  =/=  B )
3433eqcoms 2436 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  A  ->  -.  A  =/=  B )
35 nne 2605 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  =/=  C  <->  B  =  C )
3635biimpri 209 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  -.  B  =/=  C )
3734, 36orim12i 518 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =  A  \/  B  =  C )  ->  ( -.  A  =/= 
B  \/  -.  B  =/=  C ) )
3831, 37syl 17 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C
) )
39 ianor 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C
)  <->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C ) )
4038, 39sylibr 215 . . . . 5  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C ) )
4140con2i 123 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  ->  -.  B  e.  { A ,  C } )
42 disjsn 4003 . . . 4  |-  ( ( { A ,  C }  i^i  { B }
)  =  (/)  <->  -.  B  e.  { A ,  C } )
4341, 42sylibr 215 . . 3  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  C }  i^i  { B } )  =  (/) )
4430, 43sylan9eq 2482 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  (/) )
4511, 21, 443eqtrd 2466 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599    i^i cin 3378   (/)c0 3704   {csn 3941   {cpr 3943   {ctp 3945   <.cop 3947   "cima 4799    Fn wfn 5539   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   0cc0 9490   1c1 9491   2c2 10610  ..^cfzo 11866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867
This theorem is referenced by:  constr2pth  25273
  Copyright terms: Public domain W3C validator