MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthlem2 Unicode version

Theorem 2pthlem2 21549
Description: Lemma 2 for constr2pth 21554. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2pth.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
2pthlem2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )

Proof of Theorem 2pthlem2
StepHypRef Expression
1 2pth.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
212trllemD 21510 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )
3 1ex 9042 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
43tpid2 3878 . . . . . 6  |-  1  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
5 fnsnfv 5745 . . . . . 6  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  1  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 } )  ->  { ( P `
 1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
62, 4, 5sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
7 fzo12sn 11138 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
87imaeq2i 5160 . . . . 5  |-  ( P
" ( 1..^ 2 ) )  =  ( P " { 1 } )
96, 8syl6reqr 2455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " (
1..^ 2 ) )  =  { ( P `
 1 ) } )
109ineq2d 3502 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
1110adantr 452 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
12 c0ex 9041 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1312tpid1 3877 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
15 2z 10268 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
1615elexi 2925 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
1716tpid3 3880 . . . . . 6  |-  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
19 fnimapr 5746 . . . . 5  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  0  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  /\  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )  ->  ( P " { 0 ,  2 } )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) } )
202, 14, 18, 19syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " {
0 ,  2 } )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
2120ineq1d 3501 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2221adantr 452 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2312wlklemA 21507 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( P `  0 )  =  A )
24233ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  A )
2512wlklemC 21509 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( P `  2 )  =  C )
26253ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  2
)  =  C )
2724, 26preq12d 3851 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) }  =  { A ,  C } )
2812wlklemB 21508 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( P `  1 )  =  B )
29283ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  1
)  =  B )
3029sneqd 3787 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  { B } )
3127, 30ineq12d 3503 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { A ,  C }  i^i  { B } ) )
32 elpri 3794 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( B  =  A  \/  B  =  C ) )
33 nne 2571 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  =/=  B  <->  A  =  B )
3433biimpri 198 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  =/=  B )
3534eqcoms 2407 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  A  ->  -.  A  =/=  B )
36 nne 2571 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  =/=  C  <->  B  =  C )
3736biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  -.  B  =/=  C )
3835, 37orim12i 503 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =  A  \/  B  =  C )  ->  ( -.  A  =/= 
B  \/  -.  B  =/=  C ) )
3932, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C
) )
40 ianor 475 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C
)  <->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C ) )
4139, 40sylibr 204 . . . . 5  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C ) )
4241con2i 114 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  ->  -.  B  e.  { A ,  C } )
43 disjsn 3828 . . . 4  |-  ( ( { A ,  C }  i^i  { B }
)  =  (/)  <->  -.  B  e.  { A ,  C } )
4442, 43sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  C }  i^i  { B } )  =  (/) )
4531, 44sylan9eq 2456 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  (/) )
4611, 22, 453eqtrd 2440 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   {ctp 3776   <.cop 3777   "cima 4840    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   2c2 10005   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090
This theorem is referenced by:  constr2pth  21554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091
  Copyright terms: Public domain W3C validator