MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthlem2 Structured version   Unicode version

Theorem 2pthlem2 23514
Description: Lemma 2 for constr2pth 23519. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2pth.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
2pthlem2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )

Proof of Theorem 2pthlem2
StepHypRef Expression
1 2pth.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
212trllemD 23475 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )
3 1ex 9400 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
43tpid2 4008 . . . . . 6  |-  1  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
5 fnsnfv 5770 . . . . . 6  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  1  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 } )  ->  { ( P `
 1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
62, 4, 5sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
7 fzo12sn 11632 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
87imaeq2i 5186 . . . . 5  |-  ( P
" ( 1..^ 2 ) )  =  ( P " { 1 } )
96, 8syl6reqr 2494 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " (
1..^ 2 ) )  =  { ( P `
 1 ) } )
109ineq2d 3571 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
1110adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
12 c0ex 9399 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1312tpid1 4007 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
15 2ex 10412 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
1615tpid3 4010 . . . . . 6  |-  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
18 fnimapr 5774 . . . . 5  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  0  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  /\  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )  ->  ( P " { 0 ,  2 } )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) } )
192, 14, 17, 18syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " {
0 ,  2 } )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
2019ineq1d 3570 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2120adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2212wlklemA 23472 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( P `  0 )  =  A )
23223ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  A )
2412wlklemC 23474 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( P `  2 )  =  C )
25243ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  2
)  =  C )
2623, 25preq12d 3981 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) }  =  { A ,  C } )
2712wlklemB 23473 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( P `  1 )  =  B )
28273ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  1
)  =  B )
2928sneqd 3908 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  { B } )
3026, 29ineq12d 3572 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { A ,  C }  i^i  { B } ) )
31 elpri 3916 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( B  =  A  \/  B  =  C ) )
32 nne 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  =/=  B  <->  A  =  B )
3332biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  =/=  B )
3433eqcoms 2446 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  A  ->  -.  A  =/=  B )
35 nne 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  =/=  C  <->  B  =  C )
3635biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  -.  B  =/=  C )
3734, 36orim12i 516 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =  A  \/  B  =  C )  ->  ( -.  A  =/= 
B  \/  -.  B  =/=  C ) )
3831, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C
) )
39 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C
)  <->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C ) )
4038, 39sylibr 212 . . . . 5  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C ) )
4140con2i 120 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  ->  -.  B  e.  { A ,  C } )
42 disjsn 3955 . . . 4  |-  ( ( { A ,  C }  i^i  { B }
)  =  (/)  <->  -.  B  e.  { A ,  C } )
4341, 42sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  C }  i^i  { B } )  =  (/) )
4430, 43sylan9eq 2495 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  (/) )
4511, 21, 443eqtrd 2479 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    i^i cin 3346   (/)c0 3656   {csn 3896   {cpr 3898   {ctp 3900   <.cop 3902   "cima 4862    Fn wfn 5432   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   0cc0 9301   1c1 9302   2c2 10390  ..^cfzo 11567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-fz 11457  df-fzo 11568
This theorem is referenced by:  constr2pth  23519
  Copyright terms: Public domain W3C validator