MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2pthlem2 25405
Description: Lemma 2 for constr2pth 25410. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2pth.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
2pthlem2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )

Proof of Theorem 2pthlem2
StepHypRef Expression
1 2pth.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
212trllemD 25366 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )
3 1ex 9656 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
43tpid2 4077 . . . . . 6  |-  1  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
5 fnsnfv 5940 . . . . . 6  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  1  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 } )  ->  { ( P `
 1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
62, 4, 5sylancl 675 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
7 fzo12sn 12025 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
87imaeq2i 5172 . . . . 5  |-  ( P
" ( 1..^ 2 ) )  =  ( P " { 1 } )
96, 8syl6reqr 2524 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " (
1..^ 2 ) )  =  { ( P `
 1 ) } )
109ineq2d 3625 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
1110adantr 472 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
12 c0ex 9655 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1312tpid1 4076 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
15 2ex 10703 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
1615tpid3 4079 . . . . . 6  |-  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
18 fnimapr 5944 . . . . 5  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  0  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  /\  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )  ->  ( P " { 0 ,  2 } )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) } )
192, 14, 17, 18syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " {
0 ,  2 } )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
2019ineq1d 3624 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2120adantr 472 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2212wlklemA 25363 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( P `  0 )  =  A )
23223ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  A )
2412wlklemC 25365 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( P `  2 )  =  C )
25243ad2ant3 1053 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  2
)  =  C )
2623, 25preq12d 4050 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) }  =  { A ,  C } )
2712wlklemB 25364 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( P `  1 )  =  B )
28273ad2ant2 1052 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  1
)  =  B )
2928sneqd 3971 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  { B } )
3026, 29ineq12d 3626 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { A ,  C }  i^i  { B } ) )
31 elpri 3976 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( B  =  A  \/  B  =  C ) )
32 nne 2647 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  =/=  B  <->  A  =  B )
3332biimpri 211 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  =/=  B )
3433eqcoms 2479 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  A  ->  -.  A  =/=  B )
35 nne 2647 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  =/=  C  <->  B  =  C )
3635biimpri 211 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  -.  B  =/=  C )
3734, 36orim12i 525 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =  A  \/  B  =  C )  ->  ( -.  A  =/= 
B  \/  -.  B  =/=  C ) )
3831, 37syl 17 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C
) )
39 ianor 496 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C
)  <->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C ) )
4038, 39sylibr 217 . . . . 5  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C ) )
4140con2i 124 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  ->  -.  B  e.  { A ,  C } )
42 disjsn 4023 . . . 4  |-  ( ( { A ,  C }  i^i  { B }
)  =  (/)  <->  -.  B  e.  { A ,  C } )
4341, 42sylibr 217 . . 3  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  C }  i^i  { B } )  =  (/) )
4430, 43sylan9eq 2525 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  (/) )
4511, 21, 443eqtrd 2509 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    i^i cin 3389   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   {ctp 3963   <.cop 3965   "cima 4842    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   2c2 10681  ..^cfzo 11942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943
This theorem is referenced by:  constr2pth  25410
  Copyright terms: Public domain W3C validator