MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthlem2 Structured version   Unicode version

Theorem 2pthlem2 24421
Description: Lemma 2 for constr2pth 24426. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2pth.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
2pthlem2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )

Proof of Theorem 2pthlem2
StepHypRef Expression
1 2pth.p . . . . . . 7  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
212trllemD 24382 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )
3 1ex 9603 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
43tpid2 4147 . . . . . 6  |-  1  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
5 fnsnfv 5934 . . . . . 6  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  1  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 } )  ->  { ( P `
 1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
62, 4, 5sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  ( P " { 1 } ) )
7 fzo12sn 11878 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
87imaeq2i 5341 . . . . 5  |-  ( P
" ( 1..^ 2 ) )  =  ( P " { 1 } )
96, 8syl6reqr 2527 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " (
1..^ 2 ) )  =  { ( P `
 1 ) } )
109ineq2d 3705 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
1110adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } ) )
12 c0ex 9602 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1312tpid1 4146 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  0  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
15 2ex 10619 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
1615tpid3 4149 . . . . . 6  |-  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
18 fnimapr 5938 . . . . 5  |-  ( ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  /\  0  e. 
{ 0 ,  1 ,  2 }  /\  2  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )  ->  ( P " { 0 ,  2 } )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) } )
192, 14, 17, 18syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P " {
0 ,  2 } )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
2019ineq1d 3704 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2120adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } ) )
2212wlklemA 24379 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( P `  0 )  =  A )
23223ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  0
)  =  A )
2412wlklemC 24381 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( P `  2 )  =  C )
25243ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  2
)  =  C )
2623, 25preq12d 4120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  2 ) }  =  { A ,  C } )
2712wlklemB 24380 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( P `  1 )  =  B )
28273ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( P `  1
)  =  B )
2928sneqd 4045 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { ( P ` 
1 ) }  =  { B } )
3026, 29ineq12d 3706 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  ( { A ,  C }  i^i  { B } ) )
31 elpri 4053 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( B  =  A  \/  B  =  C ) )
32 nne 2668 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  =/=  B  <->  A  =  B )
3332biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  =/=  B )
3433eqcoms 2479 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  A  ->  -.  A  =/=  B )
35 nne 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  =/=  C  <->  B  =  C )
3635biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  -.  B  =/=  C )
3734, 36orim12i 516 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =  A  \/  B  =  C )  ->  ( -.  A  =/= 
B  \/  -.  B  =/=  C ) )
3831, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C
) )
39 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C
)  <->  ( -.  A  =/=  B  \/  -.  B  =/=  C ) )
4038, 39sylibr 212 . . . . 5  |-  ( B  e.  { A ,  C }  ->  -.  ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C ) )
4140con2i 120 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  ->  -.  B  e.  { A ,  C } )
42 disjsn 4094 . . . 4  |-  ( ( { A ,  C }  i^i  { B }
)  =  (/)  <->  -.  B  e.  { A ,  C } )
4341, 42sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  =/=  B  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  C }  i^i  { B } )  =  (/) )
4430, 43sylan9eq 2528 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  2
) }  i^i  {
( P `  1
) } )  =  (/) )
4511, 21, 443eqtrd 2512 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( A  =/=  B  /\  B  =/= 
C ) )  -> 
( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3480   (/)c0 3790   {csn 4033   {cpr 4035   {ctp 4037   <.cop 4039   "cima 5008    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505   2c2 10597  ..^cfzo 11804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805
This theorem is referenced by:  constr2pth  24426
  Copyright terms: Public domain W3C validator