Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthfrgra Structured version   Unicode version

Theorem 2pthfrgra 25737
 Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph is a 2-path (path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
2pthfrgra FriendGrph PathOn
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem 2pthfrgra
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthfrgrarn2 25736 . 2 FriendGrph
2 frisusgra 25718 . . . . . . . . . 10 FriendGrph USGrph
3 usgrav 25063 . . . . . . . . . 10 USGrph
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 FriendGrph
54ad2antrr 730 . . . . . . . 8 FriendGrph
65ad2antrr 730 . . . . . . 7 FriendGrph
7 simpr 462 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
87ad2antrr 730 . . . . . . . . 9 FriendGrph
9 simpr 462 . . . . . . . . 9 FriendGrph
10 eldifsn 4125 . . . . . . . . . . 11
11 simpl 458 . . . . . . . . . . 11
1210, 11sylbi 198 . . . . . . . . . 10
1312ad2antlr 731 . . . . . . . . 9 FriendGrph
148, 9, 133jca 1185 . . . . . . . 8 FriendGrph
1514adantr 466 . . . . . . 7 FriendGrph
16 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 necom 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1817biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15
2116, 19, 203jca 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
2221ex 435 . . . . . . . . . . . . 13
2322adantl 467 . . . . . . . . . . . 12
2423com12 32 . . . . . . . . . . 11
2524adantl 467 . . . . . . . . . 10
2610, 25sylbi 198 . . . . . . . . 9
2726ad2antlr 731 . . . . . . . 8 FriendGrph
2827imp 430 . . . . . . 7 FriendGrph
29 usgraf1o 25083 . . . . . . . . . 10 USGrph
30 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33 f1ocnvfv2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3431, 32, 33syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
36 f1ocnvfv2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3731, 35, 36syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3834, 37eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39 prcom 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039eqeq2i 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
41 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
42 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4341, 42preqr1 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4440, 43sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
45 nesym 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
46 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4745, 46sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4847adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4910, 48sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5049adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5150ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5244, 51syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5338, 52sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5430, 53syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 df-ne 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655biimpri 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5854, 57pm2.61i 167 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958, 34, 373jca 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
6059ex 435 . . . . . . . . . . . . 13
6160expcom 436 . . . . . . . . . . . 12
6261exp31 607 . . . . . . . . . . 11
6362com14 91 . . . . . . . . . 10
642, 29, 633syl 18 . . . . . . . . 9 FriendGrph
6564imp 430 . . . . . . . 8 FriendGrph
6665imp41 596 . . . . . . 7 FriendGrph
67 2pthon3v 25332 . . . . . . 7 PathOn
686, 15, 28, 66, 67syl31anc 1267 . . . . . 6 FriendGrph PathOn
6968ex 435 . . . . 5 FriendGrph PathOn
7069rexlimdva 2914 . . . 4 FriendGrph PathOn
7170ralimdva 2830 . . 3 FriendGrph PathOn
7271ralimdva 2830 . 2 FriendGrph PathOn
731, 72mpd 15 1 FriendGrph PathOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrex 2772  cvv 3080   cdif 3433  csn 3998  cpr 4000   class class class wbr 4423  ccnv 4852   cdm 4853   crn 4854  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305  c2 10666  chash 12521   USGrph cusg 25055   PathOn cpthon 25230   FriendGrph cfrgra 25714 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12522  df-word 12668  df-usgra 25058  df-wlk 25234  df-trail 25235  df-pth 25236  df-wlkon 25240  df-pthon 25242  df-frgra 25715 This theorem is referenced by:  frconngra  25747
 Copyright terms: Public domain W3C validator