MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2prm Structured version   Unicode version

Theorem 2prm 14628
Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
2prm  |-  2  e.  Prime

Proof of Theorem 2prm
StepHypRef Expression
1 2z 10970 . . 3  |-  2  e.  ZZ
2 1lt2 10777 . . 3  |-  1  <  2
3 eluz2b1 11231 . . 3  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  1  <  2 ) )
41, 2, 3mpbir2an 928 . 2  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
5 ral0 3902 . . 3  |-  A. z  e.  (/)  -.  z  ||  2
6 fzssuz 11840 . . . . . 6  |-  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  C_  ( ZZ>= `  2 )
7 df-ss 3450 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ... ( 2  -  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  2 )
)  =  ( 2 ... ( 2  -  1 ) ) )
86, 7mpbi 211 . . . . 5  |-  ( ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  2
) )  =  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )
9 uzdisj 11868 . . . . 5  |-  ( ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  2
) )  =  (/)
108, 9eqtr3i 2453 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  =  (/)
1110raleqi 3029 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  -.  z  ||  2  <->  A. z  e.  (/)  -.  z  ||  2 )
125, 11mpbir 212 . 2  |-  A. z  e.  ( 2 ... (
2  -  1 ) )  -.  z  ||  2
13 isprm3 14621 . 2  |-  ( 2  e.  Prime  <->  ( 2  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  -.  z  ||  2
) )
144, 12, 13mpbir2an 928 1  |-  2  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   1c1 9541    < clt 9676    - cmin 9861   2c2 10660   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   ...cfz 11785    || cdvds 14293   Primecprime 14610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-dvds 14294  df-prm 14611
This theorem is referenced by:  3lcm2e6  14669  pythagtriplem4  14757  pc2dvds  14816  prmo2  14986  prmgaplem3  15011  lt6abl  17517  ppi2  24084  cht2  24086  1sgm2ppw  24115  perfectlem1  24144  perfectlem2  24145  perfect  24146  bpos1  24198  lgs2  24228  lgsdir2  24243  lgseisenlem2  24265  lgsquad2lem1  24273  lgsquad2lem2  24274  lgsquad3  24276  m1lgs  24277  dchrisum0flb  24335  numclwwlk5lem  25825  isodd7  38507  perfectALTV  38557  7gbo  38585  sgoldbalt  38594  nnsum3primes4  38595  nnsum3primesle9  38601  proththd  38626  zlmodzxznm  39564
  Copyright terms: Public domain W3C validator