Theorem 2optocl 4062

Description: Implicit substitution of classes for ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
2optocl.1	|- R = (C X. D)
2optocl.2	|- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
2optocl.3	|- (<.z, w>. = B -> (ps <-> ch))
2optocl.4	|- (((x e. C /\ y e. D) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
2optocl	|- ((A e. R /\ B e. R) -> ch)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   z,B,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w   ps,x,y   ch,z,w   z,R,w

Proof of Theorem 2optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2optocl.1	. . 3 |- R = (C X. D)
2		2optocl.3	. . . 4 |- (<.z, w>. = B -> (ps <-> ch))
3	2	imbi2d 674	. . 3 |- (<.z, w>. = B -> ((A e. R -> ps) <-> (A e. R -> ch)))
4		2optocl.2	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
5	4	imbi2d 674	. . . . 5 |- (<.x, y>. = A -> (((z e. C /\ w e. D) -> ph) <-> ((z e. C /\ w e. D) -> ps)))
6		2optocl.4	. . . . . 6 |- (((x e. C /\ y e. D) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> ph)
7	6	ex 402	. . . . 5 |- ((x e. C /\ y e. D) -> ((z e. C /\ w e. D) -> ph))
8	1, 5, 7	optocl 4061	. . . 4 |- (A e. R -> ((z e. C /\ w e. D) -> ps))
9	8	com12 14	. . 3 |- ((z e. C /\ w e. D) -> (A e. R -> ps))
10	1, 3, 9	optocl 4061	. 2 |- (B e. R -> (A e. R -> ch))
11	10	impcom 378	1 |- ((A e. R /\ B e. R) -> ch)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  3optocl 4063  ecopoprsym 5369  th3qlem2 5374  axaddopr 6417  axmulopr 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain