MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2oppchomf Structured version   Unicode version

Theorem 2oppchomf 14997
Description: The double opposite category has the same morphisms as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 15010. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
2oppchomf  |-  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O )
)

Proof of Theorem 2oppchomf
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  C )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
31, 2homffn 14966 . . . 4  |-  ( Hom f  `  C )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )
4 fnrel 5685 . . . 4  |-  ( ( Hom f  `  C )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  ->  Rel  ( Hom f  `  C ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  Rel  ( Hom f  `  C )
6 relxp 5116 . . . 4  |-  Rel  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )
7 fndm 5686 . . . . . 6  |-  ( ( Hom f  `  C )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  ->  dom  ( Hom f  `  C )  =  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) )
83, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  ( Hom f  `  C )  =  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )
98releqi 5092 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  ( Hom f  `  C )  <->  Rel  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) )
106, 9mpbir 209 . . 3  |-  Rel  dom  ( Hom f  `  C )
11 tpostpos2 6988 . . 3  |-  ( ( Rel  ( Hom f  `  C )  /\  Rel  dom  ( Hom f  `  C ) )  -> tpos tpos  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  C ) )
125, 10, 11mp2an 672 . 2  |- tpos tpos  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  C )
13 eqid 2467 . . 3  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
14 oppcbas.1 . . . 4  |-  O  =  (oppCat `  C )
1514, 1oppchomf 14993 . . 3  |- tpos  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  O )
1613, 15oppchomf 14993 . 2  |- tpos tpos  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O )
)
1712, 16eqtr3i 2498 1  |-  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    X. cxp 5003   dom cdm 5005   Rel wrel 5010    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  tpos ctpos 6966   Basecbs 14507   Hom f chomf 14938  oppCatcoppc 14984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-hom 14596  df-cco 14597  df-homf 14942  df-oppc 14985
This theorem is referenced by:  2oppccomf  14998  oppcepi  15012  oppchofcl  15404  oppcyon  15413  oyoncl  15414
  Copyright terms: Public domain W3C validator