MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2oppchomf Structured version   Unicode version

Theorem 2oppchomf 14785
Description: The double opposite category has the same morphisms as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 14798. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
2oppchomf  |-  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O )
)

Proof of Theorem 2oppchomf
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  C )
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
31, 2homffn 14754 . . . 4  |-  ( Hom f  `  C )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )
4 fnrel 5620 . . . 4  |-  ( ( Hom f  `  C )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  ->  Rel  ( Hom f  `  C ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  Rel  ( Hom f  `  C )
6 relxp 5058 . . . 4  |-  Rel  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )
7 fndm 5621 . . . . . 6  |-  ( ( Hom f  `  C )  Fn  (
( Base `  C )  X.  ( Base `  C
) )  ->  dom  ( Hom f  `  C )  =  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) )
83, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  ( Hom f  `  C )  =  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) )
98releqi 5034 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  ( Hom f  `  C )  <->  Rel  ( ( Base `  C
)  X.  ( Base `  C ) ) )
106, 9mpbir 209 . . 3  |-  Rel  dom  ( Hom f  `  C )
11 tpostpos2 6879 . . 3  |-  ( ( Rel  ( Hom f  `  C )  /\  Rel  dom  ( Hom f  `  C ) )  -> tpos tpos  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  C ) )
125, 10, 11mp2an 672 . 2  |- tpos tpos  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  C )
13 eqid 2454 . . 3  |-  (oppCat `  O )  =  (oppCat `  O )
14 oppcbas.1 . . . 4  |-  O  =  (oppCat `  C )
1514, 1oppchomf 14781 . . 3  |- tpos  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  O )
1613, 15oppchomf 14781 . 2  |- tpos tpos  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O )
)
1712, 16eqtr3i 2485 1  |-  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  (oppCat `  O )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    X. cxp 4949   dom cdm 4951   Rel wrel 4956    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  tpos ctpos 6857   Basecbs 14295   Hom f chomf 14726  oppCatcoppc 14772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-hom 14384  df-cco 14385  df-homf 14730  df-oppc 14773
This theorem is referenced by:  2oppccomf  14786  oppcepi  14800  oppchofcl  15192  oppcyon  15201  oyoncl  15202
  Copyright terms: Public domain W3C validator