Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2oppccomf Structured version   Unicode version

Theorem 2oppccomf 15102
 Description: The double opposite category has the same composition as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 15114. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1 oppCat
Assertion
Ref Expression
2oppccomf compf compfoppCat

Proof of Theorem 2oppccomf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.1 . . . . . . . . 9 oppCat
2 eqid 2443 . . . . . . . . 9
31, 2oppcbas 15095 . . . . . . . 8
4 eqid 2443 . . . . . . . 8 comp comp
5 eqid 2443 . . . . . . . 8 oppCat oppCat
6 simpr1 1003 . . . . . . . 8
7 simpr2 1004 . . . . . . . 8
8 simpr3 1005 . . . . . . . 8
93, 4, 5, 6, 7, 8oppcco 15094 . . . . . . 7 compoppCat comp
10 eqid 2443 . . . . . . . 8 comp comp
112, 10, 1, 8, 7, 6oppcco 15094 . . . . . . 7 comp comp
129, 11eqtr2d 2485 . . . . . 6 comp compoppCat
1312ralrimivw 2858 . . . . 5 comp compoppCat
1413ralrimivw 2858 . . . 4 comp compoppCat
1514ralrimivvva 2865 . . 3 comp compoppCat
16 eqid 2443 . . . 4 compoppCat compoppCat
17 eqid 2443 . . . 4
18 eqidd 2444 . . . 4
191, 22oppcbas 15100 . . . . 5 oppCat
2019a1i 11 . . . 4 oppCat
2112oppchomf 15101 . . . . 5 f f oppCat
2221a1i 11 . . . 4 f f oppCat
2310, 16, 17, 18, 20, 22comfeq 15083 . . 3 compf compfoppCat comp compoppCat
2415, 23mpbird 232 . 2 compf compfoppCat
2524trud 1392 1 compf compfoppCat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wtru 1384   wcel 1804  wral 2793  cop 4020  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14614   chom 14690  compcco 14691   f chomf 15045  compfccomf 15046  oppCatcoppc 15088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-hom 14703  df-cco 14704  df-homf 15049  df-comf 15050  df-oppc 15089 This theorem is referenced by:  oppcepi  15116  oppchofcl  15508  oppcyon  15517  oyoncl  15518
 Copyright terms: Public domain W3C validator