Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2nn0ind Structured version   Unicode version

Theorem 2nn0ind 29426
 Description: Induction on nonnegative integers with two base cases, for use with Lucas-type sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2nn0ind.1
2nn0ind.2
2nn0ind.3
2nn0ind.4
2nn0ind.5
2nn0ind.6
2nn0ind.7
2nn0ind.8
2nn0ind.9
Assertion
Ref Expression
2nn0ind
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem 2nn0ind
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0p1nn 10722 . . . 4
2 oveq1 6199 . . . . . . 7
3 dfsbcq 3288 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 dfsbcq 3288 . . . . . 6
64, 5anbi12d 710 . . . . 5
7 oveq1 6199 . . . . . . 7
8 dfsbcq 3288 . . . . . . 7
97, 8syl 16 . . . . . 6
10 dfsbcq 3288 . . . . . 6
119, 10anbi12d 710 . . . . 5
12 oveq1 6199 . . . . . . 7
13 dfsbcq 3288 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 dfsbcq 3288 . . . . . 6
1614, 15anbi12d 710 . . . . 5
17 oveq1 6199 . . . . . . 7
18 dfsbcq 3288 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
20 dfsbcq 3288 . . . . . 6
2119, 20anbi12d 710 . . . . 5
22 2nn0ind.1 . . . . . . 7
23 ovex 6217 . . . . . . . 8
24 1m1e0 10493 . . . . . . . . . 10
2524eqeq2i 2469 . . . . . . . . 9
26 2nn0ind.4 . . . . . . . . 9
2725, 26sylbi 195 . . . . . . . 8
2823, 27sbcie 3321 . . . . . . 7
2922, 28mpbir 209 . . . . . 6
30 2nn0ind.2 . . . . . . 7
31 1ex 9484 . . . . . . . 8
32 2nn0ind.5 . . . . . . . 8
3331, 32sbcie 3321 . . . . . . 7
3430, 33mpbir 209 . . . . . 6
3529, 34pm3.2i 455 . . . . 5
36 simprr 756 . . . . . . . 8
37 nncn 10433 . . . . . . . . . . 11
38 ax-1cn 9443 . . . . . . . . . . 11
39 pncan 9719 . . . . . . . . . . 11
4037, 38, 39sylancl 662 . . . . . . . . . 10
4140adantr 465 . . . . . . . . 9
42 dfsbcq 3288 . . . . . . . . 9
4341, 42syl 16 . . . . . . . 8
4436, 43mpbird 232 . . . . . . 7
45 2nn0ind.3 . . . . . . . . 9
46 ovex 6217 . . . . . . . . . . 11
47 2nn0ind.6 . . . . . . . . . . 11
4846, 47sbcie 3321 . . . . . . . . . 10
49 vex 3073 . . . . . . . . . . 11
50 2nn0ind.7 . . . . . . . . . . 11
5149, 50sbcie 3321 . . . . . . . . . 10
5248, 51anbi12i 697 . . . . . . . . 9
53 ovex 6217 . . . . . . . . . 10
54 2nn0ind.8 . . . . . . . . . 10
5553, 54sbcie 3321 . . . . . . . . 9
5645, 52, 553imtr4g 270 . . . . . . . 8
5756imp 429 . . . . . . 7
5844, 57jca 532 . . . . . 6
5958ex 434 . . . . 5
606, 11, 16, 21, 35, 59nnind 10443 . . . 4
611, 60syl 16 . . 3
62 nn0cn 10692 . . . . . . 7
63 pncan 9719 . . . . . . 7
6462, 38, 63sylancl 662 . . . . . 6
65 dfsbcq 3288 . . . . . 6
6664, 65syl 16 . . . . 5
6766biimpa 484 . . . 4
6867adantrr 716 . . 3
6961, 68mpdan 668 . 2
70 2nn0ind.9 . . 3
7170sbcieg 3319 . 2
7269, 71mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wsbc 3286  (class class class)co 6192  cc 9383  cc0 9385  c1 9386   caddc 9388   cmin 9698  cn 10425  cn0 10682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-ltxr 9526  df-sub 9700  df-nn 10426  df-n0 10683 This theorem is referenced by:  jm2.18  29477  jm2.15nn0  29492  jm2.16nn0  29493
 Copyright terms: Public domain W3C validator