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Theorem 2ndmbfm 26676
Description: The second projection map is measurable with regard to the product sigma algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
2ndmbfm  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM T ) )

Proof of Theorem 2ndmbfm
Dummy variables  z 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f2ndres 6599 . . . 4  |-  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T
2 1stmbfm.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 1stmbfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4 sxuni 26607 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
65feq2d 5547 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
) )
71, 6mpbii 211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
)
8 unielsiga 26571 . . . . 5  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
93, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
10 sxsiga 26605 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
112, 3, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 unielsiga 26571 . . . . 5  |-  ( ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra 
->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
14 elmapg 7227 . . . 4  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
) )
159, 13, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T ) )
167, 15mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) ) )
17 sgon 26567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
18 sigasspw 26559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  ->  T  C_  ~P U. T )
19 pwssb 4257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T 
C_  ~P U. T  <->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T 
C_  ~P U. T  ->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
213, 17, 18, 204syl 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2221r19.21bi 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  a  C_ 
U. T )
23 xpss2 4949 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  U. T  ->  ( U. S  X.  a
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( U. S  X.  a
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2524sseld 3355 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  -> 
z  e.  ( U. S  X.  U. T ) ) )
2625pm4.71rd 635 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) ) )
27 ffn 5559 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T ) )
28 elpreima 5823 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T )  ->  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) "
a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) ) )
291, 27, 28mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) )
30 fvres 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) `  z
)  =  ( 2nd `  z ) )
3130eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
( 2nd `  z
)  e.  a ) )
32 1st2nd2 6613 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
33 xp1st 6606 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( 1st `  z
)  e.  U. S
)
34 elxp6 6608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  z
)  e.  a ) ) )
35 anass 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  /\  ( 2nd `  z )  e.  a )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  z
)  e.  a ) ) )
3634, 35bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  /\  ( 2nd `  z )  e.  a ) )
3736baib 896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( 2nd `  z )  e.  a ) )
3832, 33, 37syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( z  e.  ( U. S  X.  a
)  <->  ( 2nd `  z
)  e.  a ) )
3931, 38bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4039pm5.32i 637 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4129, 40bitri 249 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4226, 41syl6rbbr 264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  <->  z  e.  ( U. S  X.  a
) ) )
4342eqrdv 2441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  =  ( U. S  X.  a ) )
442adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
453adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
46 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
47 issgon 26566 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  <-> 
( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  =  U. S ) )
4847biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  =  U. S
)  ->  S  e.  (sigAlgebra `
 U. S ) )
492, 46, 48sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
50 baselsiga 26558 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  ->  U. S  e.  S
)
5149, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
5251adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  U. S  e.  S )
53 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  a  e.  T )
54 elsx 26608 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  /\  ( U. S  e.  S  /\  a  e.  T ) )  -> 
( U. S  X.  a )  e.  ( S ×s  T ) )
5544, 45, 52, 53, 54syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( U. S  X.  a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5643, 55eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5756ralrimiva 2799 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  T  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5811, 3ismbfm 26667 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM T )  <-> 
( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  T  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) ) )
5916, 57, 58mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   <.cop 3883   U.cuni 4091    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   ran crn 4841    |` cres 4842   "cima 4843    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1stc1st 6575   2ndc2nd 6576    ^m cmap 7214  sigAlgebracsiga 26550   ×s csx 26602  MblFnMcmbfm 26665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-map 7216  df-siga 26551  df-sigagen 26582  df-sx 26603  df-mbfm 26666
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