Theorem 2ndmbfm 27983

Description: The second projection map is measurable with regard to the product sigma algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stmbfm.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )

Assertion

Ref	Expression
2ndmbfm	|- ( ph -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM T ) )

Proof of Theorem 2ndmbfm

Dummy variables z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f2ndres 6808	. . . 4 |- ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. T
2		1stmbfm.1	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		1stmbfm.2	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
4		sxuni 27915	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
6	5	feq2d 5718	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. T <-> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. T ) )
7	1, 6	mpbii 211	. . 3 |- ( ph -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. T )
8		unielsiga 27879	. . . . 5 |- ( T e. U. ran sigAlgebra -> U. T e. T )
9	3, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. T e. T )
10		sxsiga 27913	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
11	2, 3, 10	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
12		unielsiga 27879	. . . . 5 |- ( ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
14		elmapg 7434	. . . 4 |- ( ( U. T e. T /\ U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. T ^m U. ( S ×s T ) ) <-> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. T ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. T ^m U. ( S ×s T ) ) <-> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. T ) )
16	7, 15	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. T ^m U. ( S ×s T ) ) )
17		sgon 27875	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. U. ran sigAlgebra -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
18		sigasspw 27867	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) -> T C_ ~P U. T )
19		pwssb 4412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T C_ ~P U. T <-> A. a e. T a C_ U. T )
20	19	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( T C_ ~P U. T -> A. a e. T a C_ U. T )
21	3, 17, 18, 20	4syl 21	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. T a C_ U. T )
22	21	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> a C_ U. T )
23		xpss2 5112	. . . . . . . . 9 |- ( a C_ U. T -> ( U. S X. a ) C_ ( U. S X. U. T ) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( U. S X. a ) C_ ( U. S X. U. T ) )
25	24	sseld 3503	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( z e. ( U. S X. a ) -> z e. ( U. S X. U. T ) ) )
26	25	pm4.71rd 635	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( U. S X. a ) ) ) )
27		ffn 5731	. . . . . . . 8 |- ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. T -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) )
28		elpreima 6002	. . . . . . . 8 |- ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) ) )
29	1, 27, 28	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( z e. ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) )
30		fvres 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
31	30	eleq1d 2536	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> ( 2nd ` z ) e. a ) )
32		1st2nd2 6822	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
33		xp1st 6815	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( 1st ` z ) e. U. S )
34		elxp6 6817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. U. S /\ ( 2nd ` z ) e. a ) ) )
35		anass 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. U. S ) /\ ( 2nd ` z ) e. a ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. U. S /\ ( 2nd ` z ) e. a ) ) )
36	34, 35	bitr4i 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. U. S ) /\ ( 2nd ` z ) e. a ) )
37	36	baib 901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. U. S ) -> ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( 2nd ` z ) e. a ) )
38	32, 33, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( 2nd ` z ) e. a ) )
39	31, 38	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> z e. ( U. S X. a ) ) )
40	39	pm5.32i 637	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( U. S X. a ) ) )
41	29, 40	bitri 249	. . . . . 6 |- ( z e. ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( U. S X. a ) ) )
42	26, 41	syl6rbbr 264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( z e. ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> z e. ( U. S X. a ) ) )
43	42	eqrdv 2464	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) = ( U. S X. a ) )
44	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
45	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
46		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- U. S = U. S
47		issgon 27874	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. S ) <-> ( S e. U. ran sigAlgebra /\ U. S = U. S ) )
48	47	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ U. S = U. S ) -> S e. (sigAlgebra ` U. S ) )
49	2, 46, 48	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. (sigAlgebra ` U. S ) )
50		baselsiga 27866	. . . . . . 7 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. S ) -> U. S e. S )
51	49, 50	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> U. S e. S )
52	51	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> U. S e. S )
53		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> a e. T )
54		elsx 27916	. . . . 5 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) /\ ( U. S e. S /\ a e. T ) ) -> ( U. S X. a ) e. ( S ×s T ) )
55	44, 45, 52, 53, 54	syl22anc 1229	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( U. S X. a ) e. ( S ×s T ) )
56	43, 55	eqeltrd 2555	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
57	56	ralrimiva 2878	. 2 |- ( ph -> A. a e. T ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
58	11, 3	ismbfm 27974	. 2 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM T ) <-> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. T ^m U. ( S ×s T ) ) /\ A. a e. T ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) ) ) )
59	16, 57, 58	mpbir2and 920	1 |- ( ph -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   U.cuni 4245   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000   |` cres 5001   "cima 5002   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   ^m cmap 7421  sigAlgebracsiga 27858   ×_s csx 27910  MblFnMcmbfm 27972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-map 7423  df-siga 27859  df-sigagen 27890  df-sx 27911  df-mbfm 27973

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