Theorem 2ndmbfm 28922

Description: The second projection map is measurable with regard to the product sigma algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stmbfm.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )

Assertion

Ref	Expression
2ndmbfm	|- ( ph -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM T ) )

Proof of Theorem 2ndmbfm

Dummy variables z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f2ndres 6830	. . . 4 |- ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. T
2		1stmbfm.1	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		1stmbfm.2	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
4		sxuni 28854	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
6	5	feq2d 5733	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. T <-> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. T ) )
7	1, 6	mpbii 214	. . 3 |- ( ph -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. T )
8		unielsiga 28789	. . . . 5 |- ( T e. U. ran sigAlgebra -> U. T e. T )
9	3, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. T e. T )
10		sxsiga 28852	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
11	2, 3, 10	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
12		unielsiga 28789	. . . . 5 |- ( ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
14	9, 13	elmapd 7494	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. T ^m U. ( S ×s T ) ) <-> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. T ) )
15	7, 14	mpbird 235	. 2 |- ( ph -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. T ^m U. ( S ×s T ) ) )
16		sgon 28785	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. U. ran sigAlgebra -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
17		sigasspw 28777	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) -> T C_ ~P U. T )
18		pwssb 4392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T C_ ~P U. T <-> A. a e. T a C_ U. T )
19	18	biimpi 197	. . . . . . . . . . 11 |- ( T C_ ~P U. T -> A. a e. T a C_ U. T )
20	3, 16, 17, 19	4syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. T a C_ U. T )
21	20	r19.21bi 2801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> a C_ U. T )
22		xpss2 4964	. . . . . . . . 9 |- ( a C_ U. T -> ( U. S X. a ) C_ ( U. S X. U. T ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( U. S X. a ) C_ ( U. S X. U. T ) )
24	23	sseld 3469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( z e. ( U. S X. a ) -> z e. ( U. S X. U. T ) ) )
25	24	pm4.71rd 639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( U. S X. a ) ) ) )
26		ffn 5746	. . . . . . . 8 |- ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. T -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) )
27		elpreima 6017	. . . . . . . 8 |- ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) ) )
28	1, 26, 27	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( z e. ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) )
29		fvres 5895	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
30	29	eleq1d 2498	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> ( 2nd ` z ) e. a ) )
31		1st2nd2 6844	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
32		xp1st 6837	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( 1st ` z ) e. U. S )
33		elxp6 6839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. U. S /\ ( 2nd ` z ) e. a ) ) )
34		anass 653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. U. S ) /\ ( 2nd ` z ) e. a ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. U. S /\ ( 2nd ` z ) e. a ) ) )
35	33, 34	bitr4i 255	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. U. S ) /\ ( 2nd ` z ) e. a ) )
36	35	baib 911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. U. S ) -> ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( 2nd ` z ) e. a ) )
37	31, 32, 36	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( U. S X. a ) <-> ( 2nd ` z ) e. a ) )
38	30, 37	bitr4d 259	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> z e. ( U. S X. a ) ) )
39	38	pm5.32i 641	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( U. S X. a ) ) )
40	28, 39	bitri 252	. . . . . 6 |- ( z e. ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( U. S X. a ) ) )
41	25, 40	syl6rbbr 267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( z e. ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> z e. ( U. S X. a ) ) )
42	41	eqrdv 2426	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) = ( U. S X. a ) )
43	2	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
44	3	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
45		eqid 2429	. . . . . . . 8 |- U. S = U. S
46		issgon 28784	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. S ) <-> ( S e. U. ran sigAlgebra /\ U. S = U. S ) )
47	46	biimpri 209	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ U. S = U. S ) -> S e. (sigAlgebra ` U. S ) )
48	2, 45, 47	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. (sigAlgebra ` U. S ) )
49		baselsiga 28776	. . . . . . 7 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. S ) -> U. S e. S )
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U. S e. S )
51	50	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> U. S e. S )
52		simpr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> a e. T )
53		elsx 28855	. . . . 5 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) /\ ( U. S e. S /\ a e. T ) ) -> ( U. S X. a ) e. ( S ×s T ) )
54	43, 44, 51, 52, 53	syl22anc 1265	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( U. S X. a ) e. ( S ×s T ) )
55	42, 54	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. T ) -> ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
56	55	ralrimiva 2846	. 2 |- ( ph -> A. a e. T ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
57	11, 3	ismbfm 28913	. 2 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM T ) <-> ( ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. T ^m U. ( S ×s T ) ) /\ A. a e. T ( `' ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) ) ) )
58	15, 56, 57	mpbir2and 930	1 |- ( ph -> ( 2nd |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   <.cop 4008   U.cuni 4222   X. cxp 4852   `'ccnv 4853   ran crn 4855   |` cres 4856   "cima 4857   Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   ^m cmap 7480  sigAlgebracsiga 28768   ×_s csx 28849  MblFnMcmbfm 28911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-map 7482  df-siga 28769  df-sigagen 28800  df-sx 28850  df-mbfm 28912

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