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Theorem 2ndcsep 20045
Description: A second-countable topology is separable, which is to say it contains a countable dense subset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2ndcsep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
2ndcsep  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, X

Proof of Theorem 2ndcsep
Dummy variables  f 
b  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 20032 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
2 vex 3037 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
3 difss 3545 . . . . . . . . 9  |-  ( b 
\  { (/) } ) 
C_  b
4 ssdomg 7480 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  _V  ->  (
( b  \  { (/)
} )  C_  b  ->  ( b  \  { (/)
} )  ~<_  b ) )
52, 3, 4mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ( b 
\  { (/) } )  ~<_  b
6 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  b  ~<_  om )
7 domtr 7487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  \  { (/)
} )  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  (
b  \  { (/) } )  ~<_  om )
85, 6, 7sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( b 
\  { (/) } )  ~<_  om )
9 eldifsn 4069 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( b  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) ) )
10 n0 3721 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  y )
11 elunii 4168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  z  e.  U. b
)
12 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  z  e.  y )
1311, 12jca 530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  ( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
1413expcom 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  b  ->  (
z  e.  y  -> 
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) ) )
1514eximdv 1718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  b  ->  ( E. z  z  e.  y  ->  E. z ( z  e.  U. b  /\  z  e.  y )
) )
1615imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  b  /\  E. z  z  e.  y )  ->  E. z
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
17 df-rex 2738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  U. b
z  e.  y  <->  E. z
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
1816, 17sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  b  /\  E. z  z  e.  y )  ->  E. z  e.  U. b z  e.  y )
1910, 18sylan2b 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  U. b z  e.  y )
209, 19sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( b  \  { (/) } )  ->  E. z  e.  U. b
z  e.  y )
2120rgen 2742 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ( b  \  { (/)
} ) E. z  e.  U. b z  e.  y
222uniex 6495 . . . . . . . 8  |-  U. b  e.  _V
23 eleq1 2454 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z  e.  y  <->  ( f `  y )  e.  y ) )
2422, 23axcc4dom 8734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  \  { (/)
} )  ~<_  om  /\  A. y  e.  ( b 
\  { (/) } ) E. z  e.  U. b z  e.  y )  ->  E. f
( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )
258, 21, 24sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  E. f
( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )
26 frn 5645 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ran  f  C_  U. b )
2726ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  C_  U. b )
28 vex 3037 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
2928rnex 6633 . . . . . . . . 9  |-  ran  f  e.  _V
3029elpw 3933 . . . . . . . 8  |-  ( ran  f  e.  ~P U. b 
<->  ran  f  C_  U. b
)
3127, 30sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  e.  ~P U. b )
32 omelon 7977 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
336adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  b  ~<_  om )
34 ondomen 8331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  b  ~<_  om )  ->  b  e.  dom  card )
3532, 33, 34sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  b  e.  dom  card )
36 ssnum 8333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  dom  card  /\  ( b  \  { (/)
} )  C_  b
)  ->  ( b  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
3735, 3, 36sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( b  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
38 ffn 5639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  f  Fn  ( b  \  { (/)
} ) )
3938ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  f  Fn  (
b  \  { (/) } ) )
40 dffn4 5709 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  ( b  \  { (/) } )  <->  f :
( b  \  { (/)
} ) -onto-> ran  f
)
4139, 40sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  f : ( b  \  { (/) } ) -onto-> ran  f )
42 fodomnum 8351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  \  { (/) } )  e.  dom  card  -> 
( f : ( b  \  { (/) } ) -onto-> ran  f  ->  ran  f  ~<_  ( b  \  { (/) } ) ) )
4337, 41, 42sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  ~<_  ( b 
\  { (/) } ) )
448adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( b  \  { (/) } )  ~<_  om )
45 domtr 7487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  ~<_  ( b 
\  { (/) } )  /\  ( b  \  { (/) } )  ~<_  om )  ->  ran  f  ~<_  om )
4643, 44, 45syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  ~<_  om )
47 tgcl 19556 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( topGen `  b
)  e.  Top )
4847ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( topGen `  b
)  e.  Top )
49 unitg 19553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  _V  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. b )
502, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( topGen `
 b )  = 
U. b
5150eqcomi 2395 . . . . . . . . . 10  |-  U. b  =  U. ( topGen `  b
)
5251clsss3 19645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  b )  e.  Top  /\  ran  f  C_ 
U. b )  -> 
( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  C_ 
U. b )
5348, 27, 52syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  ran  f ) 
C_  U. b )
54 ne0i 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
5554anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) ) )
5655, 9sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  ( b 
\  { (/) } ) )
57 fnfvelrn 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  Fn  ( b 
\  { (/) } )  /\  y  e.  ( b  \  { (/) } ) )  ->  (
f `  y )  e.  ran  f )
5838, 57sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  y  e.  ( b  \  { (/)
} ) )  -> 
( f `  y
)  e.  ran  f
)
59 inelcm 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  y  /\  ( f `  y
)  e.  ran  f
)  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) )
6059expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  y )  e.  ran  f  -> 
( ( f `  y )  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6158, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  y  e.  ( b  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( f `  y )  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6261ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( y  e.  ( b  \  { (/)
} )  ->  (
( f `  y
)  e.  y  -> 
( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6362a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( y  e.  ( b  \  { (/)
} )  ->  (
y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6456, 63syl7 68 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( (
y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6564exp4a 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( y  e.  b  ->  ( x  e.  y  ->  (
y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) ) )
6665ralimdv2 2789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y  ->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6766imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y )  ->  A. y  e.  b 
( x  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6867ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) )
69 eqidd 2383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  ( topGen `
 b )  =  ( topGen `  b )
)
7051a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  U. b  =  U. ( topGen `  b
) )
71 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  b  e. 
TopBases )
7227adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  ran  f  C_  U. b )
73 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  x  e.  U. b )
7469, 70, 71, 72, 73elcls3 19670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen `  b ) ) `  ran  f )  <->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
7568, 74mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
7675ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( x  e. 
U. b  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
) )
7776ssrdv 3423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  U. b  C_  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
7853, 77eqssd 3434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  ran  f )  =  U. b )
79 breq1 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( x  ~<_  om  <->  ran  f  ~<_  om ) )
80 fveq2 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  =  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
8180eqeq1d 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b  <->  ( ( cls `  ( topGen `  b
) ) `  ran  f )  =  U. b ) )
8279, 81anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b )  <->  ( ran  f  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  =  U. b ) ) )
8382rspcev 3135 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  f  e.  ~P U. b  /\  ( ran  f  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  =  U. b ) )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b ) )
8431, 46, 78, 83syl12anc 1224 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b ) )
8525, 84exlimddv 1734 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b ) )
86 unieq 4171 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. J )
87 2ndcsep.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
8886, 51, 873eqtr4g 2448 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. b  =  X )
8988pweqd 3932 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ~P U. b  =  ~P X )
90 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( cls `  ( topGen `  b )
)  =  ( cls `  J ) )
9190fveq1d 5776 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b
) ) `  x
)  =  ( ( cls `  J ) `
 x ) )
9291, 88eqeq12d 2404 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b  <->  ( ( cls `  J ) `  x )  =  X ) )
9392anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
x  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b )  <->  ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X ) ) )
9489, 93rexeqbidv 2994 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( E. x  e.  ~P  U. b
( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b )  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
9585, 94syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
9695impr 617 . . 3  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X ) )
9796rexlimiva 2870 . 2  |-  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
981, 97sylbi 195 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   {csn 3944   U.cuni 4163   class class class wbr 4367   Oncon0 4792   dom cdm 4913   ran crn 4914    Fn wfn 5491   -->wf 5492   -onto->wfo 5494   ` cfv 5496   omcom 6599    ~<_ cdom 7433   cardccrd 8229   topGenctg 14845   Topctop 19479   TopBasesctb 19483   clsccl 19604   2ndcc2ndc 20024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-acn 8236  df-topgen 14851  df-top 19484  df-bases 19486  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-2ndc 20026
This theorem is referenced by:  met2ndc  21111
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