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Theorem 2ndcsep 20551
Description: A second-countable topology is separable, which is to say it contains a countable dense subset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2ndcsep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
2ndcsep  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, X

Proof of Theorem 2ndcsep
Dummy variables  f 
b  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 20538 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
2 vex 3034 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
3 difss 3549 . . . . . . . . 9  |-  ( b 
\  { (/) } ) 
C_  b
4 ssdomg 7633 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  _V  ->  (
( b  \  { (/)
} )  C_  b  ->  ( b  \  { (/)
} )  ~<_  b ) )
52, 3, 4mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ( b 
\  { (/) } )  ~<_  b
6 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  b  ~<_  om )
7 domtr 7640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  \  { (/)
} )  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  (
b  \  { (/) } )  ~<_  om )
85, 6, 7sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( b 
\  { (/) } )  ~<_  om )
9 eldifsn 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( b  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) ) )
10 n0 3732 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  y )
11 elunii 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  z  e.  U. b
)
12 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  z  e.  y )
1311, 12jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  ( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
1413expcom 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  b  ->  (
z  e.  y  -> 
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) ) )
1514eximdv 1772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  b  ->  ( E. z  z  e.  y  ->  E. z ( z  e.  U. b  /\  z  e.  y )
) )
1615imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  b  /\  E. z  z  e.  y )  ->  E. z
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
17 df-rex 2762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  U. b
z  e.  y  <->  E. z
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
1816, 17sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  b  /\  E. z  z  e.  y )  ->  E. z  e.  U. b z  e.  y )
1910, 18sylan2b 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  U. b z  e.  y )
209, 19sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( b  \  { (/) } )  ->  E. z  e.  U. b
z  e.  y )
2120rgen 2766 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ( b  \  { (/)
} ) E. z  e.  U. b z  e.  y
222uniex 6606 . . . . . . . 8  |-  U. b  e.  _V
23 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z  e.  y  <->  ( f `  y )  e.  y ) )
2422, 23axcc4dom 8889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  \  { (/)
} )  ~<_  om  /\  A. y  e.  ( b 
\  { (/) } ) E. z  e.  U. b z  e.  y )  ->  E. f
( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )
258, 21, 24sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  E. f
( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )
26 frn 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ran  f  C_  U. b )
2726ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  C_  U. b )
28 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
2928rnex 6746 . . . . . . . . 9  |-  ran  f  e.  _V
3029elpw 3948 . . . . . . . 8  |-  ( ran  f  e.  ~P U. b 
<->  ran  f  C_  U. b
)
3127, 30sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  e.  ~P U. b )
32 omelon 8169 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
336adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  b  ~<_  om )
34 ondomen 8486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  b  ~<_  om )  ->  b  e.  dom  card )
3532, 33, 34sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  b  e.  dom  card )
36 ssnum 8488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  dom  card  /\  ( b  \  { (/)
} )  C_  b
)  ->  ( b  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
3735, 3, 36sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( b  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
38 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  f  Fn  ( b  \  { (/)
} ) )
3938ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  f  Fn  (
b  \  { (/) } ) )
40 dffn4 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  ( b  \  { (/) } )  <->  f :
( b  \  { (/)
} ) -onto-> ran  f
)
4139, 40sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  f : ( b  \  { (/) } ) -onto-> ran  f )
42 fodomnum 8506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  \  { (/) } )  e.  dom  card  -> 
( f : ( b  \  { (/) } ) -onto-> ran  f  ->  ran  f  ~<_  ( b  \  { (/) } ) ) )
4337, 41, 42sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  ~<_  ( b 
\  { (/) } ) )
448adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( b  \  { (/) } )  ~<_  om )
45 domtr 7640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  ~<_  ( b 
\  { (/) } )  /\  ( b  \  { (/) } )  ~<_  om )  ->  ran  f  ~<_  om )
4643, 44, 45syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  ~<_  om )
47 tgcl 20062 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( topGen `  b
)  e.  Top )
4847ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( topGen `  b
)  e.  Top )
49 unitg 20059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  _V  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. b )
502, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( topGen `
 b )  = 
U. b
5150eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  U. b  =  U. ( topGen `  b
)
5251clsss3 20151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  b )  e.  Top  /\  ran  f  C_ 
U. b )  -> 
( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  C_ 
U. b )
5348, 27, 52syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  ran  f ) 
C_  U. b )
54 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
5554anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) ) )
5655, 9sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  ( b 
\  { (/) } ) )
57 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  Fn  ( b 
\  { (/) } )  /\  y  e.  ( b  \  { (/) } ) )  ->  (
f `  y )  e.  ran  f )
5838, 57sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  y  e.  ( b  \  { (/)
} ) )  -> 
( f `  y
)  e.  ran  f
)
59 inelcm 3823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  y  /\  ( f `  y
)  e.  ran  f
)  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) )
6059expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  y )  e.  ran  f  -> 
( ( f `  y )  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  y  e.  ( b  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( f `  y )  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6261ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( y  e.  ( b  \  { (/)
} )  ->  (
( f `  y
)  e.  y  -> 
( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6362a2d 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( y  e.  ( b  \  { (/)
} )  ->  (
y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6456, 63syl7 69 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( (
y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6564exp4a 617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( y  e.  b  ->  ( x  e.  y  ->  (
y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) ) )
6665ralimdv2 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y  ->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6766imp 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y )  ->  A. y  e.  b 
( x  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6867ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) )
69 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  ( topGen `
 b )  =  ( topGen `  b )
)
7051a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  U. b  =  U. ( topGen `  b
) )
71 simplll 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  b  e. 
TopBases )
7227adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  ran  f  C_  U. b )
73 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  x  e.  U. b )
7469, 70, 71, 72, 73elcls3 20176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen `  b ) ) `  ran  f )  <->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
7568, 74mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
7675ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( x  e. 
U. b  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
) )
7776ssrdv 3424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  U. b  C_  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
7853, 77eqssd 3435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  ran  f )  =  U. b )
79 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( x  ~<_  om  <->  ran  f  ~<_  om ) )
80 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  =  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
8180eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b  <->  ( ( cls `  ( topGen `  b
) ) `  ran  f )  =  U. b ) )
8279, 81anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b )  <->  ( ran  f  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  =  U. b ) ) )
8382rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  f  e.  ~P U. b  /\  ( ran  f  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  =  U. b ) )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b ) )
8431, 46, 78, 83syl12anc 1290 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b ) )
8525, 84exlimddv 1789 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b ) )
86 unieq 4198 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. J )
87 2ndcsep.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
8886, 51, 873eqtr4g 2530 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. b  =  X )
8988pweqd 3947 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ~P U. b  =  ~P X )
90 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( cls `  ( topGen `  b )
)  =  ( cls `  J ) )
9190fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b
) ) `  x
)  =  ( ( cls `  J ) `
 x ) )
9291, 88eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b  <->  ( ( cls `  J ) `  x )  =  X ) )
9392anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
x  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b )  <->  ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X ) ) )
9489, 93rexeqbidv 2988 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( E. x  e.  ~P  U. b
( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b )  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
9585, 94syl5ibcom 228 . . . 4  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
9695impr 631 . . 3  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X ) )
9796rexlimiva 2868 . 2  |-  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
981, 97sylbi 200 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   Oncon0 5430    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   cardccrd 8387   topGenctg 15414   Topctop 19994   TopBasesctb 19997   clsccl 20110   2ndcc2ndc 20530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-acn 8394  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-2ndc 20532
This theorem is referenced by:  met2ndc  21616
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