Theorem 2ndcsb 15476

Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability.

Assertion

Ref	Expression
2ndcsb	|- (J e. Top -> (J e. 2ndc <-> E.x(x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)))

Distinct variable group:   x,J

Proof of Theorem 2ndcsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 15472	. . 3 |- (J e. 2ndc <-> (J e. Top /\ E.y e. Bases (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)))
2	1	baib 749	. 2 |- (J e. Top -> (J e. 2ndc <-> E.y e. Bases (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)))
3		simprl 450	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> y ~<_ om)
4		fibas 10221	. . . . . . . . 9 |- (y e. Bases -> ( fi ` y) e. Bases)
5	4	ad2antlr 441	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> ( fi ` y) e. Bases)
6		topbas 8897	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> J e. Bases)
7	6	ad2antrr 440	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> J e. Bases)
8		simpll 448	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> J e. Top)
9		sseq2 2639	. . . . . . . . . . . 12 |- ((topGen` y) = J -> (y C_ (topGen` y) <-> y C_ J))
10		bastg 8892	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. Bases -> y C_ (topGen` y))
11	10	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ y ~<_ om) -> y C_ (topGen` y))
12	9, 11	syl5cbi 226	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ y ~<_ om) -> ((topGen` y) = J -> y C_ J))
13	12	impr 422	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> y C_ J)
14		fiss 15368	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ y C_ J) -> ( fi ` y) C_ ( fi ` J))
15	8, 13, 14	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> ( fi ` y) C_ ( fi ` J))
16		fitop 15401	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> ( fi ` J) = J)
17	16	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> ( fi ` J) = J)
18	15, 17	sseqtrd 2653	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> ( fi ` y) C_ J)
19		sseq1 2637	. . . . . . . . . 10 |- ((topGen` y) = J -> ((topGen` y) C_ (topGen` ( fi ` y)) <-> J C_ (topGen` ( fi ` y))))
20		simplr 449	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ y ~<_ om) -> y e. Bases)
21	4	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ y ~<_ om) -> ( fi ` y) e. Bases)
22		abfi2 10216	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. Bases -> y C_ ( fi ` y))
23	22	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ y ~<_ om) -> y C_ ( fi ` y))
24		tgss 8906	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. Bases /\ ( fi ` y) e. Bases /\ y C_ ( fi ` y)) -> (topGen` y) C_ (topGen` ( fi ` y)))
25	20, 21, 23, 24	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ y ~<_ om) -> (topGen` y) C_ (topGen` ( fi ` y)))
26	19, 25	syl5cbi 226	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ y ~<_ om) -> ((topGen` y) = J -> J C_ (topGen` ( fi ` y))))
27	26	impr 422	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> J C_ (topGen` ( fi ` y)))
28		2basgen 8911	. . . . . . . 8 |- (((( fi ` y) e. Bases /\ J e. Bases) /\ (( fi ` y) C_ J /\ J C_ (topGen` ( fi ` y)))) -> (topGen` ( fi ` y)) = (topGen` J))
29	5, 7, 18, 27, 28	syl22anc 1101	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> (topGen` ( fi ` y)) = (topGen` J))
30		tgtop 8898	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> (topGen` J) = J)
31	30	ad2antrr 440	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> (topGen` J) = J)
32	29, 31	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> (topGen` ( fi ` y)) = J)
33		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
34		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (x ~<_ om <-> y ~<_ om))
35		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> ( fi ` x) = ( fi ` y))
36	35	fveq2d 4685	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (topGen` ( fi ` x)) = (topGen` ( fi ` y)))
37	36	eqeq1d 1892	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ((topGen` ( fi ` x)) = J <-> (topGen` ( fi ` y)) = J))
38	34, 37	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (x = y -> ((x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J) <-> (y ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` y)) = J)))
39	33, 38	cla4ev 2371	. . . . . 6 |- ((y ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` y)) = J) -> E.x(x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J))
40	3, 32, 39	syl11anc 524	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ y e. Bases) /\ (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)) -> E.x(x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J))
41	40	exp31 407	. . . 4 |- (J e. Top -> (y e. Bases -> ((y ~<_ om /\ (topGen` y) = J) -> E.x(x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J))))
42	41	r19.23adv 2215	. . 3 |- (J e. Top -> (E.y e. Bases (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J) -> E.x(x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)))
43		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
44		fibas 10221	. . . . . . . 8 |- (x e. _V -> ( fi ` x) e. Bases)
45	43, 44	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( fi ` x) e. Bases
46	45	a1i 8	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)) -> ( fi ` x) e. Bases)
47		fictb 15371	. . . . . . . . 9 |- (x e. _V -> (x ~<_ om <-> ( fi ` x) ~<_ om))
48	43, 47	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (x ~<_ om <-> ( fi ` x) ~<_ om)
49	48	biimpi 168	. . . . . . 7 |- (x ~<_ om -> ( fi ` x) ~<_ om)
50	49	ad2antrl 442	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)) -> ( fi ` x) ~<_ om)
51		simprr 451	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)) -> (topGen` ( fi ` x)) = J)
52		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (y = ( fi ` x) -> (y ~<_ om <-> ( fi ` x) ~<_ om))
53		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (y = ( fi ` x) -> (topGen` y) = (topGen` ( fi ` x)))
54	53	eqeq1d 1892	. . . . . . . 8 |- (y = ( fi ` x) -> ((topGen` y) = J <-> (topGen` ( fi ` x)) = J))
55	52, 54	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (y = ( fi ` x) -> ((y ~<_ om /\ (topGen` y) = J) <-> (( fi ` x) ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)))
56	55	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((( fi ` x) e. Bases /\ (( fi ` x) ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)) -> E.y e. Bases (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J))
57	46, 50, 51, 56	syl12anc 1098	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)) -> E.y e. Bases (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J))
58	57	ex 402	. . . 4 |- (J e. Top -> ((x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J) -> E.y e. Bases (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)))
59	58	19.23adv 1584	. . 3 |- (J e. Top -> (E.x(x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J) -> E.y e. Bases (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J)))
60	42, 59	impbid 574	. 2 |- (J e. Top -> (E.y e. Bases (y ~<_ om /\ (topGen` y) = J) <-> E.x(x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)))
61	2, 60	bitrd 587	1 |- (J e. Top -> (J e. 2ndc <-> E.x(x ~<_ om /\ (topGen` ( fi ` x)) = J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  omcom 3949  ` cfv 3998   ~<_ cdom 5424  Topctop 8857  Basesctb 8859  topGenctg 8860   fi cfi 10210  2ndcc2ndc 15456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-r1 5750  df-rank 5751  df-card 5862  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-fi 10211  df-2ndc 15462

Copyright terms: Public domain