MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcsb Unicode version

Theorem 2ndcsb 17465
Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcsb  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Distinct variable group:    x, J

Proof of Theorem 2ndcsb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17462 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 df-rex 2672 . . . 4  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  <->  E. x ( x  e.  TopBases  /\  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x
)  =  J ) ) )
3 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  ~<_  om )
4 ssfii 7382 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
54adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
6 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen `  x )  e.  _V
7 bastg 16986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( topGen `
 x ) )
87adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( topGen `  x
) )
9 fiss 7387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( topGen `  x )  e.  _V  /\  x  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( fi `  x )  C_  ( fi `  ( topGen `  x
) ) )
106, 8, 9sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( fi `  ( topGen `  x )
) )
11 tgcl 16989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  e.  Top )
1211adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  e.  Top )
13 fitop 16928 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  x )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  x )
)  =  ( topGen `  x ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  ( topGen `
 x ) )  =  ( topGen `  x
) )
1510, 14sseqtrd 3344 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( topGen `  x ) )
16 2basgen 17010 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( fi `  x )  /\  ( fi `  x )  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( topGen `  x )  =  (
topGen `  ( fi `  x ) ) )
175, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
18 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  J )
1917, 18eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )
203, 19jca 519 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
2120eximi 1582 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  TopBases 
/\  ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  x
)  =  J ) )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
222, 21sylbi 188 . . 3  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
231, 22sylbi 188 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
24 fibas 16997 . . . . 5  |-  ( fi
`  x )  e.  TopBases
25 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  x  ~<_  om )
26 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
27 fictb 8081 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
2925, 28sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( fi `  x )  ~<_  om )
30 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )
3129, 30jca 519 . . . . 5  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )
32 breq1 4175 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
y  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
33 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  ( topGen `
 y )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
3433eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( topGen `  y )  =  J  <->  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
3532, 34anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J )  <->  ( ( fi `  x )  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) ) )
3635rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( fi `  x
)  e.  TopBases  /\  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )  ->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
3724, 31, 36sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  E. y  e. 
TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
38 is2ndc 17462 . . . 4  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `
 y )  =  J ) )
3937, 38sylibr 204 . . 3  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4039exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. x ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4123, 40impbii 181 1  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   omcom 4804   ` cfv 5413    ~<_ cdom 7066   ficfi 7373   topGenctg 13620   Topctop 16913   TopBasesctb 16917   2ndcc2ndc 17454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-2ndc 17456
  Copyright terms: Public domain W3C validator