MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcredom Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcredom 19076
Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcredom  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )

Proof of Theorem 2ndcredom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 19072 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 tgdom 18605 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  ~<_  ~P x )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  ~P x
)
4 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  om )
5 nnenom 11823 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
65ensymi 7380 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
7 domentr 7389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
84, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  NN )
9 pwdom 7484 . . . . . . . 8  |-  ( x  ~<_  NN  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
11 rpnnen 13530 . . . . . . . 8  |-  RR  ~~  ~P NN
1211ensymi 7380 . . . . . . 7  |-  ~P NN  ~~  RR
13 domentr 7389 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P x  ~<_  ~P NN  /\ 
~P NN  ~~  RR )  ->  ~P x  ~<_  RR )
1410, 12, 13sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  RR )
15 domtr 7383 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  x )  ~<_  ~P x  /\  ~P x  ~<_  RR )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
163, 14, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
17 breq1 4316 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  ( ( topGen `
 x )  ~<_  RR  <->  J  ~<_  RR ) )
1816, 17syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  J  ~<_  RR ) )
1918expimpd 603 . . 3  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR ) )
2019rexlimiv 2856 . 2  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR )
211, 20sylbi 195 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737   ~Pcpw 3881   class class class wbr 4313   ` cfv 5439   omcom 6497    ~~ cen 7328    ~<_ cdom 7329   RRcr 9302   NNcn 10343   topGenctg 14397   TopBasesctb 18524   2ndcc2ndc 19064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-topgen 14403  df-2ndc 19066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator