MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcredom Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcredom 20243
Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcredom  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )

Proof of Theorem 2ndcredom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 20239 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 tgdom 19772 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  ~<_  ~P x )
32adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  ~P x
)
4 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  om )
5 nnenom 12131 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
65ensymi 7603 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
7 domentr 7612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
84, 6, 7sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  NN )
9 pwdom 7707 . . . . . . . 8  |-  ( x  ~<_  NN  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
11 rpnnen 14169 . . . . . . . 8  |-  RR  ~~  ~P NN
1211ensymi 7603 . . . . . . 7  |-  ~P NN  ~~  RR
13 domentr 7612 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P x  ~<_  ~P NN  /\ 
~P NN  ~~  RR )  ->  ~P x  ~<_  RR )
1410, 12, 13sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  RR )
15 domtr 7606 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  x )  ~<_  ~P x  /\  ~P x  ~<_  RR )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
163, 14, 15syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
17 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  ( ( topGen `
 x )  ~<_  RR  <->  J  ~<_  RR ) )
1816, 17syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  J  ~<_  RR ) )
1918expimpd 601 . . 3  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR ) )
2019rexlimiv 2890 . 2  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR )
211, 20sylbi 195 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2755   ~Pcpw 3955   class class class wbr 4395   ` cfv 5569   omcom 6683    ~~ cen 7551    ~<_ cdom 7552   RRcr 9521   NNcn 10576   topGenctg 15052   TopBasesctb 19690   2ndcc2ndc 20231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-topgen 15058  df-2ndc 20233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator