MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcredom Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcredom 19712
Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcredom  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )

Proof of Theorem 2ndcredom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 19708 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 tgdom 19241 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  ~<_  ~P x )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  ~P x
)
4 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  om )
5 nnenom 12048 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
65ensymi 7557 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
7 domentr 7566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
84, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  NN )
9 pwdom 7661 . . . . . . . 8  |-  ( x  ~<_  NN  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
11 rpnnen 13812 . . . . . . . 8  |-  RR  ~~  ~P NN
1211ensymi 7557 . . . . . . 7  |-  ~P NN  ~~  RR
13 domentr 7566 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P x  ~<_  ~P NN  /\ 
~P NN  ~~  RR )  ->  ~P x  ~<_  RR )
1410, 12, 13sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  RR )
15 domtr 7560 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  x )  ~<_  ~P x  /\  ~P x  ~<_  RR )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
163, 14, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
17 breq1 4445 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  ( ( topGen `
 x )  ~<_  RR  <->  J  ~<_  RR ) )
1816, 17syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  J  ~<_  RR ) )
1918expimpd 603 . . 3  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR ) )
2019rexlimiv 2944 . 2  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR )
211, 20sylbi 195 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2810   ~Pcpw 4005   class class class wbr 4442   ` cfv 5581   omcom 6673    ~~ cen 7505    ~<_ cdom 7506   RRcr 9482   NNcn 10527   topGenctg 14684   TopBasesctb 19160   2ndcc2ndc 19700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-topgen 14690  df-2ndc 19702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator