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Theorem 2ndcomap 17474
Description: A surjective continuous open map maps second-countable spaces to second-countable spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2ndcomap.2  |-  Y  = 
U. K
2ndcomap.3  |-  ( ph  ->  J  e.  2ndc )
2ndcomap.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2ndcomap.6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
2ndcomap.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
Assertion
Ref Expression
2ndcomap  |-  ( ph  ->  K  e.  2ndc )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, K
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem 2ndcomap
Dummy variables  k  m  t  w  z 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndcomap.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  2ndc )
2 is2ndc 17462 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
31, 2sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
4 2ndcomap.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 17259 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
76ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  K  e.  Top )
8 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  ph )
9 bastg 16986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  b  C_  ( topGen `
 b ) )
109ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  C_  ( topGen `  b )
)
11 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 b )  =  J )
1210, 11sseqtrd 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  C_  J )
1312sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  x  e.  J )
14 2ndcomap.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
158, 13, 14syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  ( F " x
)  e.  K )
16 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) )  =  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )
1715, 16fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K )
18 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) 
C_  K )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  C_  K
)
20 elunii 3980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  k  /\  k  e.  K )  ->  z  e.  U. K
)
21 2ndcomap.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  = 
U. K
2220, 21syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  k  /\  k  e.  K )  ->  z  e.  Y )
2322ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  ->  z  e.  Y )
2423adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  z  e.  Y )
25 2ndcomap.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
2625ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  ran  F  =  Y )
2724, 26eleqtrrd 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  z  e.  ran  F )
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2928, 21cnf 17264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
304, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : U. J --> Y )
3130ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  F : U. J --> Y )
32 ffn 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> Y  ->  F  Fn  U. J )
33 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. t  e.  U. J
( F `  t
)  =  z ) )
3431, 32, 333syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. t  e.  U. J
( F `  t
)  =  z ) )
3527, 34mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  E. t  e.  U. J ( F `
 t )  =  z )
364ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
37 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  k  e.  K )
38 cnima 17283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  k  e.  K )  ->  ( `' F "
k )  e.  J
)
3936, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( `' F " k )  e.  J )
4011adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( topGen `
 b )  =  J )
4139, 40eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( `' F " k )  e.  ( topGen `  b
) )
42 simprrl 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  t  e.  U. J )
43 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( F `  t )  =  z )
44 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  z  e.  k )
4543, 44eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( F `  t )  e.  k )
4631, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  F  Fn  U. J )
4746adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
48 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( t  e.  ( `' F " k )  <-> 
( t  e.  U. J  /\  ( F `  t )  e.  k ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  (
t  e.  ( `' F " k )  <-> 
( t  e.  U. J  /\  ( F `  t )  e.  k ) ) )
5042, 45, 49mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  t  e.  ( `' F "
k ) )
51 tg2 16985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' F "
k )  e.  (
topGen `  b )  /\  t  e.  ( `' F " k ) )  ->  E. m  e.  b  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) )
5241, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  E. m  e.  b  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F "
k ) ) )
53 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  e.  b )
54 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" m )  =  ( F " m
)
55 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  m  ->  ( F " x )  =  ( F " m
) )
5655eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  m  ->  (
( F " m
)  =  ( F
" x )  <->  ( F " m )  =  ( F " m ) ) )
5756rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  b  /\  ( F " m )  =  ( F "
m ) )  ->  E. x  e.  b 
( F " m
)  =  ( F
" x ) )
5853, 54, 57sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  E. x  e.  b 
( F " m
)  =  ( F
" x ) )
5947adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
60 fnfun 5501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  U. J  ->  Fun  F )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  Fun  F )
62 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  C_  ( `' F " k ) )
63 funimass2 5486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  m  C_  ( `' F "
k ) )  -> 
( F " m
)  C_  k )
6461, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  C_  k )
65 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
66 ssexg 4309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F " m
)  C_  k  /\  k  e.  _V )  ->  ( F " m
)  e.  _V )
6764, 65, 66sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  e.  _V )
6816elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " m )  e.  _V  ->  (
( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  <->  E. x  e.  b  ( F " m
)  =  ( F
" x ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( ( F "
m )  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  <->  E. x  e.  b  ( F " m )  =  ( F " x ) ) )
7058, 69mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) )
7143adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F `  t
)  =  z )
72 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
t  e.  m )
73 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " k ) 
C_  dom  F
7462, 73syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  C_  dom  F )
75 funfvima2 5933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  m  C_ 
dom  F )  -> 
( t  e.  m  ->  ( F `  t
)  e.  ( F
" m ) ) )
7661, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( t  e.  m  ->  ( F `  t
)  e.  ( F
" m ) ) )
7772, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F `  t
)  e.  ( F
" m ) )
7871, 77eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
z  e.  ( F
" m ) )
79 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( F " m ) ) )
80 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
w  C_  k  <->  ( F " m )  C_  k
) )
8179, 80anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  k )  <-> 
( z  e.  ( F " m )  /\  ( F "
m )  C_  k
) ) )
8281rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  /\  ( z  e.  ( F "
m )  /\  ( F " m )  C_  k ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8370, 78, 64, 82syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8452, 83rexlimddv 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8584anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8635, 85rexlimddv 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8786ralrimivva 2758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  A. k  e.  K  A. z  e.  k  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
88 basgen2 17009 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  C_  K  /\  A. k  e.  K  A. z  e.  k  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  =  K )
897, 19, 87, 88syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  =  K )
9089, 7eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  Top )
91 tgclb 16990 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  e.  TopBases  <->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) )  e.  Top )
9290, 91sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  e.  TopBases )
93 omelon 7557 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
94 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  ~<_  om )
95 ondomen 7874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  b  ~<_  om )  ->  b  e.  dom  card )
9693, 94, 95sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  e.  dom  card )
97 ffn 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K  ->  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  Fn  b )
9817, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  Fn  b )
99 dffn4 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) )  Fn  b  <->  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) : b -onto-> ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) )
10098, 99sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b -onto-> ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) ) )
101 fodomnum 7894 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) ) : b
-onto->
ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ->  ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  ~<_  b ) )
10296, 100, 101sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  ~<_  b )
103 domtr 7119 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ~<_  om )
104102, 94, 103syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  ~<_  om )
105 2ndci 17464 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  e.  TopBases 
/\  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  2ndc )
10692, 104, 105syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  2ndc )
10789, 106eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  K  e.  2ndc )
108107ex 424 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  TopBases )  ->  ( ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  K  e.  2ndc ) )
109108rexlimdva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  K  e.  2ndc ) )
1103, 109mpd 15 1  |-  ( ph  ->  K  e.  2ndc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   omcom 4804   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~<_ cdom 7066   cardccrd 7778   topGenctg 13620   Topctop 16913   TopBasesctb 16917    Cn ccn 17242   2ndcc2ndc 17454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-card 7782  df-acn 7785  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-2ndc 17456
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