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Theorem 2ndcomap 19722
Description: A surjective continuous open map maps second-countable spaces to second-countable spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2ndcomap.2  |-  Y  = 
U. K
2ndcomap.3  |-  ( ph  ->  J  e.  2ndc )
2ndcomap.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2ndcomap.6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
2ndcomap.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
Assertion
Ref Expression
2ndcomap  |-  ( ph  ->  K  e.  2ndc )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, K
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem 2ndcomap
Dummy variables  k  m  t  w  z 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndcomap.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  2ndc )
2 is2ndc 19710 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
4 2ndcomap.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 19505 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
76ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  K  e.  Top )
8 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  ph )
9 bastg 19231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  b  C_  ( topGen `
 b ) )
109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  C_  ( topGen `  b )
)
11 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 b )  =  J )
1210, 11sseqtrd 3540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  C_  J )
1312sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  x  e.  J )
14 2ndcomap.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
158, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  ( F " x
)  e.  K )
16 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) )  =  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )
1715, 16fmptd 6043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K )
18 frn 5735 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) 
C_  K )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  C_  K
)
20 elunii 4250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  k  /\  k  e.  K )  ->  z  e.  U. K
)
21 2ndcomap.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  = 
U. K
2220, 21syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  k  /\  k  e.  K )  ->  z  e.  Y )
2322ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  ->  z  e.  Y )
2423adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  z  e.  Y )
25 2ndcomap.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  ran  F  =  Y )
2724, 26eleqtrrd 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  z  e.  ran  F )
28 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2928, 21cnf 19510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
304, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : U. J --> Y )
3130ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  F : U. J --> Y )
32 ffn 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> Y  ->  F  Fn  U. J )
33 fvelrnb 5913 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. t  e.  U. J
( F `  t
)  =  z ) )
3431, 32, 333syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. t  e.  U. J
( F `  t
)  =  z ) )
3527, 34mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  E. t  e.  U. J ( F `
 t )  =  z )
364ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
37 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  k  e.  K )
38 cnima 19529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  k  e.  K )  ->  ( `' F "
k )  e.  J
)
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( `' F " k )  e.  J )
4011adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( topGen `
 b )  =  J )
4139, 40eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( `' F " k )  e.  ( topGen `  b
) )
42 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  t  e.  U. J )
43 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( F `  t )  =  z )
44 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  z  e.  k )
4543, 44eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( F `  t )  e.  k )
4631, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  F  Fn  U. J )
4746adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
48 elpreima 5999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( t  e.  ( `' F " k )  <-> 
( t  e.  U. J  /\  ( F `  t )  e.  k ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  (
t  e.  ( `' F " k )  <-> 
( t  e.  U. J  /\  ( F `  t )  e.  k ) ) )
5042, 45, 49mpbir2and 920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  t  e.  ( `' F "
k ) )
51 tg2 19230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' F "
k )  e.  (
topGen `  b )  /\  t  e.  ( `' F " k ) )  ->  E. m  e.  b  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) )
5241, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  E. m  e.  b  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F "
k ) ) )
53 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  e.  b )
54 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" m )  =  ( F " m
)
55 imaeq2 5331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  m  ->  ( F " x )  =  ( F " m
) )
5655eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  m  ->  (
( F " m
)  =  ( F
" x )  <->  ( F " m )  =  ( F " m ) ) )
5756rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  b  /\  ( F " m )  =  ( F "
m ) )  ->  E. x  e.  b 
( F " m
)  =  ( F
" x ) )
5853, 54, 57sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  E. x  e.  b 
( F " m
)  =  ( F
" x ) )
5947adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
60 fnfun 5676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  U. J  ->  Fun  F )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  Fun  F )
62 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  C_  ( `' F " k ) )
63 funimass2 5660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  m  C_  ( `' F "
k ) )  -> 
( F " m
)  C_  k )
6461, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  C_  k )
65 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
66 ssexg 4593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F " m
)  C_  k  /\  k  e.  _V )  ->  ( F " m
)  e.  _V )
6764, 65, 66sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  e.  _V )
6816elrnmpt 5247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " m )  e.  _V  ->  (
( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  <->  E. x  e.  b  ( F " m
)  =  ( F
" x ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( ( F "
m )  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  <->  E. x  e.  b  ( F " m )  =  ( F " x ) ) )
7058, 69mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) )
7143adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F `  t
)  =  z )
72 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
t  e.  m )
73 cnvimass 5355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " k ) 
C_  dom  F
7462, 73syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  C_  dom  F )
75 funfvima2 6134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  m  C_ 
dom  F )  -> 
( t  e.  m  ->  ( F `  t
)  e.  ( F
" m ) ) )
7661, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( t  e.  m  ->  ( F `  t
)  e.  ( F
" m ) ) )
7772, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F `  t
)  e.  ( F
" m ) )
7871, 77eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
z  e.  ( F
" m ) )
79 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( F " m ) ) )
80 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
w  C_  k  <->  ( F " m )  C_  k
) )
8179, 80anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  k )  <-> 
( z  e.  ( F " m )  /\  ( F "
m )  C_  k
) ) )
8281rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  /\  ( z  e.  ( F "
m )  /\  ( F " m )  C_  k ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8370, 78, 64, 82syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8452, 83rexlimddv 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8584anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8635, 85rexlimddv 2959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8786ralrimivva 2885 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  A. k  e.  K  A. z  e.  k  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
88 basgen2 19254 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  C_  K  /\  A. k  e.  K  A. z  e.  k  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  =  K )
897, 19, 87, 88syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  =  K )
9089, 7eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  Top )
91 tgclb 19235 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  e.  TopBases  <->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) )  e.  Top )
9290, 91sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  e.  TopBases )
93 omelon 8059 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
94 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  ~<_  om )
95 ondomen 8414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  b  ~<_  om )  ->  b  e.  dom  card )
9693, 94, 95sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  e.  dom  card )
97 ffn 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K  ->  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  Fn  b )
9817, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  Fn  b )
99 dffn4 5799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) )  Fn  b  <->  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) : b -onto-> ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) )
10098, 99sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b -onto-> ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) ) )
101 fodomnum 8434 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) ) : b
-onto->
ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ->  ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  ~<_  b ) )
10296, 100, 101sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  ~<_  b )
103 domtr 7565 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ~<_  om )
104102, 94, 103syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  ~<_  om )
105 2ndci 19712 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  e.  TopBases 
/\  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  2ndc )
10692, 104, 105syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  2ndc )
10789, 106eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  K  e.  2ndc )
108107ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  TopBases )  ->  ( ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  K  e.  2ndc ) )
109108rexlimdva 2955 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  K  e.  2ndc ) )
1103, 109mpd 15 1  |-  ( ph  ->  K  e.  2ndc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Oncon0 4878   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678    ~<_ cdom 7511   cardccrd 8312   topGenctg 14686   Topctop 19158   TopBasesctb 19162    Cn ccn 19488   2ndcc2ndc 19702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-card 8316  df-acn 8319  df-topgen 14692  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cn 19491  df-2ndc 19704
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