Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcdisj2 Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcdisj2 19826
 Description: Any disjoint collection of open sets in a second-countable space is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj2
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem 2ndcdisj2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2825 . . 3
21albii 1620 . 2
3 undif2 3909 . . . . . 6
4 omex 8072 . . . . . . . 8
5 peano1 6714 . . . . . . . . 9
6 snssi 4177 . . . . . . . . 9
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8
8 ssdomg 7573 . . . . . . . 8
94, 7, 8mp2 9 . . . . . . 7
10 id 22 . . . . . . . 8
11 ssdif 3644 . . . . . . . . 9
12 dfss3 3499 . . . . . . . . 9
1311, 12sylib 196 . . . . . . . 8
14 eldifi 3631 . . . . . . . . . . 11
1514anim1i 568 . . . . . . . . . 10
1615moimi 2342 . . . . . . . . 9
1716alimi 1614 . . . . . . . 8
18 df-rmo 2825 . . . . . . . . . 10
1918albii 1620 . . . . . . . . 9
20 2ndcdisj 19825 . . . . . . . . 9
2119, 20syl3an3br 1269 . . . . . . . 8
2210, 13, 17, 21syl3an 1270 . . . . . . 7
23 unctb 8597 . . . . . . 7
249, 22, 23sylancr 663 . . . . . 6
253, 24syl5eqbrr 4487 . . . . 5
26 reldom 7534 . . . . . 6
2726brrelexi 5046 . . . . 5
2825, 27syl 16 . . . 4
29 ssun2 3673 . . . 4
30 ssdomg 7573 . . . 4
3128, 29, 30mpisyl 18 . . 3
32 domtr 7580 . . 3
3331, 25, 32syl2anc 661 . 2
342, 33syl3an3b 1266 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973  wal 1377   wcel 1767  wmo 2276  wral 2817  wrmo 2820  cvv 3118   cdif 3478   cun 3479   wss 3481  c0 3790  csn 4033   class class class wbr 4453  com 6695   cdom 7526  c2ndc 19807 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-topgen 14716  df-2ndc 19809 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator