MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcdisj2 Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcdisj2 19826
Description: Any disjoint collection of open sets in a second-countable space is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J
Allowed substitution hint:    J( y)

Proof of Theorem 2ndcdisj2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2825 . . 3  |-  ( E* x  e.  A  y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )
21albii 1620 . 2  |-  ( A. y E* x  e.  A  y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
3 undif2 3909 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( {
(/) }  u.  A
)
4 omex 8072 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
5 peano1 6714 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
6 snssi 4177 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  om  ->  { (/) }  C_  om )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  { (/) } 
C_  om
8 ssdomg 7573 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  _V  ->  ( { (/) }  C_  om  ->  {
(/) }  ~<_  om )
)
94, 7, 8mp2 9 . . . . . . 7  |-  { (/) }  ~<_  om
10 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
2ndc )
11 ssdif 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  J  ->  ( A  \  { (/) } ) 
C_  ( J  \  { (/) } ) )
12 dfss3 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { (/) } )  C_  ( J  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  J  ->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
14 eldifi 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  x  e.  A )
1514anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1615moimi 2342 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
1716alimi 1614 . . . . . . . 8  |-  ( A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  A. y E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
18 df-rmo 2825 . . . . . . . . . 10  |-  ( E* x  e.  ( A 
\  { (/) } ) y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  ( A  \  { (/) } )  /\  y  e.  x ) )
1918albii 1620 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y E* x  e.  ( A  \  { (/) } ) y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )
20 2ndcdisj 19825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  ( A  \  { (/)
} ) y  e.  x )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2119, 20syl3an3br 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2210, 13, 17, 21syl3an 1270 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( A  \  { (/)
} )  ~<_  om )
23 unctb 8597 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  ~<_  om  /\  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )  ->  ( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
249, 22, 23sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
253, 24syl5eqbrr 4487 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  ~<_  om )
26 reldom 7534 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
2726brrelexi 5046 . . . . 5  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om  ->  ( {
(/) }  u.  A
)  e.  _V )
2825, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  e.  _V )
29 ssun2 3673 . . . 4  |-  A  C_  ( { (/) }  u.  A
)
30 ssdomg 7573 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  e.  _V  ->  ( A  C_  ( { (/)
}  u.  A )  ->  A  ~<_  ( {
(/) }  u.  A
) ) )
3128, 29, 30mpisyl 18 . . 3  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  ( { (/) }  u.  A ) )
32 domtr 7580 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  ( { (/) }  u.  A )  /\  ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
3331, 25, 32syl2anc 661 . 2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  om )
342, 33syl3an3b 1266 1  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    e. wcel 1767   E*wmo 2276   A.wral 2817   E*wrmo 2820   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   class class class wbr 4453   omcom 6695    ~<_ cdom 7526   2ndcc2ndc 19807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-topgen 14716  df-2ndc 19809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator