MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcdisj2 Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcdisj2 19203
Description: Any disjoint collection of open sets in a second-countable space is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J
Allowed substitution hint:    J( y)

Proof of Theorem 2ndcdisj2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2807 . . 3  |-  ( E* x  e.  A  y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )
21albii 1611 . 2  |-  ( A. y E* x  e.  A  y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
3 undif2 3866 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( {
(/) }  u.  A
)
4 omex 7964 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
5 peano1 6608 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
6 snssi 4128 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  om  ->  { (/) }  C_  om )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  { (/) } 
C_  om
8 ssdomg 7468 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  _V  ->  ( { (/) }  C_  om  ->  {
(/) }  ~<_  om )
)
94, 7, 8mp2 9 . . . . . . 7  |-  { (/) }  ~<_  om
10 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
2ndc )
11 ssdif 3602 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  J  ->  ( A  \  { (/) } ) 
C_  ( J  \  { (/) } ) )
12 dfss3 3457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { (/) } )  C_  ( J  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  J  ->  A. x  e.  ( A  \  { (/)
} ) x  e.  ( J  \  { (/)
} ) )
14 eldifi 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  x  e.  A )
1514anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )
1615moimi 2329 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
1716alimi 1605 . . . . . . . 8  |-  ( A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  A. y E* x ( x  e.  ( A  \  { (/)
} )  /\  y  e.  x ) )
18 df-rmo 2807 . . . . . . . . . 10  |-  ( E* x  e.  ( A 
\  { (/) } ) y  e.  x  <->  E* x
( x  e.  ( A  \  { (/) } )  /\  y  e.  x ) )
1918albii 1611 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y E* x  e.  ( A  \  { (/) } ) y  e.  x  <->  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )
20 2ndcdisj 19202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  ( A  \  { (/)
} ) y  e.  x )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2119, 20syl3an3br 1260 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  ( A  \  { (/) } ) x  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x ( x  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  y  e.  x
) )  ->  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )
2210, 13, 17, 21syl3an 1261 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( A  \  { (/)
} )  ~<_  om )
23 unctb 8489 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  ~<_  om  /\  ( A  \  { (/) } )  ~<_  om )  ->  ( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
249, 22, 23sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  ~<_  om )
253, 24syl5eqbrr 4437 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  ~<_  om )
26 reldom 7429 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
2726brrelexi 4990 . . . . 5  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om  ->  ( {
(/) }  u.  A
)  e.  _V )
2825, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  -> 
( { (/) }  u.  A )  e.  _V )
29 ssun2 3631 . . . 4  |-  A  C_  ( { (/) }  u.  A
)
30 ssdomg 7468 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  u.  A
)  e.  _V  ->  ( A  C_  ( { (/)
}  u.  A )  ->  A  ~<_  ( {
(/) }  u.  A
) ) )
3128, 29, 30mpisyl 18 . . 3  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  ( { (/) }  u.  A ) )
32 domtr 7475 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  ( { (/) }  u.  A )  /\  ( { (/) }  u.  A
)  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
3331, 25, 32syl2anc 661 . 2  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  x ) )  ->  A  ~<_  om )
342, 33syl3an3b 1257 1  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A  C_  J  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  x )  ->  A  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368    e. wcel 1758   E*wmo 2263   A.wral 2799   E*wrmo 2802   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988   class class class wbr 4403   omcom 6589    ~<_ cdom 7421   2ndcc2ndc 19184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-topgen 14505  df-2ndc 19186
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator