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Theorem 2ndcdisj 19060
Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/)
} )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )  ->  A  ~<_  om )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B    x, J
Allowed substitution hints:    B( x)    J( y)

Proof of Theorem 2ndcdisj
Dummy variables  f 
b  w  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 19050 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
2 omex 7849 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
32brdom 7322 . . . . . 6  |-  ( b  ~<_  om  <->  E. f  f : b -1-1-> om )
4 ssrab2 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  C_  ran  f
5 f1f 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : b -1-1-> om  ->  f : b --> om )
6 frn 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : b --> om  ->  ran  f  C_  om )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : b -1-1-> om  ->  ran  f  C_  om )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ran  f  C_  om )
94, 8syl5ss 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } 
C_  om )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( x  e.  A  /\  B  e.  (
( topGen `  b )  \  { (/) } ) ) )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  C_  om )
11 eldifsn 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/)
} )  <->  ( B  e.  ( topGen `  b )  /\  B  =/=  (/) ) )
12 n0 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  B )
13 tg2 18570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  ( topGen `  b )  /\  y  e.  B )  ->  E. z  e.  b  ( y  e.  z  /\  z  C_  B ) )
14 omsson 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  om  C_  On
159, 14syl6ss 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } 
C_  On )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } 
C_  On )
17 f1fn 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f : b -1-1-> om  ->  f  Fn  b )
1817ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
f  Fn  b )
19 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  e.  b )
20 fnfvelrn 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f  Fn  b  /\  z  e.  b )  ->  ( f `  z
)  e.  ran  f
)
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
( f `  z
)  e.  ran  f
)
22 f1f1orn 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f : b -1-1-> om  ->  f : b -1-1-onto-> ran  f )
2322ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
f : b -1-1-onto-> ran  f
)
24 f1ocnvfv1 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( f : b -1-1-onto-> ran  f  /\  z  e.  b
)  ->  ( `' f `  ( f `  z ) )  =  z )
2523, 19, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
( `' f `  ( f `  z
) )  =  z )
26 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  C_  B )
27 selpw 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  e.  ~P B  <->  z  C_  B )
2826, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  e.  ~P B
)
29 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
y  e.  z )
30 ne0i 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  z  ->  z  =/=  (/) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  =/=  (/) )
32 eldifsn 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  e.  ( ~P B  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  ~P B  /\  z  =/=  (/) ) )
3328, 31, 32sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
3425, 33eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
( `' f `  ( f `  z
) )  e.  ( ~P B  \  { (/)
} ) )
35 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  ( f `  z )  ->  ( `' f `  n
)  =  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )
3635eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  ( f `  z )  ->  (
( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/)
} )  <->  ( `' f `  ( f `  z ) )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) ) )
3736rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  ran  f  /\  ( `' f `  ( f `  z
) )  e.  ( ~P B  \  { (/)
} ) )  ->  E. n  e.  ran  f ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
3821, 34, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  ->  E. n  e.  ran  f ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
39 rabn0 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  ran  f ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  =/=  (/) )
41 onint 6406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } 
C_  On  /\  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
4216, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
4342rexlimdvaa 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  b  (
y  e.  z  /\  z  C_  B )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4413, 43syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  e.  ( topGen `  b )  /\  y  e.  B )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4544expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  B  e.  ( topGen `  b )
)  ->  ( y  e.  B  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4645exlimdv 1690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  B  e.  ( topGen `  b )
)  ->  ( E. y  y  e.  B  ->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4712, 46syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  B  e.  ( topGen `  b )
)  ->  ( B  =/=  (/)  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4847expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  e.  ( topGen `  b )  /\  B  =/=  (/) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4911, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  ->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
5049impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( x  e.  A  /\  B  e.  (
( topGen `  b )  \  { (/) } ) ) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
5110, 50sseldd 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( x  e.  A  /\  B  e.  (
( topGen `  b )  \  { (/) } ) ) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om )
5251expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  ->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om ) )
5352ralimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  ->  A. x  e.  A  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om ) )
5453imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) )  ->  A. x  e.  A  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om )
5554adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
) )  ->  A. x  e.  A  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om )
56 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  =  ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
5756fmpt 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om  <->  ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A --> om )
5855, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A --> om )
59 neeq1 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' f `  z
)  =  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  ->  ( ( `' f `  z )  =/=  (/)  <->  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  =/=  (/) ) )
60 neeq1 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1o  =  if ( ( `' f `  z
)  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  ->  ( 1o  =/=  (/)  <->  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  =/=  (/) ) )
61 1n0 6935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1o  =/=  (/)
6259, 60, 61elimhyp 3848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  =/=  (/)
63 n0 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o ) )
6462, 63mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  E. y 
y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )
65 19.29r 1651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. y  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  E. y
( y  e.  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B ) )
6664, 65mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y E* x  e.  A  y  e.  B  ->  E. y ( y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B )
)
67 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  (
z  e.  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  <->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
6850, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( x  e.  A  /\  B  e.  (
( topGen `  b )  \  { (/) } ) ) )  ->  ( z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  z  e.  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
6968imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  z  e.  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
70 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( n  =  z  ->  ( `' f `  n
)  =  ( `' f `  z ) )
7170eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( n  =  z  ->  (
( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/)
} )  <->  ( `' f `  z )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) ) )
7271elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  <->  ( z  e.  ran  f  /\  ( `' f `  z
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) ) )
7372simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  ( `' f `  z
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
7469, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( `' f `  z )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
75 eldifsn 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( `' f `  z
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } )  <->  ( ( `' f `  z )  e.  ~P B  /\  ( `' f `  z
)  =/=  (/) ) )
7674, 75sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( ( `' f `  z
)  e.  ~P B  /\  ( `' f `  z )  =/=  (/) ) )
7776simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( `' f `  z )  =/=  (/) )
78 iftrue 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( `' f `  z
)  =/=  (/)  ->  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  =  ( `' f `  z
) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  if (
( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  =  ( `' f `
 z ) )
8076simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( `' f `  z )  e.  ~P B )
8180elpwid 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( `' f `  z )  C_  B )
8279, 81eqsstrd 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  if (
( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o ) 
C_  B )
8382sseld 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  -> 
y  e.  B ) )
8483exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } ) )  ->  ( z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  (
y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  ->  y  e.  B
) ) ) )
8584com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } ) )  ->  ( y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  -> 
y  e.  B ) ) ) )
8685exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  ( x  e.  A  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  ->  ( y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  -> 
y  e.  B ) ) ) ) )
8786com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( y  e.  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  ->  (
x  e.  A  -> 
( B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  -> 
( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) ) ) ) )
8887imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  ->  ( z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) ) )
8988ralimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  y  e.  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o ) )  -> 
( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  ->  A. x  e.  A  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) ) )
9089imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o ) )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } ) )  ->  A. x  e.  A  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) )
9190an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } ) )  /\  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o ) )  ->  A. x  e.  A  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) )
92 rmoim 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B )  ->  ( E* x  e.  A  y  e.  B  ->  E* x  e.  A  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } ) )  /\  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o ) )  ->  ( E* x  e.  A  y  e.  B  ->  E* x  e.  A  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9493expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) )  ->  ( ( y  e.  if ( ( `' f `  z
)  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  E* x  e.  A  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9594exlimdv 1690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) )  ->  ( E. y
( y  e.  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B )  ->  E* x  e.  A  z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9666, 95syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) )  ->  ( A. y E* x  e.  A  y  e.  B  ->  E* x  e.  A  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9796impr 619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
) )  ->  E* x  e.  A  z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
98 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x w
99 nfmpt1 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
100 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
z
10198, 99, 100nfbr 4336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z
102 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ w
( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
103 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  x  ->  (
w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <-> 
x ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z ) )
104 df-br 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (
x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
105 df-mpt 4352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) }
106105eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  <->  <. x ,  z
>.  e.  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) } )
107 opabid 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) }  <-> 
( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
108104, 106, 1073bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <->  ( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
109103, 108syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  x  ->  (
w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <-> 
( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) ) )
110101, 102, 109cbvmo 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E* w  w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <->  E* x ( x  e.  A  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
111 df-rmo 2723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E* x  e.  A  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  <->  E* x
( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
112110, 111bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E* w  w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <->  E* x  e.  A  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
11397, 112sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
) )  ->  E* w  w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z )
114113alrimiv 1685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
) )  ->  A. z E* w  w (
x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z )
115 dff12 5605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A -1-1-> om  <->  ( ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A --> om  /\  A. z E* w  w ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z ) )
11658, 114, 115sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A -1-1-> om )
117 f1domg 7329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om  e.  _V  ->  (
( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A -1-1-> om  ->  A  ~<_  om ) )
1182, 116, 117mpsyl 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
) )  ->  A  ~<_  om )
119118ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )  ->  A  ~<_  om ) )
120 difeq1 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } )  =  ( J  \  { (/)
} ) )
121120eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  <-> 
B  e.  ( J 
\  { (/) } ) ) )
122121ralbidv 2735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } ) ) )
123122anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
)  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )
) )
124123imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )  <->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )  ->  A  ~<_  om ) ) )
125119, 124syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( ( topGen `  b
)  =  J  -> 
( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )  ->  A  ~<_  om ) ) )
126125ex 434 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( f : b -1-1-> om  ->  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )
) ) )
127126exlimdv 1690 . . . . . 6  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( E. f 
f : b -1-1-> om  ->  ( ( topGen `  b
)  =  J  -> 
( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )  ->  A  ~<_  om ) ) ) )
1283, 127syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( b  ~<_  om 
->  ( ( topGen `  b
)  =  J  -> 
( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )  ->  A  ~<_  om ) ) ) )
129128impd 431 . . . 4  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )
) )
130129rexlimiv 2835 . . 3  |-  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )
)
1311, 130sylbi 195 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )
)
1321313impib 1185 1  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/)
} )  /\  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )  ->  A  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E*wmo 2254    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   E*wrmo 2718   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   {csn 3877   <.cop 3883   |^|cint 4128   class class class wbr 4292   {copab 4349    e. cmpt 4350   Oncon0 4719   `'ccnv 4839   ran crn 4841    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   omcom 6476   1oc1o 6913    ~<_ cdom 7308   topGenctg 14376   TopBasesctb 18502   2ndcc2ndc 19042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-1o 6920  df-dom 7312  df-topgen 14382  df-2ndc 19044
This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  19061
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