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Theorem 2ndcdisj 19060
Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj |- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )
Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, J
Allowed substitution hints:   B( x)   J( y)
Proof of Theorem 2ndcdisj
Dummy variables f b w z n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 19050 . . 3 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
2 omex 7849 . . . . . . 7 |- om e. _V
32brdom 7322 . . . . . 6 |- ( b ~<_ om <-> E. f f : b -1-1-> om )
4 ssrab2 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ ran f
5 f1f 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b --> om )
6 frn 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b --> om -> ran f C_ om )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : b -1-1-> om -> ran f C_ om )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ran f C_ om )
94, 8syl5ss 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
11 eldifsn 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) )
12 n0 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
13 tg2 18570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) )
14 omsson 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- om C_ On
159, 14syl6ss 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
17 f1fn 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( f : b -1-1-> om -> f Fn b )
1817ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f Fn b )
19 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. b )
20 fnfvelrn 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( f Fn b /\ z e. b ) -> ( f ` z ) e. ran f )
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( f ` z ) e. ran f )
22 f1f1orn 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b -1-1-onto-> ran f )
2322ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f : b -1-1-onto-> ran f )
24 f1ocnvfv1 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( f : b -1-1-onto-> ran f /\ z e. b ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
2523, 19, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
26 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z C_ B )
27 selpw 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( z e. ~P B <-> z C_ B )
2826, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ~P B )
29 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> y e. z )
30 ne0i 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y e. z -> z =/= (/) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z =/= (/) )
32 eldifsn 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( z e. ~P B /\ z =/= (/) ) )
3328, 31, 32sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ( ~P B \ { (/) } ) )
3425, 33eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
35 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( n = ( f ` z ) -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` ( f ` z ) ) )
3635eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n = ( f ` z ) -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
3736rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( f ` z ) e. ran f /\ ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
3821, 34, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
39 rabn0 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) <-> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) )
41 onint 6406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On /\ { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
4216, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
4342rexlimdvaa 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4413, 43syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4544expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4645exlimdv 1690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( E. y y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4712, 46syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( B =/= (/) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4847expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4911, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
5049impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
5110, 50sseldd 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
5251expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
5352ralimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
5453imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
5554adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
56 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
5756fmpt 5864 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om <-> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
5855, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
59 neeq1 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( `' f ` z ) = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( ( `' f ` z ) =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
60 neeq1 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1o = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( 1o =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
61 1n0 6935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o =/= (/)
6259, 60, 61elimhyp 3848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/)
63 n0 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) <-> E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) )
6462, 63mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o )
65 19.29r 1651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
6664, 65mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y E* x e. A y e. B -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
67 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
6850, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
6968imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
70 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n = z -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` z ) )
7170eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( n = z -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
7271elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> ( z e. ran f /\ ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
7372simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
7469, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
75 eldifsn 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
7674, 75sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
7776simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) =/= (/) )
78 iftrue 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( `' f ` z ) =/= (/) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) = ( `' f ` z ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) = ( `' f ` z ) )
8076simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ~P B )
8180elpwid 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) C_ B )
8279, 81eqsstrd 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) C_ B )
8382sseld 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) )
8483exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
8584com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
8685exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) ) )
8786com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) ) ) )
8887imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
8988ralimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
9089imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
9190an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
92 rmoim 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9493expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9594exlimdv 1690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9666, 95syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( A. y E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9796impr 619 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
98 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x w
99 nfmpt1 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
100 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x z
10198, 99, 100nfbr 4336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z
102 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ w ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
103 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
104 df-br 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
105 df-mpt 4352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) }
106105eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) <-> <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } )
107 opabid 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
108104, 106, 1073bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
109103, 108syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) )
110101, 102, 109cbvmo 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
111 df-rmo 2723 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
112110, 111bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
11397, 112sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
114113alrimiv 1685 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
115 dff12 5605 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om <-> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om /\ A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
11658, 114, 115sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om )
117 f1domg 7329 . . . . . . . . . . 11 |- ( om e. _V -> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om -> A ~<_ om ) )
1182, 116, 117mpsyl 63 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A ~<_ om )
119118ex 434 . . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
120 difeq1 3467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) = ( J \ { (/) } ) )
121120eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> B e. ( J \ { (/) } ) ) )
122121ralbidv 2735 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) ) )
123122anbi1d 704 . . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) <-> ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) )
124123imbi1d 317 . . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) <-> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
125119, 124syl5ibcom 220 . . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
126125ex 434 . . . . . . 7 |- ( b e. TopBases -> ( f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
127126exlimdv 1690 . . . . . 6 |- ( b e. TopBases -> ( E. f f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
1283, 127syl5bi 217 . . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( b ~<_ om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
129128impd 431 . . . 4 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
130129rexlimiv 2835 . . 3 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
1311, 130sylbi 195 . 2 |- ( J e. 2ndc -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
1321313impib 1185 1 |- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   E*wmo 2254   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   E*wrmo 2718   {crab 2719   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   {csn 3877   <.cop 3883   |^|cint 4128   class class class wbr 4292   {copab 4349   e. cmpt 4350   Oncon0 4719   `'ccnv 4839   ran crn 4841   Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   omcom 6476   1oc1o 6913   ~<_ cdom 7308   topGenctg 14376   TopBasesctb 18502   2ndcc2ndc 19042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-1o 6920  df-dom 7312  df-topgen 14382  df-2ndc 19044
This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  19061
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