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Theorem 2ndcdisj 20548
Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj |- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )
Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, J
Allowed substitution hints:   B( x)   J( y)
Proof of Theorem 2ndcdisj
Dummy variables f b w z n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 20538 . . 3 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
2 omex 8166 . . . . . . 7 |- om e. _V
32brdom 7599 . . . . . 6 |- ( b ~<_ om <-> E. f f : b -1-1-> om )
4 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ ran f
5 f1f 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b --> om )
6 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b --> om -> ran f C_ om )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : b -1-1-> om -> ran f C_ om )
87adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ran f C_ om )
94, 8syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
11 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) )
12 n0 3732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
13 tg2 20057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) )
14 omsson 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- om C_ On
159, 14syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
1615ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
17 f1fn 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( f : b -1-1-> om -> f Fn b )
1817ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f Fn b )
19 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. b )
20 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( f Fn b /\ z e. b ) -> ( f ` z ) e. ran f )
2118, 19, 20syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( f ` z ) e. ran f )
22 f1f1orn 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b -1-1-onto-> ran f )
2322ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f : b -1-1-onto-> ran f )
24 f1ocnvfv1 6193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( f : b -1-1-onto-> ran f /\ z e. b ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
2523, 19, 24syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
26 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z C_ B )
27 selpw 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( z e. ~P B <-> z C_ B )
2826, 27sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ~P B )
29 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> y e. z )
30 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y e. z -> z =/= (/) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z =/= (/) )
32 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( z e. ~P B /\ z =/= (/) ) )
3328, 31, 32sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ( ~P B \ { (/) } ) )
3425, 33eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( n = ( f ` z ) -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` ( f ` z ) ) )
3635eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n = ( f ` z ) -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
3736rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( f ` z ) e. ran f /\ ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
3821, 34, 37syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
39 rabn0 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) <-> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
4038, 39sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) )
41 onint 6641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On /\ { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
4216, 40, 41syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
4342rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4413, 43syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4544expdimp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4645exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( E. y y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4712, 46syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( B =/= (/) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4847expimpd 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4911, 48syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
5049impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
5110, 50sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
5251expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
5352ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
5453imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
5554adantrr 731 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
56 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
5756fmpt 6058 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om <-> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
5855, 57sylib 201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
59 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( `' f ` z ) = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( ( `' f ` z ) =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
60 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1o = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( 1o =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
61 1n0 7215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o =/= (/)
6259, 60, 61elimhyp 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/)
63 n0 3732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) <-> E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) )
6462, 63mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o )
65 19.29r 1744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
6664, 65mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y E* x e. A y e. B -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
67 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
6850, 67syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
6968imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
70 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n = z -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` z ) )
7170eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( n = z -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
7271elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> ( z e. ran f /\ ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
7372simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
7469, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
75 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
7674, 75sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
7776simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) =/= (/) )
7877iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) = ( `' f ` z ) )
7976simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ~P B )
8079elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) C_ B )
8178, 80eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) C_ B )
8281sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) )
8382exp31 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
8483com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
8584exp4a 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) ) )
8685com25 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) ) ) )
8786imp31 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
8887ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
8988imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
9089an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
91 rmoim 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9392expimpd 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9493exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9566, 94syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( A. y E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9695impr 631 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
97 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x w
98 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
99 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x z
10097, 98, 99nfbr 4440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z
101 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ w ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
102 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
103 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
104 df-mpt 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) }
105104eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) <-> <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } )
106 opabid 4708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
107103, 105, 1063bitri 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
108102, 107syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) )
109100, 101, 108cbvmo 2355 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
110 df-rmo 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
111109, 110bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
11296, 111sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
113112alrimiv 1781 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
114 dff12 5791 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om <-> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om /\ A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
11558, 113, 114sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om )
116 f1domg 7607 . . . . . . . . . . 11 |- ( om e. _V -> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om -> A ~<_ om ) )
1172, 115, 116mpsyl 64 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A ~<_ om )
118117ex 441 . . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
119 difeq1 3533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) = ( J \ { (/) } ) )
120119eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> B e. ( J \ { (/) } ) ) )
121120ralbidv 2829 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) ) )
122121anbi1d 719 . . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) <-> ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) )
123122imbi1d 324 . . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) <-> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
124118, 123syl5ibcom 228 . . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
125124ex 441 . . . . . . 7 |- ( b e. TopBases -> ( f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
126125exlimdv 1787 . . . . . 6 |- ( b e. TopBases -> ( E. f f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
1273, 126syl5bi 225 . . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( b ~<_ om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
128127impd 438 . . . 4 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
129128rexlimiv 2867 . . 3 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
1301, 129sylbi 200 . 2 |- ( J e. 2ndc -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
1311303impib 1229 1 |- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   E*wmo 2320   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   E*wrmo 2759   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   {csn 3959   <.cop 3965   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   {copab 4453   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   ran crn 4840   Oncon0 5430   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   omcom 6711   1oc1o 7193   ~<_ cdom 7585   topGenctg 15414   TopBasesctb 19997   2ndcc2ndc 20530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-dom 7589  df-topgen 15420  df-2ndc 20532
This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  20549
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