Theorem 2ndcdisj 17472

Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcdisj	|- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, J

Allowed substitution hints:   B( x)   J( y)

Proof of Theorem 2ndcdisj

Dummy variables f b w z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 17462	. . 3 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
2		omex 7554	. . . . . . 7 |- om e. _V
3	2	brdom 7079	. . . . . 6 |- ( b ~<_ om <-> E. f f : b -1-1-> om )
4		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ ran f
5		f1f 5598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b --> om )
6		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b --> om -> ran f C_ om )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : b -1-1-> om -> ran f C_ om )
8	7	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ran f C_ om )
9	4, 8	syl5ss 3319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
10	9	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
11		eldifsn 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) )
12		n0 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
13		tg2 16985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) )
14		omsson 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- om C_ On
15	9, 14	syl6ss 3320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
16	15	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
17		f1fn 5599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( f : b -1-1-> om -> f Fn b )
18	17	ad3antlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f Fn b )
19		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. b )
20		fnfvelrn 5826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( f Fn b /\ z e. b ) -> ( f ` z ) e. ran f )
21	18, 19, 20	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( f ` z ) e. ran f )
22		f1f1orn 5644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b -1-1-onto-> ran f )
23	22	ad3antlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f : b -1-1-onto-> ran f )
24		f1ocnvfv1 5973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( f : b -1-1-onto-> ran f /\ z e. b ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
25	23, 19, 24	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
26		simprrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z C_ B )
27		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- z e. _V
28	27	elpw 3765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( z e. ~P B <-> z C_ B )
29	26, 28	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ~P B )
30		simprrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> y e. z )
31		ne0i 3594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y e. z -> z =/= (/) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z =/= (/) )
33		eldifsn 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( z e. ~P B /\ z =/= (/) ) )
34	29, 32, 33	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ( ~P B \ { (/) } ) )
35	25, 34	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
36		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( n = ( f ` z ) -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` ( f ` z ) ) )
37	36	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n = ( f ` z ) -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
38	37	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( f ` z ) e. ran f /\ ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
39	21, 35, 38	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
40		rabn0 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) <-> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
41	39, 40	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) )
42		onint 4734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On /\ { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
43	16, 41, 42	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
44	43	rexlimdvaa 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
45	13, 44	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
46	45	expdimp 427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
47	46	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( E. y y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
48	12, 47	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( B =/= (/) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
49	48	expimpd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
50	11, 49	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
51	50	impr 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
52	10, 51	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
53	52	expr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
54	53	ralimdva 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
55	54	imp 419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
56	55	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
57		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
58	57	fmpt 5849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om <-> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
59	56, 58	sylib 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
60		neeq1 2575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( `' f ` z ) = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( ( `' f ` z ) =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
61		neeq1 2575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1o = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( 1o =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
62		1n0 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o =/= (/)
63	60, 61, 62	elimhyp 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/)
64		n0 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) <-> E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) )
65	63, 64	mpbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o )
66		19.29r 1604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
67	65, 66	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y E* x e. A y e. B -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
68		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
69	51, 68	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
70	69	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
71		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n = z -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` z ) )
72	71	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( n = z -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
73	72	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> ( z e. ran f /\ ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
74	73	simprbi 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
75	70, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
76		eldifsn 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
77	75, 76	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
78	77	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) =/= (/) )
79		iftrue 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( `' f ` z ) =/= (/) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) = ( `' f ` z ) )
80	78, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) = ( `' f ` z ) )
81	77	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ~P B )
82	81	elpwid 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) C_ B )
83	80, 82	eqsstrd 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) C_ B )
84	83	sseld 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) )
85	84	exp31 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
86	85	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
87	86	exp4a 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) ) )
88	87	com25 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) ) ) )
89	88	imp31 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
90	89	ralimdva 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
91	90	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
92	91	an32s 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
93		rmoim 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
95	94	expimpd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
96	95	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
97	67, 96	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( A. y E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
98	97	impr 603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
99		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x w
100		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
101		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x z
102	99, 100, 101	nfbr 4216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z
103		nfv 1626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ w ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
104		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
105		df-br 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
106		df-mpt 4228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) }
107	106	eleq2i 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) <-> <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } )
108		opabid 4421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
109	105, 107, 108	3bitri 263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
110	104, 109	syl6bb 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) )
111	102, 103, 110	cbvmo 2291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
112		df-rmo 2674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
113	111, 112	bitr4i 244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
114	98, 113	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
115	114	alrimiv 1638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
116		dff12 5597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om <-> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om /\ A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
117	59, 115, 116	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om )
118		f1domg 7086	. . . . . . . . . . 11 |- ( om e. _V -> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om -> A ~<_ om ) )
119	2, 117, 118	mpsyl 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A ~<_ om )
120	119	ex 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
121		difeq1 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) = ( J \ { (/) } ) )
122	121	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> B e. ( J \ { (/) } ) ) )
123	122	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) ) )
124	123	anbi1d 686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) <-> ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) )
125	124	imbi1d 309	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) <-> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
126	120, 125	syl5ibcom 212	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
127	126	ex 424	. . . . . . 7 |- ( b e. TopBases -> ( f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
128	127	exlimdv 1643	. . . . . 6 |- ( b e. TopBases -> ( E. f f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
129	3, 128	syl5bi 209	. . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( b ~<_ om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
130	129	imp3a 421	. . . 4 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
131	130	rexlimiv 2784	. . 3 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
132	1, 131	sylbi 188	. 2 |- ( J e. 2ndc -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
133	132	3impib 1151	1 |- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E*wmo 2255   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   E*wrmo 2669   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   |^|cint 4010   class class class wbr 4172   {copab 4225   e. cmpt 4226   Oncon0 4541   omcom 4804   `'ccnv 4836   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   1oc1o 6676   ~<_ cdom 7066   topGenctg 13620   TopBasesctb 16917   2ndcc2ndc 17454

This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  17473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-dom 7070  df-topgen 13622  df-2ndc 17456