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Theorem 2ndcdisj 19739
Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj |- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )
Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, J
Allowed substitution hints:   B( x)   J( y)
Proof of Theorem 2ndcdisj
Dummy variables f b w z n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 19729 . . 3 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
2 omex 8059 . . . . . . 7 |- om e. _V
32brdom 7528 . . . . . 6 |- ( b ~<_ om <-> E. f f : b -1-1-> om )
4 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ ran f
5 f1f 5780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b --> om )
6 frn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : b --> om -> ran f C_ om )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : b -1-1-> om -> ran f C_ om )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ran f C_ om )
94, 8syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ om )
11 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) )
12 n0 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
13 tg2 19249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) )
14 omsson 6683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- om C_ On
159, 14syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On )
17 f1fn 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( f : b -1-1-> om -> f Fn b )
1817ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f Fn b )
19 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. b )
20 fnfvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( f Fn b /\ z e. b ) -> ( f ` z ) e. ran f )
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( f ` z ) e. ran f )
22 f1f1orn 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( f : b -1-1-> om -> f : b -1-1-onto-> ran f )
2322ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f : b -1-1-onto-> ran f )
24 f1ocnvfv1 6169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( f : b -1-1-onto-> ran f /\ z e. b ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
2523, 19, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z )
26 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z C_ B )
27 selpw 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( z e. ~P B <-> z C_ B )
2826, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ~P B )
29 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> y e. z )
30 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y e. z -> z =/= (/) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z =/= (/) )
32 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( z e. ~P B /\ z =/= (/) ) )
3328, 31, 32sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ( ~P B \ { (/) } ) )
3425, 33eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
35 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( n = ( f ` z ) -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` ( f ` z ) ) )
3635eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n = ( f ` z ) -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
3736rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( f ` z ) e. ran f /\ ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
3821, 34, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
39 rabn0 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) <-> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) )
41 onint 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On /\ { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
4216, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
4342rexlimdvaa 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4413, 43syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4544expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4645exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( E. y y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4712, 46syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( B =/= (/) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4847expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
4911, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
5049impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
5110, 50sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
5251expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
5352ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om ) )
5453imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
5554adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om )
56 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
5756fmpt 6041 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. om <-> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
5855, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om )
59 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( `' f ` z ) = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( ( `' f ` z ) =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
60 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1o = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( 1o =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) )
61 1n0 7145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o =/= (/)
6259, 60, 61elimhyp 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/)
63 n0 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) <-> E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) )
6462, 63mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o )
65 19.29r 1661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
6664, 65mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y E* x e. A y e. B -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) )
67 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
6850, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
6968imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
70 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( n = z -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` z ) )
7170eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( n = z -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
7271elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> ( z e. ran f /\ ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) )
7372simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
7469, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) )
75 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
7674, 75sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) )
7776simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) =/= (/) )
78 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( `' f ` z ) =/= (/) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) = ( `' f ` z ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) = ( `' f ` z ) )
8076simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ~P B )
8180elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) C_ B )
8279, 81eqsstrd 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) C_ B )
8382sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) )
8483exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
8584com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) )
8685exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) ) )
8786com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) ) ) )
8887imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
8988ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) )
9089imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
9190an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) )
92 rmoim 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9493expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9594exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9666, 95syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( A. y E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
9796impr 619 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
98 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x w
99 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
100 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x z
10198, 99, 100nfbr 4491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z
102 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ w ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
103 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
104 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
105 df-mpt 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) }
106105eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) <-> <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } )
107 opabid 4754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
108104, 106, 1073bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
109103, 108syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) )
110101, 102, 109cbvmo 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
111 df-rmo 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) )
112110, 111bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } )
11397, 112sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
114113alrimiv 1695 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z )
115 dff12 5779 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om <-> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> om /\ A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) )
11658, 114, 115sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om )
117 f1domg 7535 . . . . . . . . . . 11 |- ( om e. _V -> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> om -> A ~<_ om ) )
1182, 116, 117mpsyl 63 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A ~<_ om )
119118ex 434 . . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
120 difeq1 3615 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) = ( J \ { (/) } ) )
121120eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> B e. ( J \ { (/) } ) ) )
122121ralbidv 2903 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) ) )
123122anbi1d 704 . . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) <-> ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) )
124123imbi1d 317 . . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) <-> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
125119, 124syl5ibcom 220 . . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
126125ex 434 . . . . . . 7 |- ( b e. TopBases -> ( f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
127126exlimdv 1700 . . . . . 6 |- ( b e. TopBases -> ( E. f f : b -1-1-> om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
1283, 127syl5bi 217 . . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( b ~<_ om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) ) )
129128impd 431 . . . 4 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) ) )
130129rexlimiv 2949 . . 3 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
1311, 130sylbi 195 . 2 |- ( J e. 2ndc -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om ) )
1321313impib 1194 1 |- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E*wmo 2276   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   E*wrmo 2817   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   <.cop 4033   |^|cint 4282   class class class wbr 4447   {copab 4504   |-> cmpt 4505   Oncon0 4878   `'ccnv 4998   ran crn 5000   Fn wfn 5582   -->wf 5583   -1-1->wf1 5584   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587   omcom 6679   1oc1o 7123   ~<_ cdom 7514   topGenctg 14692   TopBasesctb 19181   2ndcc2ndc 19721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-om 6680  df-1o 7130  df-dom 7518  df-topgen 14698  df-2ndc 19723
This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  19740
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