Theorem 2ndc1stc 19711

Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
2ndc1stc	|- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Proof of Theorem 2ndc1stc

Dummy variables o b p q s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndctop 19707	. 2 |- ( J e. 2ndc -> J e. Top )
2		is2ndc 19706	. . . 4 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
3		ssrab2 3578	. . . . . . . . . . 11 |- { q e. b | x e. q } C_ b
4		bastg 19227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> b C_ ( topGen ` b ) )
5	4	3ad2ant1 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b C_ ( topGen ` b ) )
6	3, 5	syl5ss 3508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
7		fvex 5867	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` b ) e. _V
8	7	elpw2 4604	. . . . . . . . . 10 |- ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) <-> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
9	6, 8	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) )
10		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
11		ssdomg 7551	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. _V -> ( { q e. b | x e. q } C_ b -> { q e. b | x e. q } ~<_ b ) )
12	10, 3, 11	mp2 9	. . . . . . . . . 10 |- { q e. b | x e. q } ~<_ b
13		simp2 992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b ~<_ om )
14		domtr 7558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { q e. b | x e. q } ~<_ b /\ b ~<_ om ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
15	12, 13, 14	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
16		eltg2b 19220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
17	16	3ad2ant1 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
18		elequ1 1765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y e. t <-> x e. t ) )
19	18	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( y e. t /\ t C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
20	19	rexbidv 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) <-> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
21	20	rspccv 3204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. b /\ x e. t ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
23	22	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
24		elequ2 1767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = t -> ( x e. q <-> x e. t ) )
25	24	elrab 3254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. { q e. b | x e. q } <-> ( t e. b /\ x e. t ) )
26	23, 25	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
28		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> ( x e. t /\ t C_ o ) )
29		elequ2 1767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( x e. p <-> x e. t ) )
30		sseq1 3518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( p C_ o <-> t C_ o ) )
31	29, 30	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = t -> ( ( x e. p /\ p C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
32	31	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. { q e. b | x e. q } /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
33	27, 28, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
34	33	rexlimdvaa 2949	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
35	21, 34	syl9r 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
36	17, 35	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
37	36	ralrimiv 2869	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
38		breq1 4443	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( s ~<_ om <-> { q e. b | x e. q } ~<_ om ) )
39		rexeq 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) <-> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
40	39	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
41	40	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
42	38, 41	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
43	42	rspcev 3207	. . . . . . . . 9 |- ( ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) /\ ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
44	9, 15, 37, 43	syl12anc 1221	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
45	44	3expia 1193	. . . . . . 7 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
46		unieq 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> U. ( topGen ` b ) = U. J )
47	46	eleq2d 2530	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. ( topGen ` b ) <-> x e. U. J ) )
48		pweq 4006	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ~P ( topGen ` b ) = ~P J )
49		raleq 3051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
50	49	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
51	48, 50	rexeqbidv 3066	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
52	47, 51	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) <-> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
53	45, 52	syl5ibcom 220	. . . . . 6 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
54	53	expimpd 603	. . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
55	54	rexlimiv 2942	. . . 4 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
56	2, 55	sylbi 195	. . 3 |- ( J e. 2ndc -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
57	56	ralrimiv 2869	. 2 |- ( J e. 2ndc -> A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
58		eqid 2460	. . 3 |- U. J = U. J
59	58	is1stc2 19702	. 2 |- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
60	1, 57, 59	sylanbrc 664	1 |- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   omcom 6671   ~<_ cdom 7504   topGenctg 14682   Topctop 19154   TopBasesctb 19158   1stcc1stc 19697   2ndcc2ndc 19698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-dom 7508  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-1stc 19699  df-2ndc 19700

This theorem is referenced by:  dis1stc  19759