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Theorem 2ndc1stc 19055
Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
2ndc1stc  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
1stc )

Proof of Theorem 2ndc1stc
Dummy variables  o 
b  p  q  s  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndctop 19051 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
Top )
2 is2ndc 19050 . . . 4  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
3 ssrab2 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  b
4 bastg 18571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  b  C_  ( topGen `
 b ) )
543ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  b  C_  ( topGen `  b )
)
63, 5syl5ss 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  ( topGen `
 b ) )
7 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen `  b )  e.  _V
87elpw2 4456 . . . . . . . . . 10  |-  ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  e.  ~P ( topGen `  b )  <->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  ( topGen `
 b ) )
96, 8sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  e.  ~P ( topGen `  b )
)
10 vex 2975 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
11 ssdomg 7355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  _V  ->  ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  b  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  b ) )
1210, 3, 11mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  b
13 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  b  ~<_  om )
14 domtr 7362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om )
1512, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om )
16 eltg2b 18564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( o  e.  ( topGen `  b )  <->  A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )
17163ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( o  e.  ( topGen `  b )  <->  A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )
18 elequ1 1759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  t  <->  x  e.  t ) )
1918anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  t  /\  t  C_  o
)  <->  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )
2019rexbidv 2736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( E. t  e.  b 
( y  e.  t  /\  t  C_  o
)  <->  E. t  e.  b  ( x  e.  t  /\  t  C_  o
) ) )
2120rspccv 3070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o )  -> 
( x  e.  o  ->  E. t  e.  b  ( x  e.  t  /\  t  C_  o
) ) )
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  b  /\  x  e.  t )  ->  ( t  e.  b  /\  x  e.  t ) )
2322adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) )  ->  ( t  e.  b  /\  x  e.  t ) )
24 elequ2 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  t  ->  (
x  e.  q  <->  x  e.  t ) )
2524elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  <->  ( t  e.  b  /\  x  e.  t ) )
2623, 25sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) )  ->  t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q } )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b
) )  /\  (
t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )  ->  t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q } )
28 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b
) )  /\  (
t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )  ->  (
x  e.  t  /\  t  C_  o ) )
29 elequ2 1761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  t  ->  (
x  e.  p  <->  x  e.  t ) )
30 sseq1 3377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  t  ->  (
p  C_  o  <->  t  C_  o ) )
3129, 30anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  t  ->  (
( x  e.  p  /\  p  C_  o )  <-> 
( x  e.  t  /\  t  C_  o
) ) )
3231rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )
3327, 28, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b
) )  /\  (
t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )
3433rexlimdvaa 2842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( E. t  e.  b  (
x  e.  t  /\  t  C_  o )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )
3521, 34syl9r 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o )  -> 
( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
3617, 35sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( o  e.  ( topGen `  b )  ->  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
3736ralrimiv 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )
38 breq1 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  (
s  ~<_  om  <->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om ) )
39 rexeq 2918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  ( E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o )  <->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )
4039imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  (
( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )  <->  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
4140ralbidv 2735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  ( A. o  e.  ( topGen `
 b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )  <->  A. o  e.  (
topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
4238, 41anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  (
( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )  <-> 
( { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
4342rspcev 3073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  e.  ~P ( topGen `
 b )  /\  ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b )
( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
449, 15, 37, 43syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b
) ( s  ~<_  om 
/\  A. o  e.  (
topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
45443expia 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( x  e.  U. ( topGen `  b )  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b
) ( s  ~<_  om 
/\  A. o  e.  (
topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
46 unieq 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. J )
4746eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( x  e.  U. ( topGen `  b
)  <->  x  e.  U. J
) )
48 pweq 3863 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ~P ( topGen `
 b )  =  ~P J )
49 raleq 2917 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
5049anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )  <->  ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
5148, 50rexeqbidv 2932 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( E. s  e.  ~P  ( topGen `
 b ) ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )  <->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
5247, 51imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
x  e.  U. ( topGen `
 b )  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b )
( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )  <->  ( x  e. 
U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) ) )
5345, 52syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) ) )
5453expimpd 603 . . . . 5  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) ) )
5554rexlimiv 2835 . . . 4  |-  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
562, 55sylbi 195 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om 
/\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
5756ralrimiv 2798 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  A. x  e.  U. J E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
58 eqid 2443 . . 3  |-  U. J  =  U. J
5958is1stc2 19046 . 2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
601, 57, 59sylanbrc 664 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
1stc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   omcom 6476    ~<_ cdom 7308   topGenctg 14376   Topctop 18498   TopBasesctb 18502   1stcc1stc 19041   2ndcc2ndc 19042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-dom 7312  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-1stc 19043  df-2ndc 19044
This theorem is referenced by:  dis1stc  19103
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