Theorem 2ndc1stc 20121

Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
2ndc1stc	|- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Proof of Theorem 2ndc1stc

Dummy variables o b p q s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndctop 20117	. 2 |- ( J e. 2ndc -> J e. Top )
2		is2ndc 20116	. . . 4 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
3		ssrab2 3571	. . . . . . . . . . 11 |- { q e. b | x e. q } C_ b
4		bastg 19637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> b C_ ( topGen ` b ) )
5	4	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b C_ ( topGen ` b ) )
6	3, 5	syl5ss 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
7		fvex 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` b ) e. _V
8	7	elpw2 4601	. . . . . . . . . 10 |- ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) <-> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
9	6, 8	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) )
10		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
11		ssdomg 7554	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. _V -> ( { q e. b | x e. q } C_ b -> { q e. b | x e. q } ~<_ b ) )
12	10, 3, 11	mp2 9	. . . . . . . . . 10 |- { q e. b | x e. q } ~<_ b
13		simp2 995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b ~<_ om )
14		domtr 7561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { q e. b | x e. q } ~<_ b /\ b ~<_ om ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
15	12, 13, 14	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
16		eltg2b 19630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
17	16	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
18		elequ1 1826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y e. t <-> x e. t ) )
19	18	anbi1d 702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( y e. t /\ t C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
20	19	rexbidv 2965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) <-> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
21	20	rspccv 3204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. b /\ x e. t ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
23	22	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
24		elequ2 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = t -> ( x e. q <-> x e. t ) )
25	24	elrab 3254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. { q e. b | x e. q } <-> ( t e. b /\ x e. t ) )
26	23, 25	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
27	26	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
28		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> ( x e. t /\ t C_ o ) )
29		elequ2 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( x e. p <-> x e. t ) )
30		sseq1 3510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( p C_ o <-> t C_ o ) )
31	29, 30	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = t -> ( ( x e. p /\ p C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
32	31	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. { q e. b | x e. q } /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
33	27, 28, 32	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
34	33	rexlimdvaa 2947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
35	21, 34	syl9r 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
36	17, 35	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
37	36	ralrimiv 2866	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
38		breq1 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( s ~<_ om <-> { q e. b | x e. q } ~<_ om ) )
39		rexeq 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) <-> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
40	39	imbi2d 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
41	40	ralbidv 2893	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
42	38, 41	anbi12d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
43	42	rspcev 3207	. . . . . . . . 9 |- ( ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) /\ ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
44	9, 15, 37, 43	syl12anc 1224	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
45	44	3expia 1196	. . . . . . 7 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
46		unieq 4243	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> U. ( topGen ` b ) = U. J )
47	46	eleq2d 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. ( topGen ` b ) <-> x e. U. J ) )
48		pweq 4002	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ~P ( topGen ` b ) = ~P J )
49		raleq 3051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
50	49	anbi2d 701	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
51	48, 50	rexeqbidv 3066	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
52	47, 51	imbi12d 318	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) <-> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
53	45, 52	syl5ibcom 220	. . . . . 6 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
54	53	expimpd 601	. . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
55	54	rexlimiv 2940	. . . 4 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
56	2, 55	sylbi 195	. . 3 |- ( J e. 2ndc -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
57	56	ralrimiv 2866	. 2 |- ( J e. 2ndc -> A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
58		eqid 2454	. . 3 |- U. J = U. J
59	58	is1stc2 20112	. 2 |- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
60	1, 57, 59	sylanbrc 662	1 |- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   omcom 6673   ~<_ cdom 7507   topGenctg 14930   Topctop 19564   TopBasesctb 19568   1stcc1stc 20107   2ndcc2ndc 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-dom 7511  df-topgen 14936  df-top 19569  df-bases 19571  df-1stc 20109  df-2ndc 20110

This theorem is referenced by:  dis1stc  20169