Theorem 2ndc1stc 20543

Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
2ndc1stc	|- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Proof of Theorem 2ndc1stc

Dummy variables o b p q s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndctop 20539	. 2 |- ( J e. 2ndc -> J e. Top )
2		is2ndc 20538	. . . 4 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
3		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . 11 |- { q e. b | x e. q } C_ b
4		bastg 20058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> b C_ ( topGen ` b ) )
5	4	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b C_ ( topGen ` b ) )
6	3, 5	syl5ss 3429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
7		fvex 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` b ) e. _V
8	7	elpw2 4565	. . . . . . . . . 10 |- ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) <-> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
9	6, 8	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) )
10		vex 3034	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
11		ssdomg 7633	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. _V -> ( { q e. b | x e. q } C_ b -> { q e. b | x e. q } ~<_ b ) )
12	10, 3, 11	mp2 9	. . . . . . . . . 10 |- { q e. b | x e. q } ~<_ b
13		simp2 1031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b ~<_ om )
14		domtr 7640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { q e. b | x e. q } ~<_ b /\ b ~<_ om ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
15	12, 13, 14	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
16		eltg2b 20051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
17	16	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
18		elequ1 1911	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y e. t <-> x e. t ) )
19	18	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( y e. t /\ t C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
20	19	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) <-> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
21	20	rspccv 3133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. b /\ x e. t ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
23	22	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
24		elequ2 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = t -> ( x e. q <-> x e. t ) )
25	24	elrab 3184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. { q e. b | x e. q } <-> ( t e. b /\ x e. t ) )
26	23, 25	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
27	26	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
28		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> ( x e. t /\ t C_ o ) )
29		elequ2 1918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( x e. p <-> x e. t ) )
30		sseq1 3439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( p C_ o <-> t C_ o ) )
31	29, 30	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = t -> ( ( x e. p /\ p C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
32	31	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. { q e. b | x e. q } /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
33	27, 28, 32	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
34	33	rexlimdvaa 2872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
35	21, 34	syl9r 73	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
36	17, 35	sylbid 223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
37	36	ralrimiv 2808	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
38		breq1 4398	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( s ~<_ om <-> { q e. b | x e. q } ~<_ om ) )
39		rexeq 2974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) <-> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
40	39	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
41	40	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
42	38, 41	anbi12d 725	. . . . . . . . . 10 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
43	42	rspcev 3136	. . . . . . . . 9 |- ( ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) /\ ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
44	9, 15, 37, 43	syl12anc 1290	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
45	44	3expia 1233	. . . . . . 7 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
46		unieq 4198	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> U. ( topGen ` b ) = U. J )
47	46	eleq2d 2534	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. ( topGen ` b ) <-> x e. U. J ) )
48		pweq 3945	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ~P ( topGen ` b ) = ~P J )
49		raleq 2973	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
50	49	anbi2d 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
51	48, 50	rexeqbidv 2988	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
52	47, 51	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) <-> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
53	45, 52	syl5ibcom 228	. . . . . 6 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
54	53	expimpd 614	. . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
55	54	rexlimiv 2867	. . . 4 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
56	2, 55	sylbi 200	. . 3 |- ( J e. 2ndc -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
57	56	ralrimiv 2808	. 2 |- ( J e. 2ndc -> A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
58		eqid 2471	. . 3 |- U. J = U. J
59	58	is1stc2 20534	. 2 |- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
60	1, 57, 59	sylanbrc 677	1 |- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   omcom 6711   ~<_ cdom 7585   topGenctg 15414   Topctop 19994   TopBasesctb 19997   1stcc1stc 20529   2ndcc2ndc 20530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-dom 7589  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-1stc 20531  df-2ndc 20532

This theorem is referenced by:  dis1stc  20591