Theorem 2ndc1stc 20459

Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
2ndc1stc	|- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Proof of Theorem 2ndc1stc

Dummy variables o b p q s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndctop 20455	. 2 |- ( J e. 2ndc -> J e. Top )
2		is2ndc 20454	. . . 4 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
3		ssrab2 3513	. . . . . . . . . . 11 |- { q e. b | x e. q } C_ b
4		bastg 19974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> b C_ ( topGen ` b ) )
5	4	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b C_ ( topGen ` b ) )
6	3, 5	syl5ss 3442	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
7		fvex 5873	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` b ) e. _V
8	7	elpw2 4566	. . . . . . . . . 10 |- ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) <-> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
9	6, 8	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) )
10		vex 3047	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
11		ssdomg 7612	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. _V -> ( { q e. b | x e. q } C_ b -> { q e. b | x e. q } ~<_ b ) )
12	10, 3, 11	mp2 9	. . . . . . . . . 10 |- { q e. b | x e. q } ~<_ b
13		simp2 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b ~<_ om )
14		domtr 7619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { q e. b | x e. q } ~<_ b /\ b ~<_ om ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
15	12, 13, 14	sylancr 668	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
16		eltg2b 19967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
17	16	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
18		elequ1 1893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y e. t <-> x e. t ) )
19	18	anbi1d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( y e. t /\ t C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
20	19	rexbidv 2900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) <-> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
21	20	rspccv 3146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. b /\ x e. t ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
23	22	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
24		elequ2 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = t -> ( x e. q <-> x e. t ) )
25	24	elrab 3195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. { q e. b | x e. q } <-> ( t e. b /\ x e. t ) )
26	23, 25	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
27	26	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
28		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> ( x e. t /\ t C_ o ) )
29		elequ2 1900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( x e. p <-> x e. t ) )
30		sseq1 3452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( p C_ o <-> t C_ o ) )
31	29, 30	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = t -> ( ( x e. p /\ p C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
32	31	rspcev 3149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. { q e. b | x e. q } /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
33	27, 28, 32	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
34	33	rexlimdvaa 2879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
35	21, 34	syl9r 74	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
36	17, 35	sylbid 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
37	36	ralrimiv 2799	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
38		breq1 4404	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( s ~<_ om <-> { q e. b | x e. q } ~<_ om ) )
39		rexeq 2987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) <-> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
40	39	imbi2d 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
41	40	ralbidv 2826	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
42	38, 41	anbi12d 716	. . . . . . . . . 10 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
43	42	rspcev 3149	. . . . . . . . 9 |- ( ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) /\ ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
44	9, 15, 37, 43	syl12anc 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
45	44	3expia 1209	. . . . . . 7 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
46		unieq 4205	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> U. ( topGen ` b ) = U. J )
47	46	eleq2d 2513	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. ( topGen ` b ) <-> x e. U. J ) )
48		pweq 3953	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ~P ( topGen ` b ) = ~P J )
49		raleq 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
50	49	anbi2d 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
51	48, 50	rexeqbidv 3001	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
52	47, 51	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) <-> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
53	45, 52	syl5ibcom 224	. . . . . 6 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
54	53	expimpd 607	. . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
55	54	rexlimiv 2872	. . . 4 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
56	2, 55	sylbi 199	. . 3 |- ( J e. 2ndc -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
57	56	ralrimiv 2799	. 2 |- ( J e. 2ndc -> A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
58		eqid 2450	. . 3 |- U. J = U. J
59	58	is1stc2 20450	. 2 |- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
60	1, 57, 59	sylanbrc 669	1 |- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   ` cfv 5581   omcom 6689   ~<_ cdom 7564   topGenctg 15329   Topctop 19910   TopBasesctb 19913   1stcc1stc 20445   2ndcc2ndc 20446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-dom 7568  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-1stc 20447  df-2ndc 20448

This theorem is referenced by:  dis1stc  20507