Theorem 2nd2val 4154

Description: Value of an alternate definition of the 2nd function.

Assertion

Ref	Expression
2nd2val	|- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem 2nd2val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1860	. . . . . 6 |- w e. V
2		visset 1860	. . . . . 6 |- v e. V
3	1, 2	op2nd 4144	. . . . 5 |- (2nd` <.w, v>.) = v
4		eqidd 1523	. . . . . . 7 |- (x = w -> y = y)
5		id 59	. . . . . . 7 |- (y = v -> y = v)
6		eqid 1522	. . . . . . 7 |- {<.<.x, y>., z>. | z = y} = {<.<.x, y>., z>. | z = y}
7	2, 4, 5, 6	oprabval5 4087	. . . . . 6 |- ((w e. V /\ v e. V) -> (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = v)
8	1, 2, 7	mp2an 709	. . . . 5 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = v
9		df-opr 4023	. . . . 5 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.)
10	3, 8, 9	3eqtr2ri 1549	. . . 4 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = (2nd` <.w, v>.)
11		fveq2 3781	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A))
12		fveq2 3781	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> (2nd` <.w, v>.) = (2nd` A))
13	11, 12	eqeq12d 1536	. . . 4 |- (<.w, v>. = A -> (({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = (2nd` <.w, v>.) <-> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)))
14	10, 13	mpbii 200	. . 3 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
15	14	19.23aivv 1338	. 2 |- (E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
16		visset 1860	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
17		visset 1860	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
18	16, 17	pm3.2i 292	. . . . . . . . . 10 |- (x e. V /\ y e. V)
19		a9e 1166	. . . . . . . . . 10 |- E.z z = y
20	18, 19	2th 730	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ y e. V) <-> E.z z = y)
21	20	opabbii 2726	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)} = {<.x, y>. | E.z z = y}
22		df-xp 3241	. . . . . . . 8 |- (V X. V) = {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)}
23		dmoprab 4060	. . . . . . . 8 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} = {<.x, y>. | E.z z = y}
24	21, 22, 23	3eqtr4ri 1553	. . . . . . 7 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} = (V X. V)
25	24	eleq2i 1585	. . . . . 6 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> A e. (V X. V))
26		elvv 3285	. . . . . 6 |- (A e. (V X. V) <-> E.wE.v A = <.w, v>.)
27		eqcom 1524	. . . . . . 7 |- (A = <.w, v>. <-> <.w, v>. = A)
28	27	2exbii 1093	. . . . . 6 |- (E.wE.v A = <.w, v>. <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
29	25, 26, 28	3bitri 184	. . . . 5 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
30	29	notbii 194	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> -. E.wE.v<.w, v>. = A)
31		ndmfv 3802	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (/))
32	30, 31	sylbir 208	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (/))
33		n0 2341	. . . . . . . . 9 |- (-. ran { A} = (/) <-> E.v v e. ran { A})
34	2	elrn2 3406	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. ran { A} <-> E.w<.w, v>. e. {A})
35		opex 2838	. . . . . . . . . . . . 13 |- <.w, v>. e. V
36	35	elsnc 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, v>. e. {A} <-> <.w, v>. = A)
37	36	exbii 1092	. . . . . . . . . . 11 |- (E.w<.w, v>. e. {A} <-> E.w<.w, v>. = A)
38	34, 37	bitri 180	. . . . . . . . . 10 |- (v e. ran { A} <-> E.w<.w, v>. = A)
39	38	exbii 1092	. . . . . . . . 9 |- (E.v v e. ran { A} <-> E.vE.w<.w, v>. = A)
40		excom 1087	. . . . . . . . 9 |- (E.vE.w<.w, v>. = A <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
41	33, 39, 40	3bitri 184	. . . . . . . 8 |- (-. ran { A} = (/) <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
42	41	biimpi 158	. . . . . . 7 |- (-. ran { A} = (/) -> E.wE.v<.w, v>. = A)
43	42	con1i 100	. . . . . 6 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ran { A} = (/))
44	43	unieqd 2566	. . . . 5 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.ran { A} = U.(/))
45		uni0 2579	. . . . 5 |- U.(/) = (/)
46	44, 45	syl6eq 1570	. . . 4 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.ran { A} = (/))
47		2ndval 4140	. . . 4 |- (2nd` A) = U.ran { A}
48	46, 47	syl5eq 1566	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> (2nd` A) = (/))
49	32, 48	eqtr4d 1557	. 2 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
50	15, 49	pm2.61i 132	1 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  Vcvv 1858  (/)c0 2331  {csn 2461  <.cop 2463  U.cuni 2557  {copab 2721   X. cxp 3225  dom cdm 3227  ran crn 3228  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  {copab2 4022  2ndc2nd 4136

This theorem is referenced by:  df2nd2 4185

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fv 3255  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-2nd 4138

Copyright terms: Public domain