Theorem 2nd2val 5039

Description: Value of an alternate definition of the 2nd function.

Assertion

Ref	Expression
2nd2val	|- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem 2nd2val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4053	. . 3 |- (A e. (_V X. _V) <-> E.wE.v A = <.w, v>.)
2		visset 2295	. . . . . . 7 |- w e. _V
3		visset 2295	. . . . . . 7 |- v e. _V
4	2, 3	op2nd 5027	. . . . . 6 |- (2nd` <.w, v>.) = v
5		eqidd 1885	. . . . . . . 8 |- (x = w -> y = y)
6		id 73	. . . . . . . 8 |- (y = v -> y = v)
7		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- {<.<.x, y>., z>. | z = y} = {<.<.x, y>., z>. | z = y}
8	3, 5, 6, 7	oprabval5 4958	. . . . . . 7 |- ((w e. _V /\ v e. _V) -> (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = v)
9	2, 3, 8	mp2an 761	. . . . . 6 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = v
10		df-opr 4886	. . . . . 6 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.)
11	4, 9, 10	3eqtr2ri 1916	. . . . 5 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = (2nd` <.w, v>.)
12		fveq2 4681	. . . . 5 |- (A = <.w, v>. -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.))
13		fveq2 4681	. . . . 5 |- (A = <.w, v>. -> (2nd` A) = (2nd` <.w, v>.))
14	11, 12, 13	3eqtr4a 1954	. . . 4 |- (A = <.w, v>. -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
15	14	19.23aivv 1675	. . 3 |- (E.wE.v A = <.w, v>. -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
16	1, 15	sylbi 216	. 2 |- (A e. (_V X. _V) -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
17		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
18		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
19	17, 18	pm3.2i 307	. . . . . . . . . 10 |- (x e. _V /\ y e. _V)
20		a9e 1483	. . . . . . . . . 10 |- E.z z = y
21	19, 20	2th 786	. . . . . . . . 9 |- ((x e. _V /\ y e. _V) <-> E.z z = y)
22	21	opabbii 3402	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | (x e. _V /\ y e. _V)} = {<.x, y>. | E.z z = y}
23		df-xp 4000	. . . . . . . 8 |- (_V X. _V) = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y e. _V)}
24		dmoprab 4931	. . . . . . . 8 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} = {<.x, y>. | E.z z = y}
25	22, 23, 24	3eqtr4ri 1923	. . . . . . 7 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} = (_V X. _V)
26	25	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> A e. (_V X. _V))
27	26	notbii 204	. . . . 5 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> -. A e. (_V X. _V))
28		ndmfv 4702	. . . . 5 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (/))
29	27, 28	sylbir 218	. . . 4 |- (-. A e. (_V X. _V) -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (/))
30		rnsnn0 4364	. . . . . . . 8 |- (A e. (_V X. _V) <-> ran { A} =/= (/))
31	30	biimpri 169	. . . . . . 7 |- (ran { A} =/= (/) -> A e. (_V X. _V))
32	31	necon1bi 2048	. . . . . 6 |- (-. A e. (_V X. _V) -> ran { A} = (/))
33	32	unieqd 3188	. . . . 5 |- (-. A e. (_V X. _V) -> U.ran { A} = U.(/))
34		uni0 3205	. . . . 5 |- U.(/) = (/)
35	33, 34	syl6eq 1944	. . . 4 |- (-. A e. (_V X. _V) -> U.ran { A} = (/))
36	29, 35	eqtr4d 1928	. . 3 |- (-. A e. (_V X. _V) -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = U.ran { A})
37		2ndval 5023	. . 3 |- (2nd` A) = U.ran { A}
38	36, 37	syl6eqr 1946	. 2 |- (-. A e. (_V X. _V) -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
39	16, 38	pm2.61i 140	1 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  2ndc2nd 5019

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-2nd 5021

Copyright terms: Public domain