MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2mwlk Structured version   Unicode version

Theorem 2mwlk 23574
Description: The two mappings determining a walk (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
2mwlk  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )

Proof of Theorem 2mwlk
Dummy variables  k 
e  f  p  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wlk 23562 . . 3  |- Walks  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ( f  e. Word  dom  e  /\  p : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> v  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( e `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 k ) ,  ( p `  (
k  +  1 ) ) } ) } )
21brovmpt2ex 6846 . 2  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
3 iswlk 23573 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
4 3simpa 985 . . 3  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
53, 4syl6bi 228 . 2  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) ) )
62, 5mpcom 36 1  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072   {cpr 3982   class class class wbr 4395   dom cdm 4943   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391   ...cfz 11549  ..^cfzo 11660   #chash 12215  Word cword 12334   Walks cwalk 23552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-word 12342  df-wlk 23562
This theorem is referenced by:  wlkres  23575  wlkbprop  23580  wlkonwlk  23581  spthispth  23619  pthdepisspth  23620  spthonepeq  23633  redwlklem  23651  crcts  23655  cycls  23656  cyclnspth  23664  cyclispthon  23666  wlkn0  30422  wlklenpislenfp1  30426  wlklenfislenpm1  30427  wlkv0  30434  usgra2wlkspth  30441  wlklniswwlkn1  30476  wlklniswwlkn2  30477  el2wlkonotlem  30524
  Copyright terms: Public domain W3C validator