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Theorem 2mo2 2372
Description: This theorem extends the idea of "at most one" to expressions in two set variables ("at most one pair  x and  y". Note: this is not expressed by  E* x E* y ph). 2eu4 2380 relates this extension to double existential uniqueness, if at least one pair exists. (Contributed by Wolf Lammen, 26-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
2mo2  |-  ( ( E* x E. y ph  /\  E* y E. x ph )  <->  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w    ph, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2mo2
StepHypRef Expression
1 eeanv 1989 . 2  |-  ( E. z E. w ( A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
2 jcab 863 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( ( ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
322albii 1642 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x A. y ( ( ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
4 19.26-2 1682 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( (
ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y (
ph  ->  y  =  w ) ) )
5 19.23v 1761 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  <->  ( E. y ph  ->  x  =  z ) )
65albii 1641 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  <->  A. x ( E. y ph  ->  x  =  z ) )
7 alcom 1846 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. y A. x (
ph  ->  y  =  w ) )
8 19.23v 1761 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ph  ->  y  =  w )  <->  ( E. x ph  ->  y  =  w ) )
98albii 1641 . . . . . 6  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) )
107, 9bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) )
116, 10anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. x
( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
123, 4, 113bitri 271 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y
( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
13122exbii 1669 . 2  |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z E. w ( A. x
( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
14 mo2v 2290 . . 3  |-  ( E* x E. y ph  <->  E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z ) )
15 mo2v 2290 . . 3  |-  ( E* y E. x ph  <->  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) )
1614, 15anbi12i 697 . 2  |-  ( ( E* x E. y ph  /\  E* y E. x ph )  <->  ( E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
171, 13, 163bitr4ri 278 1  |-  ( ( E* x E. y ph  /\  E* y E. x ph )  <->  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393   E.wex 1613   E*wmo 2284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1614  df-nf 1618  df-eu 2287  df-mo 2288
This theorem is referenced by:  2mo  2373  2moOLD  2374  2eu4  2380
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