Theorem 2mo2 2372

Description: This theorem extends the idea of "at most one" to expressions in two set variables ("at most one pair x and y". Note: this is not expressed by E* x E* y ph). 2eu4 2380 relates this extension to double existential uniqueness, if at least one pair exists. (Contributed by Wolf Lammen, 26-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2mo2	|- ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) <-> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w   ph, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem 2mo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eeanv 1989	. 2 |- ( E. z E. w ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) <-> ( E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
2		jcab 863	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( ( ph -> x = z ) /\ ( ph -> y = w ) ) )
3	2	2albii 1642	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x A. y ( ( ph -> x = z ) /\ ( ph -> y = w ) ) )
4		19.26-2 1682	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( ph -> x = z ) /\ ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. x A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
5		19.23v 1761	. . . . . 6 |- ( A. y ( ph -> x = z ) <-> ( E. y ph -> x = z ) )
6	5	albii 1641	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ph -> x = z ) <-> A. x ( E. y ph -> x = z ) )
7		alcom 1846	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ph -> y = w ) <-> A. y A. x ( ph -> y = w ) )
8		19.23v 1761	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ph -> y = w ) <-> ( E. x ph -> y = w ) )
9	8	albii 1641	. . . . . 6 |- ( A. y A. x ( ph -> y = w ) <-> A. y ( E. x ph -> y = w ) )
10	7, 9	bitri 249	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ph -> y = w ) <-> A. y ( E. x ph -> y = w ) )
11	6, 10	anbi12i 697	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
12	3, 4, 11	3bitri 271	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
13	12	2exbii 1669	. 2 |- ( E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> E. z E. w ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
14		mo2v 2290	. . 3 |- ( E* x E. y ph <-> E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) )
15		mo2v 2290	. . 3 |- ( E* y E. x ph <-> E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) )
16	14, 15	anbi12i 697	. 2 |- ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) <-> ( E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
17	1, 13, 16	3bitr4ri 278	1 |- ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) <-> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   E.wex 1613   E*wmo 2284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1614  df-nf 1618  df-eu 2287  df-mo 2288

This theorem is referenced by:  2mo  2373  2moOLD  2374  2eu4  2380