Theorem 2mo 2400

Description: Two equivalent expressions for double "at most one." (Contributed by NM, 2-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 2-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2mo	|- ( E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w   ph, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem 2mo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2mo2 2399	. . . 4 |- ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) <-> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
2		nfmo1 2330	. . . . . . 7 |- F/ x E* x E. y ph
3		nfe1 1935	. . . . . . . 8 |- F/ x E. x ph
4	3	nfmo 2336	. . . . . . 7 |- F/ x E* y E. x ph
5	2, 4	nfan 2031	. . . . . 6 |- F/ x ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph )
6		nfe1 1935	. . . . . . . . 9 |- F/ y E. y ph
7	6	nfmo 2336	. . . . . . . 8 |- F/ y E* x E. y ph
8		nfmo1 2330	. . . . . . . 8 |- F/ y E* y E. x ph
9	7, 8	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ y ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph )
10		19.8a 1955	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. y ph )
11		spsbe 1809	. . . . . . . . . 10 |- ( [ w / y ] ph -> E. y ph )
12	11	sbimi 1811	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ph -> [ z / x ] E. y ph )
13		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z E. y ph
14	13	mo3 2356	. . . . . . . . . . 11 |- ( E* x E. y ph <-> A. x A. z ( ( E. y ph /\ [ z / x ] E. y ph ) -> x = z ) )
15	14	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( E* x E. y ph -> A. x A. z ( ( E. y ph /\ [ z / x ] E. y ph ) -> x = z ) )
16	15	19.21bbi 1968	. . . . . . . . 9 |- ( E* x E. y ph -> ( ( E. y ph /\ [ z / x ] E. y ph ) -> x = z ) )
17	10, 12, 16	syl2ani 668	. . . . . . . 8 |- ( E* x E. y ph -> ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> x = z ) )
18		19.8a 1955	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. x ph )
19		sbcom2 2294	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ph <-> [ w / y ] [ z / x ] ph )
20		spsbe 1809	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] ph -> E. x ph )
21	20	sbimi 1811	. . . . . . . . . 10 |- ( [ w / y ] [ z / x ] ph -> [ w / y ] E. x ph )
22	19, 21	sylbi 200	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ph -> [ w / y ] E. x ph )
23		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ w E. x ph
24	23	mo3 2356	. . . . . . . . . . 11 |- ( E* y E. x ph <-> A. y A. w ( ( E. x ph /\ [ w / y ] E. x ph ) -> y = w ) )
25	24	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( E* y E. x ph -> A. y A. w ( ( E. x ph /\ [ w / y ] E. x ph ) -> y = w ) )
26	25	19.21bbi 1968	. . . . . . . . 9 |- ( E* y E. x ph -> ( ( E. x ph /\ [ w / y ] E. x ph ) -> y = w ) )
27	18, 22, 26	syl2ani 668	. . . . . . . 8 |- ( E* y E. x ph -> ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> y = w ) )
28	17, 27	anim12ii 580	. . . . . . 7 |- ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) -> ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )
29	9, 28	alrimi 1975	. . . . . 6 |- ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) -> A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )
30	5, 29	alrimi 1975	. . . . 5 |- ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )
31	30	alrimivv 1782	. . . 4 |- ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) -> A. z A. w A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )
32	1, 31	sylbir 218	. . 3 |- ( E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) -> A. z A. w A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )
33		nfs1v 2286	. . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] [ w / y ] ph
34		nfs1v 2286	. . . . . . . . . 10 |- F/ y [ w / y ] ph
35	34	nfsb 2289	. . . . . . . . 9 |- F/ y [ z / x ] [ w / y ] ph
36		pm3.21 455	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ph -> ( ph -> ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) ) )
37	36	imim1d 77	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ph -> ( ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) -> ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
38	35, 37	alimd 1974	. . . . . . . 8 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ph -> ( A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) -> A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
39	33, 38	alimd 1974	. . . . . . 7 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ph -> ( A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) -> A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
40	39	com12 31	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) -> ( [ z / x ] [ w / y ] ph -> A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
41	40	aleximi 1712	. . . . 5 |- ( A. w A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) -> ( E. w [ z / x ] [ w / y ] ph -> E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
42	41	aleximi 1712	. . . 4 |- ( A. z A. w A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) -> ( E. z E. w [ z / x ] [ w / y ] ph -> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
43		2nexaln 1710	. . . . . 6 |- ( -. E. x E. y ph <-> A. x A. y -. ph )
44		2sb8e 2316	. . . . . 6 |- ( E. x E. y ph <-> E. z E. w [ z / x ] [ w / y ] ph )
45	43, 44	xchnxbi 315	. . . . 5 |- ( -. E. z E. w [ z / x ] [ w / y ] ph <-> A. x A. y -. ph )
46		pm2.21 111	. . . . . . . . 9 |- ( -. ph -> ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
47	46	2alimi 1693	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y -. ph -> A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
48	47	2eximi 1716	. . . . . . 7 |- ( E. z E. w A. x A. y -. ph -> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
49	48	19.23bi 1969	. . . . . 6 |- ( E. w A. x A. y -. ph -> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
50	49	19.23bi 1969	. . . . 5 |- ( A. x A. y -. ph -> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
51	45, 50	sylbi 200	. . . 4 |- ( -. E. z E. w [ z / x ] [ w / y ] ph -> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
52	42, 51	pm2.61d1 164	. . 3 |- ( A. z A. w A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) -> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
53	32, 52	impbii 192	. 2 |- ( E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )
54		alrot4 1942	. 2 |- ( A. z A. w A. x A. y ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )
55	53, 54	bitri 257	1 |- ( E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( ph /\ [ z / x ] [ w / y ] ph ) -> ( x = z /\ y = w ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   E.wex 1671   [wsb 1805   E*wmo 2320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324

This theorem is referenced by:  2mos  2401