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Theorem 2lplnmj 30104
Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2lplnmj.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2lplnmj.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
2lplnmj.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
2lplnmj.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
2lplnmj  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )

Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2lplnmj.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
42, 3lplnbase 30016 . . . 4  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
543ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
62, 3lplnbase 30016 . . . 4  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
763ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
8 2lplnmj.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 2lplnmj.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 eqid 2404 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
112, 8, 9, 10cvrexch 29902 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
121, 5, 7, 11syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
13 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  K  e.  HL )
14 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  N )
15 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  Y  e.  P
)
16 hllat 29846 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
182, 17, 9latmle2 14461 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
1916, 4, 6, 18syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
2019adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
21 2lplnmj.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 30039 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
24 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  ->  Y  e.  P )
252, 9latmcl 14435 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2616, 4, 6, 25syl3an 1226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
271, 26, 73jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) ) )
282, 10, 21, 3llncvrlpln 30040 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y ) ( 
<o  `  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  Y  e.  P
) )
2927, 28sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  Y  e.  P ) )
3024, 29mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  N )
3123, 30impbida 806 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  ( X  ./\ 
Y ) (  <o  `  K ) Y ) )
32 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  K  e.  HL )
33 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  X  e.  P
)
34 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  V )
352, 17, 8latlej1 14444 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
3616, 4, 6, 35syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
3736adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) )
38 2lplnmj.v . . . . 5  |-  V  =  ( LVols `  K )
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 30097 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  ( X  .\/  Y )  e.  V )  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
41 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  X  e.  P )
422, 8latjcl 14434 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
4316, 4, 6, 42syl3an 1226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
441, 5, 433jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) ) )
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 30098 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
(  <o  `  K )
( X  .\/  Y
) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )
4644, 45sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )
4741, 46mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  V )
4840, 47impbida 806 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  V  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
4912, 31, 483bitr4d 277 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429    <o ccvr 29745   HLchlt 29833   LLinesclln 29973   LPlanesclpl 29974   LVolsclvol 29975
This theorem is referenced by:  dalem15  30160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982
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