Theorem 2lplnmj 35489

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnmj.j	|- .\/ = ( join ` K )
2lplnmj.m	|- ./\ = ( meet ` K )
2lplnmj.n	|- N = ( LLines ` K )
2lplnmj.p	|- P = ( LPlanes ` K )
2lplnmj.v	|- V = ( LVols ` K )

Assertion

Ref	Expression
2lplnmj	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Proof of Theorem 2lplnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 996	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
2		eqid 2457	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
3		2lplnmj.p	. . . . 5 |- P = ( LPlanes ` K )
4	2, 3	lplnbase 35401	. . . 4 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
5	4	3ad2ant2 1018	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
6	2, 3	lplnbase 35401	. . . 4 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
7	6	3ad2ant3 1019	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> Y e. ( Base ` K ) )
8		2lplnmj.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
9		2lplnmj.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
10		eqid 2457	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 35287	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
13		simpl1 999	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> K e. HL )
14		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
15		simpl3 1001	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> Y e. P )
16		hllat 35231	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
17		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
18	2, 17, 9	latmle2 15834	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1270	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
20	19	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
21		2lplnmj.n	. . . . 5 |- N = ( LLines ` K )
22	17, 10, 21, 3	llncvrlpln2 35424	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. N /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1231	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
24		simpl3 1001	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> Y e. P )
25	2, 9	latmcl 15809	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1270	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
27	1, 26, 7	3jca 1176	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) )
28	2, 10, 21, 3	llncvrlpln 35425	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
29	27, 28	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
30	24, 29	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
31	23, 30	impbida 832	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) )
32		simpl1 999	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> K e. HL )
33		simpl2 1000	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X e. P )
34		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
35	2, 17, 8	latlej1 15817	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1270	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
38		2lplnmj.v	. . . . 5 |- V = ( LVols ` K )
39	17, 10, 3, 38	lplncvrlvol2 35482	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ ( X .\/ Y ) e. V ) /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1231	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
41		simpl2 1000	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X e. P )
42	2, 8	latjcl 15808	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1270	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
44	1, 5, 43	3jca 1176	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) )
45	2, 10, 3, 38	lplncvrlvol 35483	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
46	44, 45	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
47	41, 46	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
48	40, 47	impbida 832	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X .\/ Y ) e. V <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
49	12, 31, 48	3bitr4d 285	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   lecple 14719   joincjn 15700   meetcmee 15701   Latclat 15802   <o ccvr 35130   HLchlt 35218   LLinesclln 35358   LPlanesclpl 35359   LVolsclvol 35360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-lat 15803  df-clat 15865  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367

This theorem is referenced by:  dalem15  35545