Theorem 2lplnmj 35048

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnmj.j	|- .\/ = ( join ` K )
2lplnmj.m	|- ./\ = ( meet ` K )
2lplnmj.n	|- N = ( LLines ` K )
2lplnmj.p	|- P = ( LPlanes ` K )
2lplnmj.v	|- V = ( LVols ` K )

Assertion

Ref	Expression
2lplnmj	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Proof of Theorem 2lplnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 995	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
2		eqid 2441	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
3		2lplnmj.p	. . . . 5 |- P = ( LPlanes ` K )
4	2, 3	lplnbase 34960	. . . 4 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
5	4	3ad2ant2 1017	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
6	2, 3	lplnbase 34960	. . . 4 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
7	6	3ad2ant3 1018	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> Y e. ( Base ` K ) )
8		2lplnmj.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
9		2lplnmj.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
10		eqid 2441	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 34846	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1227	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
13		simpl1 998	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> K e. HL )
14		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
15		simpl3 1000	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> Y e. P )
16		hllat 34790	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
17		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
18	2, 17, 9	latmle2 15576	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1269	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
20	19	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
21		2lplnmj.n	. . . . 5 |- N = ( LLines ` K )
22	17, 10, 21, 3	llncvrlpln2 34983	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. N /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1230	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
24		simpl3 1000	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> Y e. P )
25	2, 9	latmcl 15551	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1269	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
27	1, 26, 7	3jca 1175	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) )
28	2, 10, 21, 3	llncvrlpln 34984	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
29	27, 28	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
30	24, 29	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
31	23, 30	impbida 830	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) )
32		simpl1 998	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> K e. HL )
33		simpl2 999	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X e. P )
34		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
35	2, 17, 8	latlej1 15559	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1269	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
38		2lplnmj.v	. . . . 5 |- V = ( LVols ` K )
39	17, 10, 3, 38	lplncvrlvol2 35041	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ ( X .\/ Y ) e. V ) /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1230	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
41		simpl2 999	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X e. P )
42	2, 8	latjcl 15550	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1269	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
44	1, 5, 43	3jca 1175	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) )
45	2, 10, 3, 38	lplncvrlvol 35042	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
46	44, 45	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
47	41, 46	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
48	40, 47	impbida 830	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X .\/ Y ) e. V <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
49	12, 31, 48	3bitr4d 285	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   lecple 14576   joincjn 15442   meetcmee 15443   Latclat 15544   <o ccvr 34689   HLchlt 34777   LLinesclln 34917   LPlanesclpl 34918   LVolsclvol 34919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-preset 15426  df-poset 15444  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-lat 15545  df-clat 15607  df-oposet 34603  df-ol 34605  df-oml 34606  df-covers 34693  df-ats 34694  df-atl 34725  df-cvlat 34749  df-hlat 34778  df-llines 34924  df-lplanes 34925  df-lvols 34926

This theorem is referenced by:  dalem15  35104