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Theorem 2lplnmj 35489
Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2lplnmj.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2lplnmj.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
2lplnmj.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
2lplnmj.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
2lplnmj  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )

Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2lplnmj.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
42, 3lplnbase 35401 . . . 4  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
543ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
62, 3lplnbase 35401 . . . 4  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
763ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
8 2lplnmj.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 2lplnmj.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 eqid 2457 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
112, 8, 9, 10cvrexch 35287 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
121, 5, 7, 11syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
13 simpl1 999 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  K  e.  HL )
14 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  N )
15 simpl3 1001 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  Y  e.  P
)
16 hllat 35231 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
182, 17, 9latmle2 15834 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
1916, 4, 6, 18syl3an 1270 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
21 2lplnmj.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 35424 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
24 simpl3 1001 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  ->  Y  e.  P )
252, 9latmcl 15809 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2616, 4, 6, 25syl3an 1270 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
271, 26, 73jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) ) )
282, 10, 21, 3llncvrlpln 35425 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y ) ( 
<o  `  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  Y  e.  P
) )
2927, 28sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  Y  e.  P ) )
3024, 29mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  N )
3123, 30impbida 832 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  ( X  ./\ 
Y ) (  <o  `  K ) Y ) )
32 simpl1 999 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  K  e.  HL )
33 simpl2 1000 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  X  e.  P
)
34 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  V )
352, 17, 8latlej1 15817 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
3616, 4, 6, 35syl3an 1270 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) )
38 2lplnmj.v . . . . 5  |-  V  =  ( LVols `  K )
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 35482 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  ( X  .\/  Y )  e.  V )  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
41 simpl2 1000 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  X  e.  P )
422, 8latjcl 15808 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
4316, 4, 6, 42syl3an 1270 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
441, 5, 433jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) ) )
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 35483 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
(  <o  `  K )
( X  .\/  Y
) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )
4644, 45sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )
4741, 46mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  V )
4840, 47impbida 832 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  V  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
4912, 31, 483bitr4d 285 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   lecple 14719   joincjn 15700   meetcmee 15701   Latclat 15802    <o ccvr 35130   HLchlt 35218   LLinesclln 35358   LPlanesclpl 35359   LVolsclvol 35360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-lat 15803  df-clat 15865  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367
This theorem is referenced by:  dalem15  35545
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