Theorem 2lplnmj 34293

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnmj.j	|- .\/ = ( join ` K )
2lplnmj.m	|- ./\ = ( meet ` K )
2lplnmj.n	|- N = ( LLines ` K )
2lplnmj.p	|- P = ( LPlanes ` K )
2lplnmj.v	|- V = ( LVols ` K )

Assertion

Ref	Expression
2lplnmj	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Proof of Theorem 2lplnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 991	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
2		eqid 2460	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
3		2lplnmj.p	. . . . 5 |- P = ( LPlanes ` K )
4	2, 3	lplnbase 34205	. . . 4 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
5	4	3ad2ant2 1013	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
6	2, 3	lplnbase 34205	. . . 4 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
7	6	3ad2ant3 1014	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> Y e. ( Base ` K ) )
8		2lplnmj.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
9		2lplnmj.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
10		eqid 2460	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 34091	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1223	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
13		simpl1 994	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> K e. HL )
14		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
15		simpl3 996	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> Y e. P )
16		hllat 34035	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
17		eqid 2460	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
18	2, 17, 9	latmle2 15553	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1265	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
20	19	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
21		2lplnmj.n	. . . . 5 |- N = ( LLines ` K )
22	17, 10, 21, 3	llncvrlpln2 34228	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. N /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1226	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
24		simpl3 996	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> Y e. P )
25	2, 9	latmcl 15528	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1265	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
27	1, 26, 7	3jca 1171	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) )
28	2, 10, 21, 3	llncvrlpln 34229	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
29	27, 28	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
30	24, 29	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
31	23, 30	impbida 829	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) )
32		simpl1 994	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> K e. HL )
33		simpl2 995	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X e. P )
34		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
35	2, 17, 8	latlej1 15536	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1265	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
38		2lplnmj.v	. . . . 5 |- V = ( LVols ` K )
39	17, 10, 3, 38	lplncvrlvol2 34286	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ ( X .\/ Y ) e. V ) /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1226	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
41		simpl2 995	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X e. P )
42	2, 8	latjcl 15527	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1265	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
44	1, 5, 43	3jca 1171	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) )
45	2, 10, 3, 38	lplncvrlvol 34287	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
46	44, 45	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
47	41, 46	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
48	40, 47	impbida 829	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X .\/ Y ) e. V <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
49	12, 31, 48	3bitr4d 285	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   joincjn 15420   meetcmee 15421   Latclat 15521   <o ccvr 33934   HLchlt 34022   LLinesclln 34162   LPlanesclpl 34163   LVolsclvol 34164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171

This theorem is referenced by:  dalem15  34349