Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmj Unicode version

Theorem 2lplnmj 30104
 Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j
2lplnmj.m
2lplnmj.n
2lplnmj.p
2lplnmj.v
Assertion
Ref Expression
2lplnmj

Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3
2 eqid 2404 . . . . 5
3 2lplnmj.p . . . . 5
42, 3lplnbase 30016 . . . 4
62, 3lplnbase 30016 . . . 4
8 2lplnmj.j . . . 4
9 2lplnmj.m . . . 4
10 eqid 2404 . . . 4
112, 8, 9, 10cvrexch 29902 . . 3
121, 5, 7, 11syl3anc 1184 . 2
13 simpl1 960 . . . 4
14 simpr 448 . . . 4
15 simpl3 962 . . . 4
16 hllat 29846 . . . . . 6
17 eqid 2404 . . . . . . 7
182, 17, 9latmle2 14461 . . . . . 6
1916, 4, 6, 18syl3an 1226 . . . . 5
2019adantr 452 . . . 4
21 2lplnmj.n . . . . 5
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 30039 . . . 4
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1187 . . 3
24 simpl3 962 . . . 4
252, 9latmcl 14435 . . . . . . 7
2616, 4, 6, 25syl3an 1226 . . . . . 6
271, 26, 73jca 1134 . . . . 5
282, 10, 21, 3llncvrlpln 30040 . . . . 5
2927, 28sylan 458 . . . 4
3024, 29mpbird 224 . . 3
3123, 30impbida 806 . 2
32 simpl1 960 . . . 4
33 simpl2 961 . . . 4
34 simpr 448 . . . 4
352, 17, 8latlej1 14444 . . . . . 6
3616, 4, 6, 35syl3an 1226 . . . . 5
3736adantr 452 . . . 4
38 2lplnmj.v . . . . 5
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 30097 . . . 4
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1187 . . 3
41 simpl2 961 . . . 4
422, 8latjcl 14434 . . . . . . 7
4316, 4, 6, 42syl3an 1226 . . . . . 6
441, 5, 433jca 1134 . . . . 5
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 30098 . . . . 5
4644, 45sylan 458 . . . 4
4741, 46mpbid 202 . . 3
4840, 47impbida 806 . 2
4912, 31, 483bitr4d 277 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   class class class wbr 4172  cfv 5413  (class class class)co 6040  cbs 13424  cple 13491  cjn 14356  cmee 14357  clat 14429   ccvr 29745  chlt 29833  clln 29973  clpl 29974  clvol 29975 This theorem is referenced by:  dalem15  30160 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982
 Copyright terms: Public domain W3C validator