Theorem 2lplnmj 33574

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnmj.j	|- .\/ = ( join ` K )
2lplnmj.m	|- ./\ = ( meet ` K )
2lplnmj.n	|- N = ( LLines ` K )
2lplnmj.p	|- P = ( LPlanes ` K )
2lplnmj.v	|- V = ( LVols ` K )

Assertion

Ref	Expression
2lplnmj	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Proof of Theorem 2lplnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 988	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
2		eqid 2451	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
3		2lplnmj.p	. . . . 5 |- P = ( LPlanes ` K )
4	2, 3	lplnbase 33486	. . . 4 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
5	4	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
6	2, 3	lplnbase 33486	. . . 4 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
7	6	3ad2ant3 1011	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> Y e. ( Base ` K ) )
8		2lplnmj.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
9		2lplnmj.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
10		eqid 2451	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 33372	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
13		simpl1 991	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> K e. HL )
14		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
15		simpl3 993	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> Y e. P )
16		hllat 33316	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
17		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
18	2, 17, 9	latmle2 15351	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1261	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
20	19	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
21		2lplnmj.n	. . . . 5 |- N = ( LLines ` K )
22	17, 10, 21, 3	llncvrlpln2 33509	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. N /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1222	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
24		simpl3 993	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> Y e. P )
25	2, 9	latmcl 15326	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1261	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
27	1, 26, 7	3jca 1168	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) )
28	2, 10, 21, 3	llncvrlpln 33510	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
29	27, 28	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
30	24, 29	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
31	23, 30	impbida 828	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) )
32		simpl1 991	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> K e. HL )
33		simpl2 992	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X e. P )
34		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
35	2, 17, 8	latlej1 15334	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1261	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
38		2lplnmj.v	. . . . 5 |- V = ( LVols ` K )
39	17, 10, 3, 38	lplncvrlvol2 33567	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ ( X .\/ Y ) e. V ) /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1222	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
41		simpl2 992	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X e. P )
42	2, 8	latjcl 15325	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1261	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
44	1, 5, 43	3jca 1168	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) )
45	2, 10, 3, 38	lplncvrlvol 33568	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
46	44, 45	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
47	41, 46	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
48	40, 47	impbida 828	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X .\/ Y ) e. V <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
49	12, 31, 48	3bitr4d 285	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   lecple 14349   joincjn 15218   meetcmee 15219   Latclat 15319   <o ccvr 33215   HLchlt 33303   LLinesclln 33443   LPlanesclpl 33444   LVolsclvol 33445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-lat 15320  df-clat 15382  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452

This theorem is referenced by:  dalem15  33630