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Theorem 2lplnmj 34293
Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2lplnmj.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2lplnmj.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
2lplnmj.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
2lplnmj.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
2lplnmj  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )

Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2lplnmj.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
42, 3lplnbase 34205 . . . 4  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
543ad2ant2 1013 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
62, 3lplnbase 34205 . . . 4  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
763ad2ant3 1014 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
8 2lplnmj.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 2lplnmj.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 eqid 2460 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
112, 8, 9, 10cvrexch 34091 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
121, 5, 7, 11syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
13 simpl1 994 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  K  e.  HL )
14 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  N )
15 simpl3 996 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  Y  e.  P
)
16 hllat 34035 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
182, 17, 9latmle2 15553 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
1916, 4, 6, 18syl3an 1265 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
21 2lplnmj.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 34228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
24 simpl3 996 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  ->  Y  e.  P )
252, 9latmcl 15528 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2616, 4, 6, 25syl3an 1265 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
271, 26, 73jca 1171 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) ) )
282, 10, 21, 3llncvrlpln 34229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y ) ( 
<o  `  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  Y  e.  P
) )
2927, 28sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  Y  e.  P ) )
3024, 29mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  N )
3123, 30impbida 829 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  ( X  ./\ 
Y ) (  <o  `  K ) Y ) )
32 simpl1 994 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  K  e.  HL )
33 simpl2 995 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  X  e.  P
)
34 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  V )
352, 17, 8latlej1 15536 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
3616, 4, 6, 35syl3an 1265 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) )
38 2lplnmj.v . . . . 5  |-  V  =  ( LVols `  K )
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 34286 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  ( X  .\/  Y )  e.  V )  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  V )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
41 simpl2 995 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  X  e.  P )
422, 8latjcl 15527 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
4316, 4, 6, 42syl3an 1265 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
441, 5, 433jca 1171 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) ) )
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 34287 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
(  <o  `  K )
( X  .\/  Y
) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )
4644, 45sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )
4741, 46mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  V )
4840, 47impbida 829 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  V  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
4912, 31, 483bitr4d 285 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   joincjn 15420   meetcmee 15421   Latclat 15521    <o ccvr 33934   HLchlt 34022   LLinesclln 34162   LPlanesclpl 34163   LVolsclvol 34164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171
This theorem is referenced by:  dalem15  34349
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