Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmj Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2lplnmj 33199
 Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnmj.j
2lplnmj.m
2lplnmj.n
2lplnmj.p
2lplnmj.v
Assertion
Ref Expression
2lplnmj

Proof of Theorem 2lplnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1009 . . 3
2 eqid 2453 . . . . 5
3 2lplnmj.p . . . . 5
42, 3lplnbase 33111 . . . 4
62, 3lplnbase 33111 . . . 4
8 2lplnmj.j . . . 4
9 2lplnmj.m . . . 4
10 eqid 2453 . . . 4
112, 8, 9, 10cvrexch 32997 . . 3
121, 5, 7, 11syl3anc 1269 . 2
13 simpl1 1012 . . . 4
14 simpr 463 . . . 4
15 simpl3 1014 . . . 4
16 hllat 32941 . . . . . 6
17 eqid 2453 . . . . . . 7
182, 17, 9latmle2 16335 . . . . . 6
1916, 4, 6, 18syl3an 1311 . . . . 5
2019adantr 467 . . . 4
21 2lplnmj.n . . . . 5
2217, 10, 21, 3llncvrlpln2 33134 . . . 4
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1272 . . 3
24 simpl3 1014 . . . 4
252, 9latmcl 16310 . . . . . . 7
2616, 4, 6, 25syl3an 1311 . . . . . 6
271, 26, 73jca 1189 . . . . 5
282, 10, 21, 3llncvrlpln 33135 . . . . 5
2927, 28sylan 474 . . . 4
3024, 29mpbird 236 . . 3
3123, 30impbida 844 . 2
32 simpl1 1012 . . . 4
33 simpl2 1013 . . . 4
34 simpr 463 . . . 4
352, 17, 8latlej1 16318 . . . . . 6
3616, 4, 6, 35syl3an 1311 . . . . 5
3736adantr 467 . . . 4
38 2lplnmj.v . . . . 5
3917, 10, 3, 38lplncvrlvol2 33192 . . . 4
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1272 . . 3
41 simpl2 1013 . . . 4
422, 8latjcl 16309 . . . . . . 7
4316, 4, 6, 42syl3an 1311 . . . . . 6
441, 5, 433jca 1189 . . . . 5
452, 10, 3, 38lplncvrlvol 33193 . . . . 5
4644, 45sylan 474 . . . 4
4741, 46mpbid 214 . . 3
4840, 47impbida 844 . 2
4912, 31, 483bitr4d 289 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889   class class class wbr 4405  cfv 5585  (class class class)co 6295  cbs 15133  cple 15209  cjn 16201  cmee 16202  clat 16303   ccvr 32840  chlt 32928  clln 33068  clpl 33069  clvol 33070 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-preset 16185  df-poset 16203  df-plt 16216  df-lub 16232  df-glb 16233  df-join 16234  df-meet 16235  df-p0 16297  df-lat 16304  df-clat 16366  df-oposet 32754  df-ol 32756  df-oml 32757  df-covers 32844  df-ats 32845  df-atl 32876  df-cvlat 32900  df-hlat 32929  df-llines 33075  df-lplanes 33076  df-lvols 33077 This theorem is referenced by:  dalem15  33255
 Copyright terms: Public domain W3C validator