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Theorem 2lnat 34455
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
2lnat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2lnat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2lnat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2lnat.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
2lnat.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
2lnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )

Proof of Theorem 2lnat
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  HL )
2 hlatl 34032 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  AtLat )
4 hllat 34035 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp12 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  X  e.  B )
7 simp13 1023 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  Y  e.  B )
8 2lnat.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 2lnat.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
108, 9latmcl 15528 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
115, 6, 7, 10syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
12 simp3r 1020 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  )
13 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
14 2lnat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
15 2lnat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
168, 13, 14, 15atlex 33988 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  =/= 
.0.  )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
173, 11, 12, 16syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
18 simp13l 1106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  X  =/=  Y )
19 simp11 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
20 simp12l 1104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( F `  X )  e.  N
)
21 simp12r 1105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( F `  Y )  e.  N
)
22 2lnat.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( Lines `  K )
23 2lnat.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( pmap `  K
)
248, 13, 22, 23lncmp 34454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  X  =  Y ) )
2519, 20, 21, 24syl12anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  X  =  Y ) )
26 simp111 1120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  HL )
2726, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  Lat )
28 simp112 1121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  X  e.  B )
29 simp113 1122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  Y  e.  B )
308, 13, 9latleeqm1 15555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
3225, 31bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  =  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3332necon3bid 2718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  =/=  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =/=  X ) )
3418, 33mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =/=  X
)
35 simp3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
368, 13, 9latmle1 15552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
3727, 28, 29, 36syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) X )
38 hlpos 34037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3926, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  Poset
)
408, 15atbase 33961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
41403ad2ant2 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  e.  B )
4227, 28, 29, 10syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
43 simp2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  e.  A )
448, 13, 27, 41, 42, 28, 35, 37lattrd 15534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p ( le `  K ) X )
45 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
468, 13, 45, 15, 22, 23lncvrat 34453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  p ( le `  K ) X ) )  ->  p (  <o  `  K ) X )
4726, 28, 43, 20, 44, 46syl32anc 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p (  <o  `  K ) X )
488, 13, 45cvrnbtwn4 33951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  /\  p (  <o  `  K
) X )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y
)  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
4939, 41, 28, 42, 47, 48syl131anc 1236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5035, 37, 49mpbi2and 914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) )
51 neor 2784 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  ( X 
./\  Y )  \/  ( X  ./\  Y
)  =  X )  <-> 
( p  =/=  ( X  ./\  Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
5250, 51sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( p  =/=  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
5352necon1d 2685 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  =/= 
X  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
5434, 53mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) )
55543exp 1190 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  (
p  e.  A  -> 
( p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  ->  p  =  ( X 
./\  Y ) ) ) )
5655reximdvai 2928 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) ) )
5717, 56mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) )
58 risset 2980 . 2  |-  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) )
5957, 58sylibr 212 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   Posetcpo 15416   meetcmee 15421   0.cp0 15513   Latclat 15521    <o ccvr 33934   Atomscatm 33935   AtLatcal 33936   HLchlt 34022   Linesclines 34165   pmapcpmap 34168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-lines 34172  df-pmap 34175
This theorem is referenced by:  cdleme3h  34906  cdleme7ga  34919
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