Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmj Structured version   Unicode version

Theorem 2llnmj 32577
 Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j
2llnmj.m
2llnmj.a
2llnmj.n
2llnmj.p
Assertion
Ref Expression
2llnmj

Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3
2 eqid 2402 . . . . 5
3 2llnmj.n . . . . 5
42, 3llnbase 32526 . . . 4
62, 3llnbase 32526 . . . 4
8 2llnmj.j . . . 4
9 2llnmj.m . . . 4
10 eqid 2402 . . . 4
112, 8, 9, 10cvrexch 32437 . . 3
121, 5, 7, 11syl3anc 1230 . 2
13 simpl1 1000 . . . 4
14 simpr 459 . . . 4
15 simpl3 1002 . . . 4
16 hllat 32381 . . . . . 6
17 eqid 2402 . . . . . . 7
182, 17, 9latmle2 16031 . . . . . 6
1916, 4, 6, 18syl3an 1272 . . . . 5
2019adantr 463 . . . 4
21 2llnmj.a . . . . 5
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 32536 . . . 4
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1233 . . 3
24 simpl3 1002 . . . 4
252, 9latmcl 16006 . . . . . . 7
2616, 4, 6, 25syl3an 1272 . . . . . 6
271, 26, 73jca 1177 . . . . 5
282, 10, 21, 3atcvrlln 32537 . . . . 5
2927, 28sylan 469 . . . 4
3024, 29mpbird 232 . . 3
3123, 30impbida 833 . 2
32 simpl1 1000 . . . 4
33 simpl2 1001 . . . 4
34 simpr 459 . . . 4
352, 17, 8latlej1 16014 . . . . . 6
3616, 4, 6, 35syl3an 1272 . . . . 5
3736adantr 463 . . . 4
38 2llnmj.p . . . . 5
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 32574 . . . 4
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1233 . . 3
41 simpl2 1001 . . . 4
422, 8latjcl 16005 . . . . . . 7
4316, 4, 6, 42syl3an 1272 . . . . . 6
441, 5, 433jca 1177 . . . . 5
452, 10, 3, 38llncvrlpln 32575 . . . . 5
4644, 45sylan 469 . . . 4
4741, 46mpbid 210 . . 3
4840, 47impbida 833 . 2
4912, 31, 483bitr4d 285 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   class class class wbr 4395  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841  cple 14916  cjn 15897  cmee 15898  clat 15999   ccvr 32280  catm 32281  chlt 32368  clln 32508  clpl 32509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516 This theorem is referenced by:  2atmat  32578  dalem2  32678  dalemdea  32679  dalem22  32712  dalem23  32713  arglem1N  33208  cdleme16d  33299  cdleme20l2  33340
 Copyright terms: Public domain W3C validator