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Theorem 2llnmj 32577
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2llnmj.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2llnmj.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2llnmj.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
2llnmj.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
2llnmj  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )

Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2llnmj.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
42, 3llnbase 32526 . . . 4  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
543ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
62, 3llnbase 32526 . . . 4  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
763ad2ant3 1020 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
8 2llnmj.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 2llnmj.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 eqid 2402 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
112, 8, 9, 10cvrexch 32437 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
121, 5, 7, 11syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
13 simpl1 1000 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  K  e.  HL )
14 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
15 simpl3 1002 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  Y  e.  N
)
16 hllat 32381 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
182, 17, 9latmle2 16031 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
1916, 4, 6, 18syl3an 1272 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
2019adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
21 2llnmj.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 32536 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1233 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
24 simpl3 1002 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  ->  Y  e.  N )
252, 9latmcl 16006 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2616, 4, 6, 25syl3an 1272 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
271, 26, 73jca 1177 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) ) )
282, 10, 21, 3atcvrlln 32537 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y ) ( 
<o  `  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  Y  e.  N
) )
2927, 28sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  Y  e.  N ) )
3024, 29mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
3123, 30impbida 833 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  ./\ 
Y ) (  <o  `  K ) Y ) )
32 simpl1 1000 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  K  e.  HL )
33 simpl2 1001 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X  e.  N
)
34 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  P )
352, 17, 8latlej1 16014 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
3616, 4, 6, 35syl3an 1272 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
3736adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) )
38 2llnmj.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 32574 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  ( X  .\/  Y )  e.  P )  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1233 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
41 simpl2 1001 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  X  e.  N )
422, 8latjcl 16005 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
4316, 4, 6, 42syl3an 1272 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
441, 5, 433jca 1177 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) ) )
452, 10, 3, 38llncvrlpln 32575 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
(  <o  `  K )
( X  .\/  Y
) )  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
4644, 45sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
4741, 46mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  P )
4840, 47impbida 833 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  P  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
4912, 31, 483bitr4d 285 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   lecple 14916   joincjn 15897   meetcmee 15898   Latclat 15999    <o ccvr 32280   Atomscatm 32281   HLchlt 32368   LLinesclln 32508   LPlanesclpl 32509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516
This theorem is referenced by:  2atmat  32578  dalem2  32678  dalemdea  32679  dalem22  32712  dalem23  32713  arglem1N  33208  cdleme16d  33299  cdleme20l2  33340
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