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Theorem 2llnmat 30006
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2llnmat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2llnmat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2llnmat.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
2llnmat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)

Proof of Theorem 2llnmat
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  HL )
2 hlatl 29843 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  AtLat
)
4 hllat 29846 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  Lat )
6 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  X  e.  N )
7 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 2llnmat.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LLines `  K )
97, 8llnbase 29991 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
106, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
11 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  Y  e.  N )
127, 8llnbase 29991 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  Y  e.  ( Base `  K )
)
14 2llnmat.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
157, 14latmcl 14435 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
165, 10, 13, 15syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  (
Base `  K )
)
17 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  )
18 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
19 2llnmat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
20 2llnmat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
217, 18, 19, 20atlex 29799 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )
223, 16, 17, 21syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
23 simp1rl 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  =/=  Y
)
24 simp1l 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N ) )
2518, 8llncmp 30004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
X  =  Y ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  X  =  Y
) )
27 simp1l1 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  HL )
2827, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
29 simp1l2 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  e.  N
)
3029, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
31 simp1l3 1052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  Y  e.  N
)
3231, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
337, 18, 14latleeqm1 14463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
3428, 30, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3526, 34bitr3d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  =  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3635necon3bid 2602 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  =/= 
Y  <->  ( X  ./\  Y )  =/=  X ) )
3723, 36mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =/=  X )
38 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)
397, 18, 14latmle1 14460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
4028, 30, 32, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
41 hlpos 29848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4227, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
437, 20atbase 29772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
44433ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  e.  (
Base `  K )
)
4528, 30, 32, 15syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K ) )
46 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  e.  A
)
477, 18, 28, 44, 45, 30, 38, 40lattrd 14442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) X )
48 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4918, 48, 20, 8atcvrlln2 30001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  X  e.  N )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p (  <o  `  K ) X )
5027, 46, 29, 47, 49syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p (  <o  `  K ) X )
517, 18, 48cvrnbtwn4 29762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  e.  (
Base `  K )
)  /\  p (  <o  `  K ) X )  ->  ( (
p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5242, 44, 30, 45, 50, 51syl131anc 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y ) ( le `  K ) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5338, 40, 52mpbi2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( p  =  ( X  ./\  Y
)  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) )
54 neor 2651 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  ( X 
./\  Y )  \/  ( X  ./\  Y
)  =  X )  <-> 
( p  =/=  ( X  ./\  Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
5553, 54sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( p  =/=  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
5655necon1d 2636 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( ( X 
./\  Y )  =/= 
X  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
5737, 56mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  =  ( X  ./\  Y )
)
58573exp 1152 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( p  e.  A  ->  ( p ( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5958reximdvai 2776 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( E. p  e.  A  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
6022, 59mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) )
61 risset 2713 . 2  |-  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) )
6260, 61sylibr 204 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   Posetcpo 14352   meetcmee 14357   0.cp0 14421   Latclat 14429    <o ccvr 29745   Atomscatm 29746   AtLatcal 29747   HLchlt 29833   LLinesclln 29973
This theorem is referenced by:  2at0mat0  30007  ps-2c  30010  2llnmeqat  30053  dalemcea  30142  dalem2  30143  dalem21  30176  dalem54  30208  cdlemc5  30677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980
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