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Theorem 2llnmat 32798
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2llnmat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2llnmat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2llnmat.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
2llnmat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)

Proof of Theorem 2llnmat
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  HL )
2 hlatl 32635 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  AtLat
)
4 hllat 32638 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  Lat )
6 simpl2 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  X  e.  N )
7 eqid 2420 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 2llnmat.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LLines `  K )
97, 8llnbase 32783 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
106, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
11 simpl3 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  Y  e.  N )
127, 8llnbase 32783 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  Y  e.  ( Base `  K )
)
14 2llnmat.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
157, 14latmcl 16242 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
165, 10, 13, 15syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  (
Base `  K )
)
17 simprr 764 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  )
18 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
19 2llnmat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
20 2llnmat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
217, 18, 19, 20atlex 32591 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )
223, 16, 17, 21syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
23 simp1rl 1070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  =/=  Y
)
24 simp1l 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N ) )
2518, 8llncmp 32796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
X  =  Y ) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  X  =  Y
) )
27 simp1l1 1098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  HL )
2827, 4syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
29 simp1l2 1099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  e.  N
)
3029, 9syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
31 simp1l3 1100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  Y  e.  N
)
3231, 12syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
337, 18, 14latleeqm1 16269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
3428, 30, 32, 33syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3526, 34bitr3d 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  =  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3635necon3bid 2680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  =/= 
Y  <->  ( X  ./\  Y )  =/=  X ) )
3723, 36mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =/=  X )
38 simp3 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)
397, 18, 14latmle1 16266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
4028, 30, 32, 39syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
41 hlpos 32640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4227, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
437, 20atbase 32564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
44433ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  e.  (
Base `  K )
)
4528, 30, 32, 15syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K ) )
46 simp2 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  e.  A
)
477, 18, 28, 44, 45, 30, 38, 40lattrd 16248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) X )
48 eqid 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4918, 48, 20, 8atcvrlln2 32793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  X  e.  N )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p (  <o  `  K ) X )
5027, 46, 29, 47, 49syl31anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p (  <o  `  K ) X )
517, 18, 48cvrnbtwn4 32554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  e.  (
Base `  K )
)  /\  p (  <o  `  K ) X )  ->  ( (
p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5242, 44, 30, 45, 50, 51syl131anc 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y ) ( le `  K ) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5338, 40, 52mpbi2and 929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( p  =  ( X  ./\  Y
)  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) )
54 neor 2746 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  ( X 
./\  Y )  \/  ( X  ./\  Y
)  =  X )  <-> 
( p  =/=  ( X  ./\  Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
5553, 54sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( p  =/=  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
5655necon1d 2647 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( ( X 
./\  Y )  =/= 
X  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
5737, 56mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  =  ( X  ./\  Y )
)
58573exp 1204 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( p  e.  A  ->  ( p ( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5958reximdvai 2895 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( E. p  e.  A  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
6022, 59mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) )
61 risset 2951 . 2  |-  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) )
6260, 61sylibr 215 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   E.wrex 2774   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15073   lecple 15149   Posetcpo 16129   meetcmee 16134   0.cp0 16227   Latclat 16235    <o ccvr 32537   Atomscatm 32538   AtLatcal 32539   HLchlt 32625   LLinesclln 32765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 16117  df-poset 16135  df-plt 16148  df-lub 16164  df-glb 16165  df-join 16166  df-meet 16167  df-p0 16229  df-lat 16236  df-clat 16298  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772
This theorem is referenced by:  2at0mat0  32799  ps-2c  32802  2llnmeqat  32845  dalemcea  32934  dalem2  32935  dalem21  32968  dalem54  33000  cdlemc5  33470
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