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Theorem 2llnmat 34338
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2llnmat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2llnmat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2llnmat.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
2llnmat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)

Proof of Theorem 2llnmat
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  HL )
2 hlatl 34175 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  AtLat
)
4 hllat 34178 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  Lat )
6 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  X  e.  N )
7 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 2llnmat.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LLines `  K )
97, 8llnbase 34323 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
106, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
11 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  Y  e.  N )
127, 8llnbase 34323 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  Y  e.  ( Base `  K )
)
14 2llnmat.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
157, 14latmcl 15539 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
165, 10, 13, 15syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  (
Base `  K )
)
17 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  )
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
19 2llnmat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
20 2llnmat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
217, 18, 19, 20atlex 34131 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )
223, 16, 17, 21syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
23 simp1rl 1061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  =/=  Y
)
24 simp1l 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N ) )
2518, 8llncmp 34336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
X  =  Y ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  X  =  Y
) )
27 simp1l1 1089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  HL )
2827, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
29 simp1l2 1090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  e.  N
)
3029, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
31 simp1l3 1091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  Y  e.  N
)
3231, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
337, 18, 14latleeqm1 15566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
3428, 30, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3526, 34bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  =  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3635necon3bid 2725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  =/= 
Y  <->  ( X  ./\  Y )  =/=  X ) )
3723, 36mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =/=  X )
38 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)
397, 18, 14latmle1 15563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
4028, 30, 32, 39syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
41 hlpos 34180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4227, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
437, 20atbase 34104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
44433ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  e.  (
Base `  K )
)
4528, 30, 32, 15syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K ) )
46 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  e.  A
)
477, 18, 28, 44, 45, 30, 38, 40lattrd 15545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) X )
48 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4918, 48, 20, 8atcvrlln2 34333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  X  e.  N )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p (  <o  `  K ) X )
5027, 46, 29, 47, 49syl31anc 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p (  <o  `  K ) X )
517, 18, 48cvrnbtwn4 34094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  e.  (
Base `  K )
)  /\  p (  <o  `  K ) X )  ->  ( (
p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5242, 44, 30, 45, 50, 51syl131anc 1241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y ) ( le `  K ) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5338, 40, 52mpbi2and 919 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( p  =  ( X  ./\  Y
)  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) )
54 neor 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  ( X 
./\  Y )  \/  ( X  ./\  Y
)  =  X )  <-> 
( p  =/=  ( X  ./\  Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
5553, 54sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( p  =/=  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
5655necon1d 2692 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( ( X 
./\  Y )  =/= 
X  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
5737, 56mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  =  ( X  ./\  Y )
)
58573exp 1195 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( p  e.  A  ->  ( p ( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5958reximdvai 2935 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( E. p  e.  A  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
6022, 59mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) )
61 risset 2987 . 2  |-  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) )
6260, 61sylibr 212 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   lecple 14562   Posetcpo 15427   meetcmee 15432   0.cp0 15524   Latclat 15532    <o ccvr 34077   Atomscatm 34078   AtLatcal 34079   HLchlt 34165   LLinesclln 34305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-lat 15533  df-clat 15595  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312
This theorem is referenced by:  2at0mat0  34339  ps-2c  34342  2llnmeqat  34385  dalemcea  34474  dalem2  34475  dalem21  34508  dalem54  34540  cdlemc5  35009
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