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Theorem 2f1fvneq 30068
Description: If two one-to-one functions are applied on different arguments, also the values are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
2f1fvneq  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  /\  A  =/=  B )  ->  (
( ( E `  ( F `  A ) )  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) )

Proof of Theorem 2f1fvneq
StepHypRef Expression
1 f1veqaeq 5969 . . . . 5  |-  ( ( F : C -1-1-> D  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C
) )  ->  (
( F `  A
)  =  ( F `
 B )  ->  A  =  B )
)
21adantll 708 . . . 4  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( ( F `  A )  =  ( F `  B )  ->  A  =  B ) )
32necon3ad 2642 . . 3  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( A  =/=  B  ->  -.  ( F `  A )  =  ( F `  B ) ) )
433impia 1179 . 2  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  /\  A  =/=  B )  ->  -.  ( F `  A )  =  ( F `  B ) )
5 simpll 748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  ->  E : D -1-1-> R )
6 f1f 5603 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : C -1-1-> D  ->  F : C --> D )
7 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C --> D  /\  A  e.  C )  ->  ( F `  A
)  e.  D )
8 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C --> D  /\  B  e.  C )  ->  ( F `  B
)  e.  D )
97, 8anim12dan 828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : C --> D  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  D  /\  ( F `  B )  e.  D ) )
109ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : C --> D  -> 
( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  (
( F `  A
)  e.  D  /\  ( F `  B )  e.  D ) ) )
116, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( F : C -1-1-> D  -> 
( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  (
( F `  A
)  e.  D  /\  ( F `  B )  e.  D ) ) )
1211adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( ( F `  A )  e.  D  /\  ( F `  B
)  e.  D ) ) )
1312imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  D  /\  ( F `  B
)  e.  D ) )
14 f1veqaeq 5969 . . . . . . 7  |-  ( ( E : D -1-1-> R  /\  ( ( F `  A )  e.  D  /\  ( F `  B
)  e.  D ) )  ->  ( ( E `  ( F `  A ) )  =  ( E `  ( F `  B )
)  ->  ( F `  A )  =  ( F `  B ) ) )
155, 13, 14syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( ( E `  ( F `  A ) )  =  ( E `
 ( F `  B ) )  -> 
( F `  A
)  =  ( F `
 B ) ) )
1615con3and 439 . . . . 5  |-  ( ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C
) )  /\  -.  ( F `  A )  =  ( F `  B ) )  ->  -.  ( E `  ( F `  A )
)  =  ( E `
 ( F `  B ) ) )
17 eqeq12 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  ( F `  A )
)  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  -> 
( ( E `  ( F `  A ) )  =  ( E `
 ( F `  B ) )  <->  X  =  Y ) )
1817notbid 294 . . . . . 6  |-  ( ( ( E `  ( F `  A )
)  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  -> 
( -.  ( E `
 ( F `  A ) )  =  ( E `  ( F `  B )
)  <->  -.  X  =  Y ) )
19 df-ne 2606 . . . . . . 7  |-  ( X  =/=  Y  <->  -.  X  =  Y )
2019biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( -.  X  =  Y  ->  X  =/=  Y )
2118, 20syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ( ( E `  ( F `  A )
)  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  -> 
( -.  ( E `
 ( F `  A ) )  =  ( E `  ( F `  B )
)  ->  X  =/=  Y ) )
2216, 21syl5com 30 . . . 4  |-  ( ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C
) )  /\  -.  ( F `  A )  =  ( F `  B ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F `  A ) )  =  X  /\  ( E `
 ( F `  B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) )
2322ex 434 . . 3  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( -.  ( F `
 A )  =  ( F `  B
)  ->  ( (
( E `  ( F `  A )
)  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) ) )
24233adant3 1003 . 2  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  /\  A  =/=  B )  ->  ( -.  ( F `  A
)  =  ( F `
 B )  -> 
( ( ( E `
 ( F `  A ) )  =  X  /\  ( E `
 ( F `  B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) ) )
254, 24mpd 15 1  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  /\  A  =/=  B )  ->  (
( ( E `  ( F `  A ) )  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   ` cfv 5415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fv 5423
This theorem is referenced by:  usgra2pthspth  30220  usgra2pthlem1  30225
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