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Theorem 2f1fvneq 38877
Description: If two one-to-one functions are applied on different arguments, also the values are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
2f1fvneq  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  /\  A  =/=  B )  ->  (
( ( E `  ( F `  A ) )  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) )

Proof of Theorem 2f1fvneq
StepHypRef Expression
1 f1veqaeq 6176 . . . . 5  |-  ( ( F : C -1-1-> D  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C
) )  ->  (
( F `  A
)  =  ( F `
 B )  ->  A  =  B )
)
21adantll 718 . . . 4  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( ( F `  A )  =  ( F `  B )  ->  A  =  B ) )
32necon3ad 2630 . . 3  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( A  =/=  B  ->  -.  ( F `  A )  =  ( F `  B ) ) )
433impia 1202 . 2  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  /\  A  =/=  B )  ->  -.  ( F `  A )  =  ( F `  B ) )
5 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  ->  E : D -1-1-> R )
6 f1f 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : C -1-1-> D  ->  F : C --> D )
7 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C --> D  /\  A  e.  C )  ->  ( F `  A
)  e.  D )
8 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C --> D  /\  B  e.  C )  ->  ( F `  B
)  e.  D )
97, 8anim12dan 845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : C --> D  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C
) )  ->  (
( F `  A
)  e.  D  /\  ( F `  B )  e.  D ) )
109ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : C --> D  -> 
( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  (
( F `  A
)  e.  D  /\  ( F `  B )  e.  D ) ) )
116, 10syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( F : C -1-1-> D  -> 
( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  (
( F `  A
)  e.  D  /\  ( F `  B )  e.  D ) ) )
1211adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D
)  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  ->  ( ( F `  A )  e.  D  /\  ( F `  B
)  e.  D ) ) )
1312imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  D  /\  ( F `  B
)  e.  D ) )
14 f1veqaeq 6176 . . . . . . 7  |-  ( ( E : D -1-1-> R  /\  ( ( F `  A )  e.  D  /\  ( F `  B
)  e.  D ) )  ->  ( ( E `  ( F `  A ) )  =  ( E `  ( F `  B )
)  ->  ( F `  A )  =  ( F `  B ) ) )
155, 13, 14syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( ( E `  ( F `  A ) )  =  ( E `
 ( F `  B ) )  -> 
( F `  A
)  =  ( F `
 B ) ) )
1615con3dimp 442 . . . . 5  |-  ( ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C
) )  /\  -.  ( F `  A )  =  ( F `  B ) )  ->  -.  ( E `  ( F `  A )
)  =  ( E `
 ( F `  B ) ) )
17 eqeq12 2441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  ( F `  A )
)  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  -> 
( ( E `  ( F `  A ) )  =  ( E `
 ( F `  B ) )  <->  X  =  Y ) )
1817notbid 295 . . . . . 6  |-  ( ( ( E `  ( F `  A )
)  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  -> 
( -.  ( E `
 ( F `  A ) )  =  ( E `  ( F `  B )
)  <->  -.  X  =  Y ) )
19 df-ne 2616 . . . . . . 7  |-  ( X  =/=  Y  <->  -.  X  =  Y )
2019biimpri 209 . . . . . 6  |-  ( -.  X  =  Y  ->  X  =/=  Y )
2118, 20syl6bi 231 . . . . 5  |-  ( ( ( E `  ( F `  A )
)  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  -> 
( -.  ( E `
 ( F `  A ) )  =  ( E `  ( F `  B )
)  ->  X  =/=  Y ) )
2216, 21syl5com 31 . . . 4  |-  ( ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C
) )  /\  -.  ( F `  A )  =  ( F `  B ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F `  A ) )  =  X  /\  ( E `
 ( F `  B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) )
2322ex 435 . . 3  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C ) )  -> 
( -.  ( F `
 A )  =  ( F `  B
)  ->  ( (
( E `  ( F `  A )
)  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) ) )
24233adant3 1025 . 2  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  /\  A  =/=  B )  ->  ( -.  ( F `  A
)  =  ( F `
 B )  -> 
( ( ( E `
 ( F `  A ) )  =  X  /\  ( E `
 ( F `  B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) ) )
254, 24mpd 15 1  |-  ( ( ( E : D -1-1-> R  /\  F : C -1-1-> D )  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  /\  A  =/=  B )  ->  (
( ( E `  ( F `  A ) )  =  X  /\  ( E `  ( F `
 B ) )  =  Y )  ->  X  =/=  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fv 5609
This theorem is referenced by:  usgra2pthspth  39284  usgra2pthlem1  39286
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