MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp6 Structured version   Unicode version

Theorem 2exp6 14422
Description: Two to the sixth power is 64. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp6  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4

Proof of Theorem 2exp6
StepHypRef Expression
1 2nn0 10803 . 2  |-  2  e.  NN0
2 5nn0 10806 . 2  |-  5  e.  NN0
3 5p1e6 10654 . 2  |-  ( 5  +  1 )  =  6
4 4nn0 10805 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
5 4p1e5 10653 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  =  5
6 2exp4 14421 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
76oveq1i 6287 . . . . 5  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  2 )  =  (; 1 6  x.  2 )
81, 4, 5, 7numexpp1 14414 . . . 4  |-  ( 2 ^ 5 )  =  (; 1 6  x.  2 )
98oveq1i 6287 . . 3  |-  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  =  ( (; 1 6  x.  2 )  x.  2 )
10 1nn0 10802 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
11 6nn0 10807 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN0
1210, 11deccl 10981 . . . . . 6  |- ; 1 6  e.  NN0
1312nn0cni 10798 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  CC
14 2cn 10597 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1513, 14, 14mulassi 9596 . . . 4  |-  ( (; 1
6  x.  2 )  x.  2 )  =  (; 1 6  x.  (
2  x.  2 ) )
16 2t2e4 10676 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1716oveq2i 6288 . . . . 5  |-  (; 1 6  x.  (
2  x.  2 ) )  =  (; 1 6  x.  4 )
18 eqid 2462 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
194nn0cni 10798 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
2019mulid2i 9590 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
2120oveq1i 6287 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  2 )  =  ( 4  +  2 )
22 4p2e6 10661 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  2 )  =  6
2321, 22eqtri 2491 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  2 )  =  6
24 6t4e24 11046 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  4 )  = ; 2
4
254, 10, 11, 18, 4, 1, 23, 24decmul1c 11014 . . . . 5  |-  (; 1 6  x.  4 )  = ; 6 4
2617, 25eqtri 2491 . . . 4  |-  (; 1 6  x.  (
2  x.  2 ) )  = ; 6 4
2715, 26eqtri 2491 . . 3  |-  ( (; 1
6  x.  2 )  x.  2 )  = ; 6
4
289, 27eqtri 2491 . 2  |-  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  = ; 6
4
291, 2, 3, 28numexpp1 14414 1  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374  (class class class)co 6277   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488   2c2 10576   4c4 10578   5c5 10579   6c6 10580  ;cdc 10967   ^cexp 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-seq 12066  df-exp 12125
This theorem is referenced by:  4001lem1  14472  bclbnd  23278  bposlem8  23289
  Copyright terms: Public domain W3C validator