MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Unicode version

Theorem 2exp16 14662
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 10808 . 2  |-  2  e.  NN0
2 8nn0 10814 . 2  |-  8  e.  NN0
3 8cn 10617 . . 3  |-  8  e.  CC
4 2cn 10602 . . 3  |-  2  e.  CC
5 8t2e16 11064 . . 3  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
63, 4, 5mulcomli 9592 . 2  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
7 2exp8 14661 . 2  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
8 5nn0 10811 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
91, 8deccl 10990 . . . 4  |- ; 2 5  e.  NN0
10 6nn0 10812 . . . 4  |-  6  e.  NN0
119, 10deccl 10990 . . 3  |- ;; 2 5 6  e.  NN0
12 eqid 2454 . . 3  |- ;; 2 5 6  = ;; 2 5 6
13 1nn0 10807 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
1413, 8deccl 10990 . . . 4  |- ; 1 5  e.  NN0
15 3nn0 10809 . . . 4  |-  3  e.  NN0
1614, 15deccl 10990 . . 3  |- ;; 1 5 3  e.  NN0
17 eqid 2454 . . . 4  |- ; 2 5  = ; 2 5
18 eqid 2454 . . . 4  |- ;; 1 5 3  = ;; 1 5 3
1913, 1deccl 10990 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN0
2019, 2deccl 10990 . . . 4  |- ;; 1 2 8  e.  NN0
21 4nn0 10810 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
2213, 21deccl 10990 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  NN0
23 eqid 2454 . . . . . 6  |- ; 1 5  = ; 1 5
24 eqid 2454 . . . . . 6  |- ;; 1 2 8  = ;; 1 2 8
25 0nn0 10806 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
2613dec0h 10992 . . . . . . . 8  |-  1  = ; 0 1
27 eqid 2454 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  = ; 1 2
28 0p1e1 10643 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
29 1p2e3 10656 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 11017 . . . . . . 7  |-  ( 1  + ; 1 2 )  = ; 1
3
31 3p1e4 10657 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 11020 . . . . . 6  |-  ( ( 1  + ; 1 2 )  +  1 )  = ; 1 4
33 5cn 10611 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
34 8p5e13 11034 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
353, 33, 34addcomli 9761 . . . . . 6  |-  ( 5  +  8 )  = ; 1
3
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 11018 . . . . 5  |-  (; 1 5  + ;; 1 2 8 )  = ;; 1 4 3
37 eqid 2454 . . . . . . 7  |- ; 1 4  = ; 1 4
38 4p1e5 10658 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  1 )  =  5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 11020 . . . . . 6  |-  (; 1 4  +  1 )  = ; 1 5
40 2t2e4 10681 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
41 1p1e2 10645 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4240, 41oveq12i 6282 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 4  +  2 )
43 4p2e6 10666 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  2 )  =  6
4442, 43eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  6
45 5t2e10 10686 . . . . . . . 8  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
46 dec10 11006 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
4745, 46eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  = ; 1
0
4833addid2i 9757 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  5 )  =  5
4913, 25, 8, 47, 48decaddi 11020 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  2 )  +  5 )  = ; 1
5
501, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 49decmac 11015 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  2 )  +  (; 1 4  +  1 ) )  = ; 6 5
51 6t2e12 11053 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
52 3cn 10606 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
53 3p2e5 10664 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
5452, 4, 53addcomli 9761 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
5513, 1, 15, 51, 54decaddi 11020 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
5
569, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 50, 55decmac 11015 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  2 )  +  (; 1
5  + ;; 1 2 8 ) )  = ;; 6 5 5
5715dec0h 10992 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
5852addid2i 9757 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  3 )  =  3
5958, 57eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( 0  +  3 )  = ; 0
3
604addid2i 9757 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6160oveq2i 6281 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )
6233, 4, 45mulcomli 9592 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
6362, 46eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6413, 25, 1, 63, 60decaddi 11020 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6561, 64eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
2
66 5t5e25 11052 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
67 5p3e8 10670 . . . . . . 7  |-  ( 5  +  3 )  =  8
681, 8, 15, 66, 67decaddi 11020 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  5 )  +  3 )  = ; 2
8
691, 8, 25, 15, 17, 59, 8, 2, 1, 65, 68decmac 11015 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  5 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ;; 1 2 8
70 6t5e30 11056 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  5 )  = ; 3
0
7115, 25, 15, 70, 58decaddi 11020 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  5 )  +  3 )  = ; 3
3
729, 10, 25, 15, 12, 57, 8, 15, 15, 69, 71decmac 11015 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  5 )  +  3 )  = ;;; 1 2 8 3
731, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 56, 72decma2c 11016 . . 3  |-  ( (;; 2 5 6  x. ; 2
5 )  + ;; 1 5 3 )  = ;;; 6 5 5 3
7458oveq2i 6281 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )
75 6cn 10613 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
7675, 4, 51mulcomli 9592 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  6 )  = ; 1
2
7713, 1, 15, 76, 54decaddi 11020 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )  = ; 1
5
7874, 77eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ; 1
5
7975, 33, 70mulcomli 9592 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  6 )  = ; 3
0
8015, 25, 15, 79, 58decaddi 11020 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  6 )  +  3 )  = ; 3
3
811, 8, 25, 15, 17, 57, 10, 15, 15, 78, 80decmac 11015 . . . 4  |-  ( (; 2
5  x.  6 )  +  3 )  = ;; 1 5 3
82 6t6e36 11057 . . . 4  |-  ( 6  x.  6 )  = ; 3
6
8310, 9, 10, 12, 10, 15, 81, 82decmul1c 11023 . . 3  |-  (;; 2 5 6  x.  6 )  = ;;; 1 5 3 6
8411, 9, 10, 12, 10, 16, 73, 83decmul2c 11024 . 2  |-  (;; 2 5 6  x. ;; 2 5 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
851, 2, 6, 7, 84numexp2x 14652 1  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   5c5 10584   6c6 10585   8c8 10587   10c10 10589  ;cdc 10976   ^cexp 12151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-seq 12093  df-exp 12152
This theorem is referenced by:  1259lem1  14700
  Copyright terms: Public domain W3C validator