MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Unicode version

Theorem 2exp16 15046
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 10886 . 2  |-  2  e.  NN0
2 8nn0 10892 . 2  |-  8  e.  NN0
3 8cn 10695 . . 3  |-  8  e.  CC
4 2cn 10680 . . 3  |-  2  e.  CC
5 8t2e16 11139 . . 3  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
63, 4, 5mulcomli 9650 . 2  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
7 2exp8 15045 . 2  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
8 5nn0 10889 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
91, 8deccl 11065 . . . 4  |- ; 2 5  e.  NN0
10 6nn0 10890 . . . 4  |-  6  e.  NN0
119, 10deccl 11065 . . 3  |- ;; 2 5 6  e.  NN0
12 eqid 2422 . . 3  |- ;; 2 5 6  = ;; 2 5 6
13 1nn0 10885 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
1413, 8deccl 11065 . . . 4  |- ; 1 5  e.  NN0
15 3nn0 10887 . . . 4  |-  3  e.  NN0
1614, 15deccl 11065 . . 3  |- ;; 1 5 3  e.  NN0
17 eqid 2422 . . . 4  |- ; 2 5  = ; 2 5
18 eqid 2422 . . . 4  |- ;; 1 5 3  = ;; 1 5 3
1913, 1deccl 11065 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN0
2019, 2deccl 11065 . . . 4  |- ;; 1 2 8  e.  NN0
21 4nn0 10888 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
2213, 21deccl 11065 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  NN0
23 eqid 2422 . . . . . 6  |- ; 1 5  = ; 1 5
24 eqid 2422 . . . . . 6  |- ;; 1 2 8  = ;; 1 2 8
25 0nn0 10884 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
2613dec0h 11067 . . . . . . . 8  |-  1  = ; 0 1
27 eqid 2422 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  = ; 1 2
28 0p1e1 10721 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
29 1p2e3 10734 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 11092 . . . . . . 7  |-  ( 1  + ; 1 2 )  = ; 1
3
31 3p1e4 10735 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 11095 . . . . . 6  |-  ( ( 1  + ; 1 2 )  +  1 )  = ; 1 4
33 5cn 10689 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
34 8p5e13 11109 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
353, 33, 34addcomli 9825 . . . . . 6  |-  ( 5  +  8 )  = ; 1
3
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 11093 . . . . 5  |-  (; 1 5  + ;; 1 2 8 )  = ;; 1 4 3
37 eqid 2422 . . . . . . 7  |- ; 1 4  = ; 1 4
38 4p1e5 10736 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  1 )  =  5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 11095 . . . . . 6  |-  (; 1 4  +  1 )  = ; 1 5
40 2t2e4 10759 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
41 1p1e2 10723 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4240, 41oveq12i 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 4  +  2 )
43 4p2e6 10744 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  2 )  =  6
4442, 43eqtri 2451 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  6
45 5t2e10 10764 . . . . . . . 8  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
46 dec10 11081 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
4745, 46eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  = ; 1
0
4833addid2i 9821 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  5 )  =  5
4913, 25, 8, 47, 48decaddi 11095 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  2 )  +  5 )  = ; 1
5
501, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 49decmac 11090 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  2 )  +  (; 1 4  +  1 ) )  = ; 6 5
51 6t2e12 11128 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
52 3cn 10684 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
53 3p2e5 10742 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
5452, 4, 53addcomli 9825 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
5513, 1, 15, 51, 54decaddi 11095 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
5
569, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 50, 55decmac 11090 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  2 )  +  (; 1
5  + ;; 1 2 8 ) )  = ;; 6 5 5
5715dec0h 11067 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
5852addid2i 9821 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  3 )  =  3
5958, 57eqtri 2451 . . . . . 6  |-  ( 0  +  3 )  = ; 0
3
604addid2i 9821 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6160oveq2i 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )
6233, 4, 45mulcomli 9650 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
6362, 46eqtri 2451 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6413, 25, 1, 63, 60decaddi 11095 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6561, 64eqtri 2451 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
2
66 5t5e25 11127 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
67 5p3e8 10748 . . . . . . 7  |-  ( 5  +  3 )  =  8
681, 8, 15, 66, 67decaddi 11095 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  5 )  +  3 )  = ; 2
8
691, 8, 25, 15, 17, 59, 8, 2, 1, 65, 68decmac 11090 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  5 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ;; 1 2 8
70 6t5e30 11131 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  5 )  = ; 3
0
7115, 25, 15, 70, 58decaddi 11095 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  5 )  +  3 )  = ; 3
3
729, 10, 25, 15, 12, 57, 8, 15, 15, 69, 71decmac 11090 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  5 )  +  3 )  = ;;; 1 2 8 3
731, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 56, 72decma2c 11091 . . 3  |-  ( (;; 2 5 6  x. ; 2
5 )  + ;; 1 5 3 )  = ;;; 6 5 5 3
7458oveq2i 6312 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )
75 6cn 10691 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
7675, 4, 51mulcomli 9650 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  6 )  = ; 1
2
7713, 1, 15, 76, 54decaddi 11095 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )  = ; 1
5
7874, 77eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ; 1
5
7975, 33, 70mulcomli 9650 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  6 )  = ; 3
0
8015, 25, 15, 79, 58decaddi 11095 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  6 )  +  3 )  = ; 3
3
811, 8, 25, 15, 17, 57, 10, 15, 15, 78, 80decmac 11090 . . . 4  |-  ( (; 2
5  x.  6 )  +  3 )  = ;; 1 5 3
82 6t6e36 11132 . . . 4  |-  ( 6  x.  6 )  = ; 3
6
8310, 9, 10, 12, 10, 15, 81, 82decmul1c 11098 . . 3  |-  (;; 2 5 6  x.  6 )  = ;;; 1 5 3 6
8411, 9, 10, 12, 10, 16, 73, 83decmul2c 11099 . 2  |-  (;; 2 5 6  x. ;; 2 5 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
851, 2, 6, 7, 84numexp2x 15036 1  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437  (class class class)co 6301   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   5c5 10662   6c6 10663   8c8 10665   10c10 10667  ;cdc 11051   ^cexp 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-seq 12213  df-exp 12272
This theorem is referenced by:  1259lem1  15087
  Copyright terms: Public domain W3C validator