MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2exp16 15116
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 10920 . 2  |-  2  e.  NN0
2 8nn0 10926 . 2  |-  8  e.  NN0
3 8cn 10728 . . 3  |-  8  e.  CC
4 2cn 10713 . . 3  |-  2  e.  CC
5 8t2e16 11173 . . 3  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
63, 4, 5mulcomli 9681 . 2  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
7 2exp8 15115 . 2  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
8 5nn0 10923 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
91, 8deccl 11099 . . . 4  |- ; 2 5  e.  NN0
10 6nn0 10924 . . . 4  |-  6  e.  NN0
119, 10deccl 11099 . . 3  |- ;; 2 5 6  e.  NN0
12 eqid 2462 . . 3  |- ;; 2 5 6  = ;; 2 5 6
13 1nn0 10919 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
1413, 8deccl 11099 . . . 4  |- ; 1 5  e.  NN0
15 3nn0 10921 . . . 4  |-  3  e.  NN0
1614, 15deccl 11099 . . 3  |- ;; 1 5 3  e.  NN0
17 eqid 2462 . . . 4  |- ; 2 5  = ; 2 5
18 eqid 2462 . . . 4  |- ;; 1 5 3  = ;; 1 5 3
1913, 1deccl 11099 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN0
2019, 2deccl 11099 . . . 4  |- ;; 1 2 8  e.  NN0
21 4nn0 10922 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
2213, 21deccl 11099 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  NN0
23 eqid 2462 . . . . . 6  |- ; 1 5  = ; 1 5
24 eqid 2462 . . . . . 6  |- ;; 1 2 8  = ;; 1 2 8
25 0nn0 10918 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
2613dec0h 11101 . . . . . . . 8  |-  1  = ; 0 1
27 eqid 2462 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  = ; 1 2
28 0p1e1 10754 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
29 1p2e3 10768 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 11126 . . . . . . 7  |-  ( 1  + ; 1 2 )  = ; 1
3
31 3p1e4 10769 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 11129 . . . . . 6  |-  ( ( 1  + ; 1 2 )  +  1 )  = ; 1 4
33 5cn 10722 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
34 8p5e13 11143 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
353, 33, 34addcomli 9856 . . . . . 6  |-  ( 5  +  8 )  = ; 1
3
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 11127 . . . . 5  |-  (; 1 5  + ;; 1 2 8 )  = ;; 1 4 3
37 eqid 2462 . . . . . . 7  |- ; 1 4  = ; 1 4
38 4p1e5 10770 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  1 )  =  5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 11129 . . . . . 6  |-  (; 1 4  +  1 )  = ; 1 5
40 2t2e4 10793 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
41 1p1e2 10756 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4240, 41oveq12i 6332 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 4  +  2 )
43 4p2e6 10778 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  2 )  =  6
4442, 43eqtri 2484 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  6
45 5t2e10 10798 . . . . . . . 8  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
46 dec10 11115 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
4745, 46eqtri 2484 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  = ; 1
0
4833addid2i 9852 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  5 )  =  5
4913, 25, 8, 47, 48decaddi 11129 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  2 )  +  5 )  = ; 1
5
501, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 49decmac 11124 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  2 )  +  (; 1 4  +  1 ) )  = ; 6 5
51 6t2e12 11162 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
52 3cn 10717 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
53 3p2e5 10776 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
5452, 4, 53addcomli 9856 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
5513, 1, 15, 51, 54decaddi 11129 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
5
569, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 50, 55decmac 11124 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  2 )  +  (; 1
5  + ;; 1 2 8 ) )  = ;; 6 5 5
5715dec0h 11101 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
5852addid2i 9852 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  3 )  =  3
5958, 57eqtri 2484 . . . . . 6  |-  ( 0  +  3 )  = ; 0
3
604addid2i 9852 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6160oveq2i 6331 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )
6233, 4, 45mulcomli 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
6362, 46eqtri 2484 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6413, 25, 1, 63, 60decaddi 11129 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6561, 64eqtri 2484 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
2
66 5t5e25 11161 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
67 5p3e8 10782 . . . . . . 7  |-  ( 5  +  3 )  =  8
681, 8, 15, 66, 67decaddi 11129 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  5 )  +  3 )  = ; 2
8
691, 8, 25, 15, 17, 59, 8, 2, 1, 65, 68decmac 11124 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  5 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ;; 1 2 8
70 6t5e30 11165 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  5 )  = ; 3
0
7115, 25, 15, 70, 58decaddi 11129 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  5 )  +  3 )  = ; 3
3
729, 10, 25, 15, 12, 57, 8, 15, 15, 69, 71decmac 11124 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  5 )  +  3 )  = ;;; 1 2 8 3
731, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 56, 72decma2c 11125 . . 3  |-  ( (;; 2 5 6  x. ; 2
5 )  + ;; 1 5 3 )  = ;;; 6 5 5 3
7458oveq2i 6331 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )
75 6cn 10724 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
7675, 4, 51mulcomli 9681 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  6 )  = ; 1
2
7713, 1, 15, 76, 54decaddi 11129 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )  = ; 1
5
7874, 77eqtri 2484 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ; 1
5
7975, 33, 70mulcomli 9681 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  6 )  = ; 3
0
8015, 25, 15, 79, 58decaddi 11129 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  6 )  +  3 )  = ; 3
3
811, 8, 25, 15, 17, 57, 10, 15, 15, 78, 80decmac 11124 . . . 4  |-  ( (; 2
5  x.  6 )  +  3 )  = ;; 1 5 3
82 6t6e36 11166 . . . 4  |-  ( 6  x.  6 )  = ; 3
6
8310, 9, 10, 12, 10, 15, 81, 82decmul1c 11132 . . 3  |-  (;; 2 5 6  x.  6 )  = ;;; 1 5 3 6
8411, 9, 10, 12, 10, 16, 73, 83decmul2c 11133 . 2  |-  (;; 2 5 6  x. ;; 2 5 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
851, 2, 6, 7, 84numexp2x 15106 1  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1455  (class class class)co 6320   0cc0 9570   1c1 9571    + caddc 9573    x. cmul 9575   2c2 10692   3c3 10693   4c4 10694   5c5 10695   6c6 10696   8c8 10698   10c10 10700  ;cdc 11085   ^cexp 12310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-seq 12252  df-exp 12311
This theorem is referenced by:  1259lem1  15157
  Copyright terms: Public domain W3C validator