MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Unicode version

Theorem 2exp16 14450
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 10824 . 2  |-  2  e.  NN0
2 8nn0 10830 . 2  |-  8  e.  NN0
3 8cn 10633 . . 3  |-  8  e.  CC
4 2cn 10618 . . 3  |-  2  e.  CC
5 8t2e16 11076 . . 3  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
63, 4, 5mulcomli 9615 . 2  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
7 2exp8 14449 . 2  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
8 5nn0 10827 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
91, 8deccl 11002 . . . 4  |- ; 2 5  e.  NN0
10 6nn0 10828 . . . 4  |-  6  e.  NN0
119, 10deccl 11002 . . 3  |- ;; 2 5 6  e.  NN0
12 eqid 2467 . . 3  |- ;; 2 5 6  = ;; 2 5 6
13 1nn0 10823 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
1413, 8deccl 11002 . . . 4  |- ; 1 5  e.  NN0
15 3nn0 10825 . . . 4  |-  3  e.  NN0
1614, 15deccl 11002 . . 3  |- ;; 1 5 3  e.  NN0
17 eqid 2467 . . . 4  |- ; 2 5  = ; 2 5
18 eqid 2467 . . . 4  |- ;; 1 5 3  = ;; 1 5 3
1913, 1deccl 11002 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN0
2019, 2deccl 11002 . . . 4  |- ;; 1 2 8  e.  NN0
21 4nn0 10826 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
2213, 21deccl 11002 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  NN0
23 eqid 2467 . . . . . 6  |- ; 1 5  = ; 1 5
24 eqid 2467 . . . . . 6  |- ;; 1 2 8  = ;; 1 2 8
25 0nn0 10822 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
2613dec0h 11004 . . . . . . . 8  |-  1  = ; 0 1
27 eqid 2467 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  = ; 1 2
28 ax-1cn 9562 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
2928addid2i 9779 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
30 1p2e3 10672 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3125, 13, 13, 1, 26, 27, 29, 30decadd 11029 . . . . . . 7  |-  ( 1  + ; 1 2 )  = ; 1
3
32 3p1e4 10673 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3313, 15, 13, 31, 32decaddi 11032 . . . . . 6  |-  ( ( 1  + ; 1 2 )  +  1 )  = ; 1 4
34 5cn 10627 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
35 8p5e13 11046 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
363, 34, 35addcomli 9783 . . . . . 6  |-  ( 5  +  8 )  = ; 1
3
3713, 8, 19, 2, 23, 24, 33, 15, 36decaddc 11030 . . . . 5  |-  (; 1 5  + ;; 1 2 8 )  = ;; 1 4 3
38 eqid 2467 . . . . . . 7  |- ; 1 4  = ; 1 4
39 4p1e5 10674 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  1 )  =  5
4013, 21, 13, 38, 39decaddi 11032 . . . . . 6  |-  (; 1 4  +  1 )  = ; 1 5
41 2t2e4 10697 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
42 1p1e2 10661 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4341, 42oveq12i 6307 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 4  +  2 )
44 4p2e6 10682 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  2 )  =  6
4543, 44eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  6
46 5t2e10 10702 . . . . . . . 8  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
47 dec10 11018 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
4846, 47eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  = ; 1
0
4934addid2i 9779 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  5 )  =  5
5013, 25, 8, 48, 49decaddi 11032 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  2 )  +  5 )  = ; 1
5
511, 8, 13, 8, 17, 40, 1, 8, 13, 45, 50decmac 11027 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  2 )  +  (; 1 4  +  1 ) )  = ; 6 5
52 6t2e12 11065 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
53 3cn 10622 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
54 3p2e5 10680 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
5553, 4, 54addcomli 9783 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
5613, 1, 15, 52, 55decaddi 11032 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
5
579, 10, 22, 15, 12, 37, 1, 8, 13, 51, 56decmac 11027 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  2 )  +  (; 1
5  + ;; 1 2 8 ) )  = ;; 6 5 5
5815dec0h 11004 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
5953addid2i 9779 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  3 )  =  3
6059, 58eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( 0  +  3 )  = ; 0
3
614addid2i 9779 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6261oveq2i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )
6334, 4, 46mulcomli 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
6463, 47eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6513, 25, 1, 64, 61decaddi 11032 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6662, 65eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
2
67 5t5e25 11064 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
68 5p3e8 10686 . . . . . . 7  |-  ( 5  +  3 )  =  8
691, 8, 15, 67, 68decaddi 11032 . . . . . 6  |-  ( ( 5  x.  5 )  +  3 )  = ; 2
8
701, 8, 25, 15, 17, 60, 8, 2, 1, 66, 69decmac 11027 . . . . 5  |-  ( (; 2
5  x.  5 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ;; 1 2 8
71 6t5e30 11068 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  5 )  = ; 3
0
7215, 25, 15, 71, 59decaddi 11032 . . . . 5  |-  ( ( 6  x.  5 )  +  3 )  = ; 3
3
739, 10, 25, 15, 12, 58, 8, 15, 15, 70, 72decmac 11027 . . . 4  |-  ( (;; 2 5 6  x.  5 )  +  3 )  = ;;; 1 2 8 3
741, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 57, 73decma2c 11028 . . 3  |-  ( (;; 2 5 6  x. ; 2
5 )  + ;; 1 5 3 )  = ;;; 6 5 5 3
7559oveq2i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )
76 6cn 10629 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
7776, 4, 52mulcomli 9615 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  6 )  = ; 1
2
7813, 1, 15, 77, 55decaddi 11032 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  3 )  = ; 1
5
7975, 78eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ; 1
5
8076, 34, 71mulcomli 9615 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  6 )  = ; 3
0
8115, 25, 15, 80, 59decaddi 11032 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  6 )  +  3 )  = ; 3
3
821, 8, 25, 15, 17, 58, 10, 15, 15, 79, 81decmac 11027 . . . 4  |-  ( (; 2
5  x.  6 )  +  3 )  = ;; 1 5 3
83 6t6e36 11069 . . . 4  |-  ( 6  x.  6 )  = ; 3
6
8410, 9, 10, 12, 10, 15, 82, 83decmul1c 11035 . . 3  |-  (;; 2 5 6  x.  6 )  = ;;; 1 5 3 6
8511, 9, 10, 12, 10, 16, 74, 84decmul2c 11036 . 2  |-  (;; 2 5 6  x. ;; 2 5 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
861, 2, 6, 7, 85numexp2x 14441 1  |-  ( 2 ^; 1 6 )  = ;;;; 6 5 5 3 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   5c5 10600   6c6 10601   8c8 10603   10c10 10605  ;cdc 10988   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-seq 12088  df-exp 12147
This theorem is referenced by:  1259lem1  14488
  Copyright terms: Public domain W3C validator